Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Но Π–меткаec,1 “старого” ребра графа Wf1num близка к (не зависящейсистемы ve1 , отвечающая сегменту Uот i по условию) Π–метке, отвечающей сегменту Uc,i ребра графа Winum (см. §4.2.5). Крометого, некоторая малая окрестность Uc,2 системы v2 в H(π2−1 (Uc,2 ), v2 ) целиком содержится встрате Максвелла H2 системы v2 , и ограничениеΠc,2 |Uc,2 : Uc,2 → Rявляется субмерсией (это следует из (4.38) и доказывается аналогично §4.4.1). Поэтому существует малое возмущение vec,2 ∈ Uc,2 системы v2 , такое что Πc,2 (evc,2 ) = Πc,1 (ev1 ).В случае 2, так как (2.11) — субмерсия, то (для некоторого δ > 0) существует гладкое(nc −1)–параметрическое семейство систем vbc,2,θ1 ,...,θnc −1 ∈ H(π2−1 (Uc,2 ), v2 ), θ12 +· · ·+θn2 c −1 < δ 2 ,такое, что• vbc,2,0,...,0 = v2 ;e и для j–го внутреннего ребра• в случае θ1 > 0, .
. . , θnc −1 > 0 выполнено vbc,2,θ1 ,...,θnc −1 ∈ Hec,2 (по отношению к некоторой нумерации внутренних ребер) разность значенийграфа Uгамильтониана системы vbc,2,θ1 ,...,θnc −1 в критических точках с номерами, приписаннымиконцу и началу этого ребра, равна θj .eДля указанного семейства систем принадлежность системы vbc,2,θ1 ,...,θnc −1 страту Максвелла Hnc −1равносильна принадлежности точки θ := (θ1 , . . . , θnc −1 ) открытому первому октанту R>0 ,т.е. выполнению системы неравенствθ1 > 0, . .
. , θnc −1 > 0.e обозначим через Πc,i,j (eВ случае vei ∈ Hvi ) > 0 Π–метку системы vei на j–ом внутреннем ребреeec,1 предполагаетсяграфа возмущения Uc,i (при этом нумерация внутренних ребер графа Uec,2 при гомеоморфизме графов ψe−1 ).индуцированной нумерацией внутренних ребер графа Uec,iТак как атом (Pc,i , Kc,i )# плоский, то количество внутренних ребер графа возмущения Uравно nc − 1, поэтому j = 1, . . . , nc − 1.Положим Bδ := {θ ∈ Rnc −1 | |θ| < δ}. ОтображениеΠc,2 : Rn>0c −1 ∩ Bδ → Rn>0c −1 ,θ 7→ (Πc,2,1 (bvc,2,θ ), . . . , Πc,2,nc −1 (bvc,2,θ )),является отображением проколотой δ–окрестности нуля в открытом первом октанте в этотже открытый октант. Это отображение непрерывно и продолжается до непрерывного (ввидуутверждения 4.2.12 (б)) отображенияΠc,2 : Rn≥0c −1 ∩ Bδ → (R>0 ∪ {+∞})nc −1 ,причем Πc,2 (0, .
. . , 0) = (+∞, . . . , +∞) и для любого j ∈ {1, . . . , nc − 1} верно следующее:Πc,2,j (θ) = +∞ тогда и только тогда, когда θj = 0. Отсюда и из леммы 4.4.3 (см. ниже)следует, что точка (+∞, . . . , +∞) является внутренней точкой множества Πc,2 (Rn≥0c −1 ∩ Bδ )в (R>0 ∪ {+∞})nc −1 . Поэтому можно выбрать столь малое ε > 0, что для любого ε–малогоe системы v1 существует точка θc ∈ Rnc −1 ∩ Bδ такая, что Πc,2 (bвозмущения ve1 ∈ Hvc,2,θc ) =>0c(Πc,1,1 (ev1 ), . . .
