Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 98
Текст из файла (страница 98)
В частности, к таким атомам применимо следствие 4.3.21 иверны все его утверждения для набора из одного (1 = ∂ − 1) цикла Z+ (соотв. Z− ).(ii’) Для любого положительно бициклического атома (определение 4.3.24) соответствующие два цикла Z1 и Z2 являются правильными подграфами. Их плотность на любом положительном цикле Z+ равна 0 или 1, а на любом отрицательном цикле Z− плотность равна 1/2.Аналогичное верно для отрицательно бициклических атомов.
В частности, для любого положительно (или отрицательно) бициклического атома применима лемма 4.3.20 к указаннойпаре правильных подграфов Z1 , Z2 и верны все ее утверждения для Z1 , Z2 .(ii) Если седловой атом либо имеет валентность 3 и является положительно (или отрицательно бициклическим), либо имеет валентность 4 и является положительно и отрицательнобициклическим, то все положительно ориентированные циклы Z± графа K, отвечающиеграничным окружностям атома, являются правильными подграфами.
Поэтому для такихатомов существуют ∂ − 1 положительно ориентированных циклов Z± , являющихся правильными подграфами и классы которых в H1 (K; R) линейно независимы. В частности, к такиматомам применимо следствие 4.3.21 и верны все его утверждения для набора из ∂ − 1 цикловZ± кроме одного.Замечание 4.3.26. Можно показать, что(a) седловой атом является положительно (соотв.
отрицательно) бициклическим в том итолько том случае, когда все его атомные окружности можно ориентировать так, что всеребра графа K, на которых ориентации атомных окружностей и графа K согласованы, образуют положительный (соотв. отрицательный) цикл графа K по отношению ко всем своимвершинам в атоме;(b) седловой атом является одновременно положительно и отрицательно бициклическимв том и только том случае, когда все его атомные окружности простые и разбиваются надве группы O+ и O− , такие, что любые две пересекающиеся атомные окружности принадлежат разным группам и для некоторого набора ориентаций атомных окружностей выполненоГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ287следующее: знаки индексов пересечения любой атомной окружности с другими атомнымиокружностями чередуются вдоль этой окружности.В самом деле, разность классов положительных циклов Z1 и Z2 в H1 (K; R) равна Pсуммеклассов атомных окружностей, взятых с подходящими ориентациями: [Z1 ] − [Z2 ] =P [Oi ].Тогда разность классов отрицательных циклов Z10 и Z20 имеет вид [Z10 ] − [Z20 ] =±[Oi ].Легко видеть, что любые две пересекающиеся окружности входят во вторую сумму с разнымизнаками.
В частности, атомные окружности не имеют самопересечений. Условие чередованиезнаков индексов пересечения вдоль любой атомной окружности означает, что положительноориентированные циклы Z1 и Z2 оба положительны или оба отрицательны.Заметим, что каждый цикл Z1 и Z2 из определения 4.3.24 целиком составлен из положительных (соотв.
отрицательных) циклов. Итак, у положительно (соотв. отрицательно)бициклического атома обязательно есть по меньшей мере две положительные (соотв. отрицательные) граничные окружности. В частности, валентность знакоопределенно бициклического атома (т.е. степень вершины графа Кронрода-Риба W , отвечающей этому атому) неменьше трех.В качестве итога настоящего параграфа сформулируем в виде отдельной теоремы 4.3.27свойства атомов и их правильных подграфов из примеров 4.3.25, упомянутые в этих примерах.Рассмотрим любой седловой атом (P, K)# сложности n и валентности 2, 3 или 4. Рассмотb ∈ Rn грубого Λ–инварианта соответствующее подпрорим для произвольного значения Λ>0странство CΛb ⊂ H1 (K; R) в пространстве всех 1–циклов графа K, см.
предложение 4.3.11.Пусть d := dim CΛb . Напомним (см. предложение 4.3.11), что для любого базиса z1,Λb , . . . , zd,Λbb отношение RΛ(v) = (Λ1 (v) : · · · : Λn (v))подпространства CΛb , зависящего от параметра RΛ,и инварианты вида v 7→ h[m(v)], zi,Λ(v) i, 1 ≤ i ≤ d, образуют полный набор инвариантовC 0 –сопряженности гамильтоновых систем на данном атоме.Пункт (A’) следующей теоремы совпадает с наблюдением из замечания 4.3.14. Три остальных пункта являются уточнениями п.(А’) в случае атомов специального вида, а именно: п.(A)— в случае атомов валентности 2, п.(Б’) — в случае знакоопределенно бициклических атомов,а п.(Б) является уточнением п.(Б’) в случае атомов валентности ∂ = 3, а также положительнои одновременно отрицательно бициклических атомов валентности ∂ = 4.Теорема 4.3.27 (описание всех пар C 0 –сопряженных ростков гамильтоновых систем наатомах валентности 2 и некоторых атомах валентностей 3 и 4 [145, теорема 6.1]).
Пусть(P, K)# — седловой атом сложности n, zΛb ∈ H1 (K; R) — семейство 1–циклов, зависящихb где Λb ∈ Rn>0 . Рассмотрим R–значную функцию I(v) := h[m(v)], zΛ(v) i,от параметра RΛ,v ∈ H(P, K).(A’) Предположим, что функция I(v) является инвариантом C 0 –сопряженности гаb ∈ Rn>0 ,мильтоновых систем на атоме (P, K)# . Тогда hzΛb , [K]iΛb = 0 для любого значения Λгде [K] ∈ H1 (K; R) — фундаментальный класс графа K. Другими словами, для любого знаb грубого Λ–инварианта подпространство L b ⊆ H 1 (K; R) содержит 1–коцикл Λb · [K]чения ΛΛ(см. (4.44) и обозначение 4.3.3).(А) Пусть валентность атома (P, K)# минимальна, т.е. равна двум. Тогда ростки двухгамильтоновых систем v, v 0 на этом атоме C 0 –сопряжены (определение 4.1.18) в том итолько том случае, когда у них совпадают Λ–метки и совпадают m–метки (см. (4.39) и(4.42)), т.е.
