Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 96
Текст из файла (страница 96)
n1 ) — число всех (соотв. седловых) критических точек, S (соотв. s) — число всех (соотв. внутренних) вершинКР-графа W num (т.е. число седловых атомов) функции Гамильтона любой системы из данного страта Максвелла. Это следует из свойства (1) стратов Максвелла в Fnum,fr (M ) (см.§2.5.2), открытости подпространства Hnondeg (M ) в H(M ) и сохранения количества Π–метокна любом “старом” ребре графа возмущения (см.
теорему 4.2.2).(2) Каждый класс C 0 –сопряжённости в Hnondeg (M ) целиком лежит в страте Максвелла иявляется связным гладким подмногообразием конечной коразмерности в H(M ) (определение 4.1.17 (C)). Более того, в каждом страте Максвелла классы C 0 –сопряжённости являютсямножествами уровня (т.е. “слоями”) сюръективной субмерсии (см. определение 4.1.17 (B))(называемой далее “расслоением”), задаваемой инвариантами Болсинова-Фоменко (см. теорему 4.3.16). В частности, коразмерность классов C 0 –сопряженности постоянна на каждомстрате Максвелла.Действительно: покажем сначала, что на любом страте Максвелла H1 ⊂ Hnondeg (M )Π–инвариант Π|H1 является субмерсией.
Напомним, что одна Π–метка может состоять изнескольких чисел. Из скольких чисел состоит каждая Π–метка (“возмущенной”) системыve = (eω , Fe) ∈ H1 , достаточно близкой к заданной (“невозмущенной”) системе v = (ω, F ) ∈ H1 ?Этот вопрос уже изучен в §4.2.5 в случае произвольного (т.е. не обязательно тривиальноf num изоморфенго) возмущения. Но в случае тривиального возмущения граф возмущения Wисходному графу W num (так как гамильтонианы F, Fe послойно эквивалентны в силу утверждения 2.5.2), поэтому “новых” ребер нет. Значит, Π–метка возмущенной системы ve ∈ H1на каждом ребре графа W num состоит из того же числа компонент, что и Π–метка невозмущенной системы v ∈ H1 на этом ребре, и близка к ней.
Таким образом, на любом стратеМаксвелла H1 сохраняются как КР–граф W num гамильтониана, так и количество k(e) Π–меток на любом ребре e этого графа, причем Π–метка системы v ∈ H1 на любом ребренепрерывно зависит от системы v. Отсюда и из утверждения 4.2.12 нетрудно выводится, чтонабор Π–меток системы v ∈ H1 на всех ребрах графа W num является субмерсией, причемлокальное регулярное сечение этой субмерсии в любой точке v ∈ H1 (т.е. соответствующеегладкое k(e)–параметрическое семейство систем vθ1,e ,...,θk(e),e ∈ H1 , см.
определение 4.1.17 (B))может быть выбрано так, что любая система этого семейства совпадает с системой v = v0,...,0в некоторой окрестности U объединения седловых критических уровней гамильтониана системы v.Покажем теперь, что грубый Λ–инвариант (соответственно грубый m–инвариант) тожеявляется субмерсией.
Это легко следует из определения 4.2.9. Более того, для любого атомаV = (P, K)# существует такое локальное регулярное (n(V ) ∓ 1)–параметрическое сечениеданной субмерсии в любой точке vV ∈ H(P, K), что все системы этого семейства совпадают ссистемой vV вне малых окрестностей вершин (соответственно малых окрестностей “центров”ребер) графа K. Здесь n(V ) — сложность атома V , под “центром” ребра графа K понимаетсяпроизвольно выбранная внутренняя точка этого ребра.Итак, указанные локальные регулярные k(e)– и (n(V ) ∓ 1)–параметрические сечения трехрассматриваемых групп субмерсий (т.е.
Π–инварианта и грубых Λ– и m–инвариантов) имеют попарно непересекающиесяPносители вPповерхности M . Поэтому эти локальные сеченияопределяют единое гладкое ( e k(e) + 2 V n(V ))–параметрическое семейство систем, гдесуммы берутся по всем ребрам e и атомам V молекулы гамильтониана системы v. Отсюдавыводится, что совокупность всех трех инвариантов — Π–инварианта и грубых Λ– и m–инвариантов — является субмерсией, локальным регулярным сечением которого являетсяИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ282PPуказанное ( e k(e) + 2 V n(V ))–параметрическое семейство систем.(3) Однако (при условии, что количество седловых точек n1 > 1, т.е. существуют неоткрытые страты Максвелла) при переходе от страта Максвелла к страту Максвелла структурауказанного “расслоения” меняется, и разбиение любой связной компоненты пространства0Hnondeg (M ) = Hnondegn0 ,n1 ,n2 (M ) на классы C –сопряжённости не является “расслоением”, т.е.
разбиением на множества уровня некоторой субмерсии (см. определение 4.1.17 (B)). Дело в том,что коразмерность классов C 0 –сопряжённости в Hnondeg (M ) меняется при переходе от любого неоткрытого страта Максвелла к любому примыкающему (определение 2.7.9 (В)) к немустрату Максвелла.Действительно: рассмотрим любой страт Максвелла в Hnondeg (M ), образованный системами из Hnondeg(M ), имеющими ровно один седловой атом. С учетом предложения 4.3.11 клас00сы C –сопряжённости систем из этого страта Максвелла имеют конечную коразмерность cв Hnondeg (M ), равную сумме коразмерности n1 − 1 данного страта Максвелла в Hnondeg (M )и количества (функционально независимых) меток Болсинова-Фоменко для систем данногострата Максвелла:c = 3n1 + ∂ − 2 − c0 ∈ [3n1 , 3n1 + ∂ − 2],(4.46)ГЛАВА 4.где n1 — сложность седлового атома, ∂ — валентность атома, c0 ∈ [0, ∂ − 2], c0 + 1 равно коразмерности подпространства CΛb в H1 (K; R) ' Rn1 +1 (см. предложение 4.3.11).
