Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 85
Текст из файла (страница 85)
. . , θu ∈ R, θ12 + · · · + θu2 < ε, отображение u–мерного открытого диска в Rs , переводящее (θ1 , . . . , θu ) 7→ J(vθ1 ,...,θu ) (называемоеограничением отображения J на данное семейство систем), является гладким.(B) Предположим, что H1 открыто в H(M ). Будем называть функционалы набора Jфункционально независимыми, а отображение J : H1 → Rs субмерсией, если отображениеJ гладкое и для любой гамильтоновой системы v = (ω, F ) ∈ H1 существует гладкое s–параметрическое семейство систем vθ1 ,...,θs ∈ H1 с параметрами θ1 , .
. . , θs ∈ R, θ12 + · · · + θs2 < ε,такое что v = v0,...,0 и якобиан ограничения отображения J на данное семейство отличен отнуля при θ1 = . . . = θs = 0. Указанное семейство систем назовем локальным регулярнымсечением субмерсии J в точке v.(B’) Предположим, что H1 открыто в H(M ). Отображение J : H1 → Rs назовем почтисубмерсией, если для любой гамильтоновой системы v = (ω, F ) ∈ H1 существует гладкоеГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ246s–параметрическое семейство систем vθ1 ,...,θs ∈ H1 с параметрами θ1 , .
. . , θs ∈ R, θ12 + · · · +θs2 < ε, такое, что v = v0,...,0 и ограничение отображения J на данное семейство являетсягомеоморфизмом открытого s–мерного диска в некоторое открытое подмножество множестваRs . Указанное семейство систем назовем локальным сечением субмерсии J в точке v.(C) Подмножество H1 ⊆ H(M ) назовем гладким подмногообразием коразмерности u ∈[0, +∞) в H(M ), если для любой его точки v ∈ H1 существует окрестность U в H(M ), такаячто U ∩ H1 = J −1 (0, .
. . , 0) для некоторой субмерсии J : U → Ru .(D) Определения из пп. (A) и (B) дословно повторяются в случае, когда H1 есть гладкое подмногообразие конечной коразмерности (не обязательно нулевой) в H(M ), см. (C).Аналогичные определения вводятся для пространств F(M ) и Fnum,fr (M ) функций Морса наповерхности M (вместо пространства H(M ) гамильтоновых систем на M ).4.1.5Постановка вопросов об устойчиво несопряженных системахна атоме, о продолжимости инвариантов на множество возмущенных системПусть P ⊆ M — подповерхность в M . Пусть на поверхности P задана функция МорсаF0 ∈ Fnum,fr (P ) с ровно одним критическим значением c ∈ R, причем все ее критическиеточки являются седловыми (см.
(4.9)). Рассмотрим граф K := F0−1 (c). Топологическая пара(P, K) с некоторой дополнительной структурой обозначается через (P, K)# и называетсяседловым атомом, или просто атомом (см. определение 2.4.3), отвечающим функции МорсаF0 .Определение 4.1.18. Обозначим через H(F0 ) = H(P, K) пространство всех гамильтоновыхсистем (ω, F ) ∈ H(P ), функции Гамильтона F ∈ Fnum,fr (P ) которых послойно эквивалентныфункции F0 (см. (4.9) и определение 2.2.4 (C)). Такие системы будем называть гамильтоновыми системами на атоме (P, K)# . Гамильтоновы системы из пространства H(F0 ), рассматриваемые с точностью до ограничения системы на малую регулярную инвариантнуюокрестность U ⊆ P графа K и отождествления этой окрестности с поверхностью P припомощи сохраняющего ориентацию гомеоморфизма U → P , тождественного на K, будемназывать ростками гамильтоновых систем на атоме (P, K)# .
Ростки двух гамильтоновых систем на атомах (Pi , Ki )# , i = 1, 2, считаются эквивалентными в смысле отношенияэквивалентности одного из определений 4.1.8—4.1.11, если ограничения этих систем на некоторые окрестности Ui графов Ki эквивалентны в смысле этого отношения эквивалентности(а значит, сами атомы совпадают в смысле определения 2.4.3). Под инвариантом (в смыслеэтого отношения эквивалентности) ростков гамильтоновых систем на атоме мы будем понимать такой функционал на пространстве H(F0 ), значения которого на любой паре систем,имеющих эквивалентные (в указанном смысле) ростки, совпадают.В некоторых формулировках (например, в предложении 4.2.4) мы будем ограничиватьсярассмотрением подпространстваHnondeg(M ) ⊂ Hnondeg (M ),0(4.15)состоящего из невырожденных гамильтоновых систем, для которых функция периода τe (f )имеет ровно одну критическую точку на каждом внутреннем ребре e графа Кронрода-РибаW = WF (т.е. на таком ребре, оба конца которого имеют степени большие 1), и не имееткритических точек (включая граничных) на остальных рёбрах.
