Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Дело в том, что с помощью функции Le можно достаточно точно (как мы показали в утверждении 4.2.12) приблизить Π–метки возмущенной системы на “новых” ребрах.Относительные 1–циклы ζ и κ будут использованы нами в §4.5.2 для описания продолжимыхинвариантов (определение 4.1.20) и относительно–продолжимых инвариантов (определение4.1.22) по отношению к некоторым классам возмущений — бициклических возмущений.4.2.5Поведение Π–меток на “старых” и “новых” ребрах молекулыФоменко при малом возмущении невырожденной системыПусть v = (ω, F ) ∈ Hnondeg (M ) — невырожденная (“невозмущенная”) гамильтонова системана M , и пусть ve ∈ H(M ) — достаточно близкая к ней (“возмущенная”) система в смыслеC r –топологии на H(M ) для некоторого r ≥ 5 (см.
§4.1.3).ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ272f num — графы Кронрода-Риба функций Гамильтона F, Fe соответственно.Пусть W num , WСогласно теореме 4.2.2 система ve тоже невырождена, т.е. ve ∈ Hnondeg (M ). Значит, коректноf num , в том числе метки наопределены Π–метки обеих систем v, ve на ребрах графов W num , Wконцах этих графов (т.е. в вершинах, отвечающих граничным окружностям поверхности Mили точкам локального минимума или локального максимума функции Гамильтона).Напомним, что одна Π–метка может состоять из нескольких чисел.
Из скольких чиселf num ?состоит Π–метка на каждом ребре графа возмущения WМетка на каждой вершине степени 1 всегда состоит ровно из одного числа — как для невозмущённой системы, так и для возмущённой, см. определение 4.2.1. Эта метка продолжима(“устойчива”), так как непрерывно меняется при возмущении системы, в силу утверждения4.2.12 (а), (г).Рассмотрим метки на рёбрах (точнее, во внутренности ребер). Напомним, что у возмуf num все ребра разделяются на “старые” и “новые”щенного графа (т.е. графа возмущения) W(см.
§2.5.2, п.(2’)). Согласно теореме 4.2.2, для любой системы v = (ω, F ) ∈ Hnondeg (M ) илюбого достаточно малого возмущения ve = (eω , Fe) ∈ H(M ) выполнено ve ∈ Hnondeg (M ) иf num• на любом “новом” (см. §2.5.2, п.(2’)) ребре e соответствующего графа возмущения Wфункция периода τee (fe) имеет ровно одну критическую точку — точку минимума, апотому система ve имеет ровно одну Π–метку на ребре e и эта метка равна минимумуe e (eфункции периода τee = τee (fe), причем эта Π–метка Πv ) → +∞ при ve → v в силуутверждения 4.2.12 (б), (в);f num (т.е.
отвечающем некоторому ребру• на любом “старом” ребре графа возмущения Wграфа W num , см. §2.5.2, п.(2’)) число критических точек функции периода не меняетсяпри малом возмущении системы, причем Π–метка любого “старого” ребра (т.е. наборпоследовательных критических значений функции периода вдоль этого ребра) маломеняется при малом возмущении системы согласно утверждению 4.2.12 (б), (г), (д).Подведем итог:f num состоит из• Π–метка возмущенной системы ve на каждом “старом” ребре графа Wтого же количества компонент, что и Π–метка невозмущенной системы v на соответствующем ребре графа W num , и близка к ней;f num состоит из• Π–метка возмущенной системы ve на каждом “новом” ребре графа Wодной компоненты, т.е.
является вещественным положительным числом, причем эточисло сколь угодно велико, если взмущение достаточно мало.4.3Инварианты Болсинова-Фоменко C 0–сопряженностиневырожденных гамильтоновых систем на поверхностяхРассмотрим невырожденную гамильтонову систему v = (F, ω) ∈ Hnondeg (M ) (см. определение4.2.1) на поверхности M . Пусть W # — молекула Фоменко (определение 2.4.5), отвечающаяфункции Морса F . В §4.2.3 были определены Π–метки (определение 4.2.3) на ребрах молекулы Фоменко W # , а также грубые Λ– и m–метки (определение 4.2.9) на седловых атомахмолекулы Фоменко W # .В настоящем разделе напоминается определение инварианта Болсинова-Фоменко [9] наHnondeg (M ), сопоставляющего любой системе v ∈ Hnondeg (M ) ее “оснащенную молекулу”ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ273W # (Π, Λ, mΛ ) (см.
определение 4.3.15). Согласно [9], этот инвариант является полным инвариантом C 0 –сопряженности невырожденных гамильтоновых систем на M . Оснащеннаямолекула получается введением Π–меток на ребрах и Λ– и mΛ –меток на седловых атомахмолекулы Фоменко W # , где Λ–метку можно получить путем “проективизации” грубой Λ–метки (см.
определение 4.3.1 ниже), а mΛ –метку можно получить из Λ–метки и грубой m–метки (принимающей значения в (n + 1)–мерном векторном пространстве H 1 (K; R), где n —сложность атома) путем проектирования векторного пространства H 1 (K; R) на его факторпространство по некоторому подпространству LΛ(v) , гладко зависящему от Λ–метки RΛ(v)на данном атоме (см. определение 4.3.12 ниже).Мы также определим m–метку (определение 4.3.4) и докажем, что m–метка и грубая Λ–метка на седловом атоме являются инвариантами C 1 –сопряженности систем на этом атоме.4.3.1Метки Болсинова-Фоменко (Λ– и mΛ –инварианты C 0 –сопряженности) систем на седловом атомеРассмотрим в графе (т.е. молекуле Фоменко) W # любую вершину (т.е.