, Πc,1,nc −1 (ev1 )). Положим vec,2 := vbc,2,θ .Определим возмущенную систему ve2 ∈ H(π2−1 (U2 ), v2 ) равной vec,2 на любом π2−1 (Uc,2 ), иe и системы ve1 и ve2 имеют одну и ту жу Π–метку наравной v2 на M \ π2−1 (U2 ). Тогда ve2 ∈ Hf1num ' Wf2num , что и требовалось.любом ребре графа возмущения WГЛАВА 4.296ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМШаг 4. Осталось доказать последние два требуемых утверждения. Предположим, чтодля плоского атома (P, K)# существуют относительно-устойчиво C 0 –несопряженные систеe простых возмущений вида (4.17).(P ) по отношению к классу Hмы v1 , v2 ∈ H(P, K) ∩ Hnondeg0#Так как атом (P, K) плоский, то по доказанному выше существует пара C 0 –сопряженныхe сколь угодно близкая (в смысле C ∞ –топологии на H(P )) к паре системсистем ve1 , ve2 ∈ H,v1 , v2 .
Но это противоречит относительно-устойчивой C 0 –несопряженности систем v1 , v2 поe (см. определения 4.1.19 и 4.1.21).отношению к классу возмущений HПредположим теперь, что для плоского атома (P, K)# существует относительно–C ∞ –продолжимый инвариант I : H(P, K) → R (см. определение 4.1.22) по отношению к классуe простых возмущений вида (4.17). Так как инвариант I относительно–продолжим, то онHне есть константа. Значит, существуют две системы v1 , v2 ∈ H(P, K) ∩ Hnondeg(P ) такие,0что I(v1 ) < I(v2 ).
С другой стороны, так как атом имеет сложность > 1 (ввиду существования класса простых возмущений вида (4.17)), то Λ–инвариант Болсинова-ФоменкоC 0 –сопряженности систем на этом атоме (определение 4.3.1) нетривиален. Поэтому можносчитать, что RΛ(v1 ) 6= RΛ(v2 ), а значит системы v1 , v2 не являются C 0 –сопряженными. Изнеравенства I(v1 ) < I(v2 ) и из п.3 определения 4.1.22 следует, что для соответствующегоe и vei → vi (в смысле C ∞ –e v1 ) < I(ee v2 ) при vei ∈ H“возмущенного” инварианта Ie выполнено I(eтопологии на H(P )), i = 1, 2.
Поэтому системы ve1 , ve2 тоже не являются C 0 –сопряженными(так как Ie есть инвариант C 0 –сопряженности). Значит, системы v1 , v2 относительно-C ∞ –e простых возмущений вида (4.17). Этоустойчиво C 0 –несопряжены по отношению к классу Hпротиворечит доказанному выше.Наконец, любой продолжимый инвариант является относительно–продолжимым по отношению к любому классу возмущений.Итак, утверждение 4.4.2 будет доказано, когда будет доказана следующая лемма.Лемма 4.4.3. Пусть k ∈ N и X = [0, +∞)k — замкнутый положительный октант в Rk .Для любого подмножества J ⊆ {1, .
. . , k} рассмотрим соответствующую открытую граньXJ := {(xi )ki=1 ∈ X | ∀j ∈ J xj > 0, ∀i ∈ {1, . . . , k} \ J xi = 0}октанта X. Предположим, что g : X → X — непрерывное отображение, переводящеелюбую открытую грань XJ в себя, т.е. g(XJ ) = XJ для любого J ⊆ {1, . . . , k}. Тогда g(X)содержит некоторую окрестность вершины (0, . . .
, 0) октанта в X.Доказательство. По условию g(0, . . . , 0) = (0, . . . , 0), и g(x) 6= (0, . . . , 0) для любойPточкиx = (x1 , . . . , xk ) ∈ X \ {(0, . . . , 0)}. Рассмотрим функцию ξ : Rk → R, ξ(x1 , . . . , xk ) := ki=1 xi .Рассмотрим гиперплоскость и полупространствоH := {x ∈ Rk | ξ(x) = 1},H− := {x ∈ Rk | ξ(x) ≤ 1}.Рассмотрим (k − 1)–мерный симплекс X ∩ H и k–мерный симплекс X ∩ H− (сечения октантаX гиперплоскостью H и полупространством H− ). Так как X ∩ H компактно и (0, . . .