Из теоремы 4.2.2 следует,что Hnondeg(M ) непусто и открыто в H(M ).0Пусть v1 = (ω1 , F1 ) и v2 = (ω2 , F2 ) — две гамильтоновы системы из пространства H(P, K).Эти системы будем называть невозмущенными, а близкие к ним системы ve1 = (eω1 , Fe1 ), ve2 =(eω2 , Fe2 ) ∈ H(P ) — возмущенными.ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ247Определение 4.1.19. Скажем, что две гамильтоновы системы v1 и v2 на атоме (P, K)#устойчиво C 0 –несопряжены вблизи седловых критических уровней, если выполнены дваусловия:1) Эти системы не являются C 0 –сопряженными в любых сколь угодно малых (инвариантных регулярных) окрестностях U1 и U2 седловых уровней.2) Существует ε > 0 такое, что при любых ε-малых возмущениях функций F1 , F2 и симплектических структур ω1 , ω2 (в смысле топологии из §4.1.3) возмущенные системы остаютсяe1 и Ue2 своих множествC 0 –несопряженными в любых инвариантных связных окрестностях Uкритических точек.Основной целью настоящей главы является изучение пяти вопросов (Q1)—(Q5) и их вариантов (Q1’), (Q2’) и (Q4’), первые два из которых следующие:(Q1) (А.В.
Болсинов, А.Т. Фоменко, 1997) Существуют ли на том или ином атоме устойчиво C 0 –несопряженные системы? (Утверждение 4.4.2, следствие 4.5.17.)(Q2) (А.В. Болсинов, А.Т. Фоменко, 1997) При каких условиях две системы на атомебудут устойчиво C 0 –несопряжены? (Утверждение 4.4.2, следствия 4.5.16 и 4.5.16’.)Мы построим бесконечную серию V “вполне бициклических” седловых атомов (см. ниже,или [146, 137, 145] и рис. 4.7) и для всех атомов этой серии, а также для всех плоских атомов,получим положительный ответ на вопрос (Q1) и решение вопроса (Q2). Оказывается, что длятаких атомов существование или отсутствие таких пар систем на атоме зависит от топологииатома, более точно, от того, является ли этот атом плоским.Понятие устойчивой C 0 –несопряженности систем на данном атоме тесно связано с понятием “устойчивых”, или продолжимых, инвариантов (см.
определения 4.1.20 и 4.1.22 ниже)систем на этом атоме. В §4.1.4 было дано определение инвариантов симплектической, C 1 –и C 0 -сопряженностей гамильтоновых систем на атоме. Определим сейчас понятие продолжимых инвариантов, а затем в §4.1.5 ослабим условия из определений 4.1.19 и 4.1.20 (см.определения 4.1.21 и 4.1.22) и сформулируем для них возникающие вопросы (Q3), (Q4), (Q5)и аналоги вопросов (Q1) и (Q2).В следующих определениях 4.1.20 и 4.1.22 используется теорема 4.2.2, согласно которойпространства Hnondeg (P ) и Hnondeg(P ) (см.
(4.15) и (4.11)) открыты в пространстве H(P ). Из0нее также нетрудно вывести, что любой классe := Hnondeg (P ) ∩ HbH(4.16)0топологической траекторной эквивалентности гамильтоновых систем в Hnondeg(P ) линейно0bсвязен, где через H обозначено множество гамильтоновых систем, функции Гамильтона которых принадлежат одному и тому же классу топологической послойной эквивалентности вFnum,fr (P ). Отсюда и из свойств стратификации Максвелла пространства Fnum,fr (P ), стратамикоторой являются классы топологической послойной эквивалентности (см. §2.5.2), следует,что каждое пространство Hnondeg (P ) и Hnondeg(P ) обладает естественной стратификацией0(т.е.
разбиением на линейно-связные дизъюнктные подмножества, называемые стратамиМаксвелла) такой, что• страты Максвелла в пространстве Hnondeg (P ) суть связные компоненты классов топологической траекторной эквивалентности гамильтоновых систем этого пространства, астраты Максвелла в пространстве Hnondeg(P ) суть классы (4.16) топологической траек0торной эквивалентности гамильтоновых систем этого пространства,• любой страт Максвелла является линейно-связным гладким подмногообразием конечной коразмерности (определение 4.1.17 (C)) и обладает окрестностью, являющейся объединением конечного числа стратов Максвелла; в качестве такой окрестности можновзять объединение этого страта Максвелла и всех примыкающих к нему (определение2.7.9 (В)) стратов Максвелла.ГЛАВА 4.248ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМПоясним условие 2 из следующих определений 4.1.20 и 4.1.22.
Оно мотивировано явным видом полного инварианта Болсинова-Фоменко C 0 -сопряженности невырожденных гамильтоновых систем на поверхностях. А именно: сопоставим каждой системе v = (ω, F ) ∈Hnondeg (M ), заданной на компактной поверхности M , граф Γv ⊂ int M , где Γv есть объединение всех связных компонент линий уровня функции Гамильтона F , которые либо содержаткритическую точку функции F , либо являются замкнутыми фазовыми траекториями системы v, в которых дифференциал функции периода замкнутых фазовых траекторий в силусистемы v равен 0. Тогда значение BF (v) полного инварианта BF Болсинова-Фоменко налюбой системе v = (ω, F ) ∈ Hnondeg (M ) полностью определяется ограничением системы v налюбую сколь угодно малую регулярную окрестность множества Γv ∪∂M в M . В определениях4.1.20 и 4.1.22 “возмущенный” инвариант Ie является функцией от инварианта BF следуюe v ) полностьющего специального вида: согласно свойству 2 из этих определений, значение I(enondege ⊂Hопределяется ограничением системы ve ∈ H(P ) лишь на любую сколь угодно малую0регулярную окрестность графа Γve в P (вместо графа Γve ∪ ∂P в P ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