атом Фоменко), имеющую как входящие, так и исходящие рёбра. Пусть k – вес этой вершины. Напомним, чтовес вершины графа Кронрода-Риба — это число седловых точек xj1 , . . . , xjk , лежащих накритическом уровне, отвечающем этой вершине. Пусть (P, K)# – седловой атом сложностиk ≥ 1, отвечающий этой вершине.Напомним построение двух “меток” на этом атоме: RΛ(v) ∈ RP k−1 и mΛ(v) ∈ H 1 (K; R)/LΛ(v) ,введённые в [9]. Здесь LΛb ⊆ H 1 (K; R) ' Rk+1 — некоторое векторное подпространство, гладb ∈ RP k−1 ); размерность этогоb ∈ Rk (в действительности, лишь от RΛко зависящее от Λ>0bпространства не зависит от Λ.Λ–инвариант C 0 –сопряженностиПусть j1 < . .
. < jk – набор номеров, отвечающих данному седловому атому (P, K)# . Есливес (т.е. сложность) k этого атома превосходит 1, определим Λ–метку Болсинова-Фоменкосистемы v ∈ H(P, K) на этом атоме равнойRΛ(v) := (Λj1 (v) : · · · : Λjk (v)) ∈ RP k−1 ,где 1/Λj (v) — инвариант системы v в седловой точке xj , равный положительному собственному значению оператора (ω −1 d2 F )|xj линеаризации гамильтоновой системы в точке xj , гдеd2 F |xj — симметричная билинейная форма в Txj M , отвечающая матрице Гесса функции Fв xj . На простых атомах, т.е.
веса k = 1 (т.е. сложности k = 1), положим Λ(v) = 1.Хорошо известно (см. [9] или лемма 4.2.6), что набор (Λji (v))ki=1 ∈ Rk>0 совпадает с грубойΛ–меткой (определение 4.2.9) системы v на данном седловом атоме. Тем самым, мы приходимк следующему определению.Определение 4.3.1 (ср. определение 4.2.9). Проективизацию грубого Λ–инварианта системна седловом атоме (P, K)# , т.е. отображениеRΛ : H(P, K) → P C 0 (K; R) ' RP k−1 , v 7→ RΛ(v) = (Λj1 (v) : · · · : Λjk (v)),(4.39)назовем Λ–инвариантом Болсинова-Фоменко систем на данном атоме, а его значение RΛ(v)на системе v назовем Λ–меткой Болсинова-Фоменко системы v на данном атоме.Пункты (i) и (ii) следующего утверждения являются простыми следствиями следующихтеорем: (i) утверждения 4.2.12 (в), (ii) теоремы Болсинова-Фоменко (см.
[9] или теорему4.3.16) о полном инварианте C 0 –сопряженности невырожденных гамильтоновых систем надвумерных поверхностях.ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ274Предложение 4.3.2 (А.В. Болсинов, А.Т. Фоменко [9]). Пусть v ∈ H(P, K) — система наданном атоме, и ve ∈ H(P ) — достаточно близкая к ней (“возмущенная”) система в смыслетопологии из §4.1.3. Тогда:(i) существует регулярная окрестность U края ∂P поверхности P в P такая, что еезамыкание U в P не содержит критических точек возмущенного гамильтониана и ve|P \U ∈Hnondeg(P \ U );0(ii) сопоставление любой возмущенной системе ve ее графа возмущения W num (определение 2.5.1 (B)) с Π–метками (4.20) на его внутренних ребрах и Λ–метками (4.39) на еговершинах является (неполным) инвариантом C 0 –сопряженности возмущенных гамильтоновых систем ve на атоме (указанные метки корректно определены ввиду невырожденностисистемы ve|P \U согласно (i)).
В частности (так как указанное свойство верно для тривиальных возмущений, т.е. для систем v на данном атоме), Λ–инвариант Болсинова-Фоменкоявляется инвариантом C 0 –сопряженности систем на седловом атоме.m–инвариант C 1 –сопряженностиФиксируем седловой атом (P, K)# сложности n (см. определение 2.4.3).Обозначение 4.3.3. Для любой гамильтоновой системы v ∈ H(P, K) на седловом атоме(P, K)# введем естественное скалярное произведение h, iΛ(v) в пространстве C1 (K; R) ' R2n1–цепей графа K.
В качестве линейного базиса в этом пространстве 1–цепей мы рассмотримотдельные ребра графа K. Будем считать их по определению ортогональными векторамиотносительно конструируемого нами скалярного произведения. Осталось задать длины этихбазисных векторов. Будем считать, что скалярный квадрат каждого ребра равен полусумме(Λj (v) + Λj 0 (v))/2, где j, j 0 — номера вершин, которые соединяет данное ребро графа K.Обозначим получающееся в результате скалярное произведение на пространстве 1–цепейграфа K через h, iΛ(v) .
Введенное скалярное произведение h, iΛ(v) определяет естественныйизоморфизмGΛ(v) : C1 (K; R) → C 1 (K; R),GΛ(v) (C) := hC, ·iΛ(v) ,(4.40)C ∈ C1 (K; R). Изоморфизм (4.40) индуцирует изоморфизм H1 (K; R) → H 1 (K; R), которыйтоже будем обозначать через GΛ(v) . Образ GΛ(v) (C) ∈ H 1 (K; R) любого 1–цикла C ∈ H1 (K; R)при индуцированном изоморфизме мы будем обознать через Λ(v) · C и называть Λ(v)–сопряженным 1–циклу C 1–коциклом графа K.Отметим, что это скалярное произведение зависит от вектораΛ(v) = (Λ1 (v), .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