(Более точно:c0 равно размерности векторного подпространства h[Z± ]i ∩ h[Oi ]i ⊂ h[Z± ]i ⊆ H1 (K; R), гдеh[Z± ]i ' R∂−1 есть линейная оболочка классов циклов Z± графа K, отвечающих граничнымокружностям атома, а h[Oi ]i = h[Oi ]iνi=1 есть линейная оболочка классов атомных окружностей атома [9].) В любом открытом страте Максвелла, примыкающем к данному стратуМаксвелла, коразмерность классов C 0 –сопряжённости в Hnondeg (M ) равнаec = n1 + ∂ + g − 1,где через g обозначен род атома, т.е. род поверхности M (это следует из предложения 4.2.4, сучётом того, что количество внутренних ребер графа возмущения равно n1 + g − 1). Поэтомуc−ec ≥ n1 + g − 1.Итак, если количество седловых критических точек n1 > 1, то разбиение любой связ0ной компоненты пространства Hnondeg (M ) = Hnondegn0 ,n1 ,n2 (M ) на классы C –сопряжённости неявляется “расслоением” (в указанном выше смысле).(4) Тем не менее в разных открытых стратах Максвелла, лежащих в одной и той жесвязной компоненте пространства Hnondeg (M ), классы C 0 –сопряжённости имеют одинаковыекоразмерности.
Дело в том, что слои в любом открытом страте Максвелла являются совместными множествами уровня функций Πe,i (v), являющихся компонентами Π–меток на рёбрахграфа W num (см. §4.2.1), а число рёбер графа Кронрода-Риба простой функции Морса (определение 2.5.1 (C)) и набор количеств Π–меток на ребрах графа W num одинаковы у систем,имеющих простые морсовские гамильтонианы и принадлежащих одной связной компонентепространства Hnondeg (M ) (см. п.(3) выше).4.3.3Критерий того, что функция от m–инварианта является инвариантом C 0 –сопряженности, для некоторых атомов малойвалентностиНапомним, что в нашем определении полного инварианта Болсинова-Фоменко (см. предложение 4.3.11 и определение 4.3.12) не было дано явного определения mΛ –инварианта БолсиноваФоменко.
Дело в том, что подпространство CΛ(v) ⊆ H1 (K; R) не было указано явно, а былиуказаны лишь оценки его размерности (в предложении 4.3.11) и ортогональный ему 1–цикл(см. замечание 4.3.14).ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ283В этом пункте мы явно опишем mΛ –инвариант (а потому и полный инвариант) БолсиноваФоменко C 0 –сопряженности гамильтоновых систем (см. теорему 4.3.16) на некоторых атомах малых валентностей (в том числе для атомов серии V, т.е. для “вполне бициклических”атомов, включающих неплоские вполне бициклические атомы, на которых мы построим продолжимые m–инварианты, см.
теоремы 4.5.6 и 4.5.18).Определение 4.3.17. (A) Рассмотрим седловой атом (P, K)# . Пусть Z — ориентированныйцикл в ориентированном графе K (не обязательно связный, т.е. он может являться дизъюнктным объединением s ∈ N связных ориентированных циклов — допускающих параметризацию S 1 → K). Цикл Z называется положительно ориентированным, если ориентациявходящих в него ребер графа K (см. определение 2.4.3 (A) (ii)) согласована с направлениемположительного обхода вдоль данного цикла.(B) Рассмотрим все граничные окружности одного знака.
Пусть, для определенности, ониположительны. Для каждой положительной граничной окружности атома рассмотрим циклZ+ графа K, вдоль которого проходит эта окружность. Такой (положительно ориентированный) цикл Z+ будем называть положительным циклом атома. Аналогично определяются(положительно ориентированные) отрицательные циклы атома. Ясно, что связный положительный цикл является пределом фазовой траектории системы v = (ω, F ) ∈ H(P, K),лежащей на линии уровня {F = c + ε}, при ε → +0, где K = F −1 (c).Замечание 4.3.18. (A) Набор 1–циклов [Z± ], отвечающих всем граничным окружностяматома, линейно зависим в пространстве H1 (K; R) всех 1–циклов графа K. А именно, суммаклассов всех положительных циклов атома равна сумме классов всех отрицательных циклов (и равна фундаментальному классу [K] графа K).
Других линейных соотношений между классами граничных циклов нет: размерность натянутого на них подпространства (т.е.размерность их линейной оболочки) h[Z± ]i ровно на единицу меньше числа ∂ граничныхокружностей, т.е. dimh[Z± ]i = (валентность атома) − 1 = ∂ − 1.(B) Заметим также, что для любого атома выполнено codim CΛb = dim LΛb ∈ [1, ∂ − 1] всилу (4.44) и предложения 4.3.11 (а).Введем понятие правильного подграфа на седловом атоме.Определение 4.3.19. Пусть K 0 ⊆ K — объединение замкнутых ребер графа K, и пусть[K 0 ] — соответствующая 1–цепь. Назовем подграф K 0 правильным подграфом для данного атома, если для любой граничной окружности атома все ребра соответствующего циклаZ± с четными номерами (по отношению к последовательной нумерации ребер вдоль цикла Z± , для любого его ребра в качестве начального) одновременно либо лежат в подграфеK 0 , либо не лежат в нем, и то же верно для всех нечетных ребер цикла Z± .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