когда RΛ(v) = RΛ(v 0 ) и разность [m(v)] − [m(v 0 )] грубых m–меток пропорциональна 1–коциклу Λ(v) · [K] ∈ H 1 (K; R) (см. обозначение 4.3.3).b грубого Λ–инварианта подпространство C b ⊆Другими словами, для любого значения ΛΛH1 (K; R) совпадает с ортогональным дополнением к 1–циклу [K] ∈ H1 (K; R) в пространстве H1 (K; R) всех циклов графа K относительно скалярного произведения h, iΛb . Подпространство LΛb ⊂ H 1 (K; R) одномерно и порождено 1–коциклом Λ · [K] (см.
обозначениеГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ2884.3.3). Функция I(v) является инвариантом C 0 –сопряженности гамильтоновых системbна атоме (P, K)# тогда и только тогда, когда h[K], zΛb iΛb = 0 для любого значения Λ.#(Б’) Пусть (P, K) — знакоопределенно бициклический атом. Пусть Z1 , Z2 — положительно ориентированные циклы графа K из определения 4.3.24 (отвечающие положительным или отрицательным граничным окружностям данного атома), [Z1 ] + [Z2 ] =[K] — фундаментальный класс графа K. Если функция I(v) является инвариантом C 0 –сопряженности гамильтоновых систем на атоме (P, K)# , то h[Zj ], zΛb iΛb = 0 для любыхb Другими словами, для любого значения Λb грубого Λ–инвариантаj = 1, 2 и значения Λ.b · [Zj ], j = 1, 2 (см.
обозначениеподпространство LΛb ⊂ H 1 (K; R) содержит 1-коциклы Λ4.3.3).(Б) Пусть (P, K)# — либо знакоопределенно бициклический атом валентности ∂ = 3,либо положительно и одновременно отрицательно бициклический атом валентности ∂ =4. Пусть {Z1 , . . . , Z∂ } = {Z± } — набор всех (трех или четырех) положительно ориентированных циклов графа K, отвечающих положительным и отрицательнымграничнымPPокружностям данного атома (с единственным линейным соотношением [Z+ ] = [Z− ]).Тогда ростки двух гамильтоновых систем v, v 0 на этом атоме C 0 –сопряжены в том итолько том случае, когда RΛ(v) = RΛ(v 0 ) и разность [m(v)] − [m(v 0 )] грубых m–меток является линейной комбинацией 1–коциклов Λ(v) · [Zj ] ∈ H 1 (K; R), j = 1, . .
. , ∂.b грубого Λ–инварианта подпространство C b ⊂Другими словами, для любого значения ΛΛH1 (K; R) совпадает с ортогональным дополнением к линейной оболочке 1–циклов [Z± ] впространстве всех 1–циклов графа K относительно скалярного произведения h, iΛb . Подпроb · [Z± ]странство LΛb ⊆ H 1 (K; R) имеет размерность ∂ − 1 и порождено 1–коциклами вида Λ0(см. обозначение 4.3.3). Функция I(v) является инвариантом C –сопряженности гамильтоновых систем на атоме (P, K)# тогда и только тогда, когда h[Zj ], zΛb iΛb = 0 для любыхbj = 1, . . . , ∂ и значения Λ.Доказательство.
Как сказано в примерах 4.3.25, пп.(А’) и (Б’) следуют из леммы 4.3.20, апп.(А) и (Б) — из следствия 4.3.21.Теорему 4.3.27 (А, Б) мы применим ниже для доказательства теоремы 4.5.21 и ее следствия.Важные примеры R–значных функций от Λ– и m–инвариантов, являющихся илине являющихся инвариантами C 0 –сопряженностиВ качестве важных примеров рассмотрим следующие функции от грубого Λ–инварианта иm–инварианта. Их важность состоит в том, что именно такими функциями являются обнаруженные нами три серии продолжимых инвариантов, построенные в §4.5 ниже.Фиксируем седловой атом (P, K)# сложности n. Пусть O1 , . . .
, Oν — все атомные окружности этого атома. Для любой гамильтоновой системы v = (ω, F ) ∈ H(P, K) на этом атомерассмотрим ее грубую Λ–метку (4.29), т.е. набор чисел Λ1 (v), . . . , Λn (v) > 0 в вершинах атома.В качестве функций от грубого Λ–инварианта и m–инварианта рассмотрим следующие инварианты гамильтоновых систем на этом атоме: инварианты вида Λj (v) : Λj 0 (v), 1 ≤ j, j 0 ≤ n(т.е. компоненты Λ–метки), и суммуB(v) = A1 (v) + · · · + Aν (v)инвариантов Ai (v), отвечающих ориентированным атомным окружностям (для некоторогонабора ориентаций атомных окружностей).
Согласно следствию 4.3.8, грубый Λ–инвариантΛj (v) и функция B(v) являются инвариантами C 1 –сопряженности систем на данном атоме.Согласно предложению 4.3.2 или теореме 4.3.16, Λ–инвариант (а потому и Λj (v) : Λj 0 (v))является даже инвариантом C 0 –сопряженности систем на данном атоме.ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ289Так как оба инварианта Λj (v) : Λj 0 (v) и B(v) являются относительно–продолжимымиинвариантами (по отношению к подходящим классам возмущений систем на подходящихатомах, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