, 0) 6∈g(X ∩ H), тоρ := inf ξ(g(x)) > 0.x∈X∩HПредположим противное тому, что требуется доказать. Пусть x0 ∈ X{1,...,k} — любая точкатакая, что ξ(x0 ) < min{ρ, 1} и x0 6∈ g(X) (она существует в силу предположения). Определимфункцию λ : X \ {x0 } → R>0 формулойλ(x) := sup{t ∈ R>0 | x0 + (x − x0 )t ∈ X ∩ H− },x ∈ X \ {x0 }.Определим отображение G : X ∩ H− → ∂(X ∩ H− ) формулойG(x) := x0 + (g(x) − x0 )λ(g(x)),x ∈ X ∩ H− .ГЛАВА 4.297ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМПоложимg1 = G|∂(X∩H− ) : ∂(X ∩ H− ) → ∂(X ∩ H− ).С одной стороны, отображение g1 гомотопно постоянному отображению (так как оно продолжается внутрь симплекса X ∩ H− до отображения G), поэтому deg(g1 ) = 0.С другой стороны, g1 гомотопно тождественному отображению g0 = id∂(X∩H− ) при помощигомотопии gt : ∂(X ∩ H− ) → ∂(X ∩ H− ),gt (x) := x0 + ((1 − t)x + tg(x) − x0 )λ((1 − t)x + tg(x)),x ∈ ∂(X ∩ H− ),0 ≤ t ≤ 1.
Эта гомотопия определена корректно, т.е. (1 − t)x + tg(x) 6= x0 при любыхx ∈ ∂(X ∩ H− ) и t ∈ [0, 1], так как по условию при x ∈ ∂X точки x и g(x) (а потому исоединяющий их отрезок) содержатся в одной и той же открытой грани XJ 63 x0 , а приx ∈ X ∩ H имеем ξ(x) = 1 > ξ(x0 ) и ξ(g(x)) ≥ ρ > ξ(x0 ). Поэтому deg(g1 ) = deg(g0 ) = 1, чтопротиворечит доказанному равенству deg(g1 ) = 0.4.4.3Выводы о продолжимых инвариантах и устойчивой C 0 –несопряженности систем на атомеНапомним, что мы уже получили (в §4.2) положительный ответ на вопрос (Q5) из §4.1.5.Изучим вопросы (Q3) и (Q4) из §4.1.5 о продолжимых инвариантах для двух “противоположных” классов возмущений систем: класса тривиальных возмущений и класса простыхвозмущений (см.
(4.17)).Для первого из этих классов возмущений, т.е. класса тривиальных возмущений системлюбого страта Максвелла (и, в частности, систем на любом атоме), мы решили вопросы (Q3)и (Q4) в предложении 4.4.1.Для второго класса возмущений, т.е. класса простых возмущений систем (т.е. возмущенийиз открытого страта Максвелла), мы получили в утверждении 4.4.2 отрицательные ответына вопросы (Q1’) и (Q3) в случае любого неоткрытого страта Максвелла H1 , системы которого имеют лишь плоские атомы, и поэтому вопрос (Q4) не возникает.
Мы также получили“отрицательный” ответ на вопрос (Q2) для любого плоского атома: любые две гамильтоновысистемы на любом плоском атоме не являются устойчиво C 0 –несопряженными.Итак, в указанных выше случаях мы получили “тривиальные” полные решения всех вопросов устойчивости и продолжимости (Q1)—(Q4), (Q1’) и (Q2’). Осталось решить эти вопросы(вместе с вопросом (Q4’) из §4.3.3) для класса простых возмущений гамильтоновых системна неплоских атомах, а также для класса сложных возмущений систем на атомах. В следующем параграфе эти вопросы решаются в некоторых случаях. При этом обнаруженныенами продолжимые инварианты оказываются “гомологическими”, т.е.
тесно связанными с1–мерными гомологиями несущей замкнутой поверхности (полученной из исходной поверхности M или P заклеиванием всех граничных окружностей дисками).4.5Два типа относительно–продолжимых инвариантов C 0–и C 1–сопряженности систем на седловом атомеНиже мы опишем два обнаруженных нами типа относительно–продолжимых инвариантов(см. определение 4.1.22) по отношению к соответствующим двум нетривиальным классамвозмущений систем на данном седловом атоме:1) Первый тип возмущений, обладающий относительно–продолжимым инвариантом, —это нетривиальные сложные возмущения ve исходной системы v на любом атоме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
