Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 103
Текст из файла (страница 103)
4.6.Подчеркнем, что бициклические возмущения существуют лишь на бициклических атомах.ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ301Рис. 4.6. Циклы Z1 и Z2 на атоме C1Описание относительно–продолжимого m–инвариантаПерейдем к описанию относительно–продолжимого инварианта B = B(v) для бициклическихвозмущений.
Он является функцией от полного m–инварианта C 1 –сопряженности (определение 4.3.4 и замечание 4.3.13), поэтому для краткости его будем называть относительно–продолжимым m–инвариантом (по отношению к бициклическим возмущениям).Определим m–инвариант C 1 –сопряженности B(v) и сформулируем утверждение о его относительной продолжимости, которое докажем чуть ниже.Теорема 4.5.6 ([145, теорема 1.6]). Пусть дан бициклический атом (P, K)# и класс бициклических возмущений гамильтоновых систем на этом атоме. Пусть фиксирована параориентированных циклов Z1 , Z2 графа K, по отношению к которой атом и класс возмущений систем на нем являются бициклическими.
Тогда в графе возмущения W num естьпара ребер e1 и e2 , соединяющих одну и ту же пару вершин и обладающих следующимисвойствами:(A) Соответствующие 1–циклы ζ(e1 ), ζ(e2 ) ∈ H1 (K) (см. определение 4.2.13 (B)) совпадают с классами [Z1P], [Z2 ] ∈ H1 (K) ориентированных циклов Z1 , Z2 . В частности, ζ(e1 ) −ζ(e2 ) = [Z1 ] − [Z2 ] = νi=1 [Oi ].(B) ИнвариантνXB(v) = h[m(v)], [Z1 ] − [Z2 ]i =h[m(v)], [Oi ]ii=11C –сопряженности гамильтоновых систем на данном атоме является относительно–C r –продолжимым инвариантом по отношению к бициклическим возмущениям данного класса(а также гладким инвариантом на пространстве H(P, K) систем на данном атоме, непрерывным в смысле C r –топологии на пространстве H(P, K)) при любом r ≥ 5. Более того,разность C 0 –меток Болсинова-Фоменкоe v ) = Πe1 (eB(ev ) − Πe2 (ev)на рёбрах e1 , e2 (которые по теореме 4.3.16 Болсинова-Фоменко являются инвариантамиC 0 –сопряженности возмущенных систем) близка к невозмущенному значению B(v).
Тоe v ) → B(v) при ve → v (в смысле C r –топологии), где ve является бициклическиместь, B(eвозмущением данного класса.(C) Если валентность атома (P, K)# равна двум, то относительно–продолжимый инвариант B = B(v) является инвариантом C 0 –сопряженности гамильтоновых системна данном атоме. Если же атом (P, K)# является знакоопределенно-бициклическим, тоотносительно–продолжимый инвариант B = B(v) не является инвариантом C 0 –сопряженности гамильтоновых систем на данном атоме.Напомним геометрический смысл относительно–продолжимогоm–инварианта B(v) изPνтеоремы 4.5.6.
Так как ζ(e1 ) − ζ(e2 ) = [Z1 ] − [Z2 ] =i=1 [Oi ], то значение B(v) на системе v ∈ H(P, K) равно сумме главных значений периода системы v на атомных окружностяхГЛАВА 4.302ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМOi данного атома, взятых с подходящими ориентациями (определение 4.3.7):B(v) = A1 (v) + . . .
+ Aν (v).Более детальное изучение бициклических атомов (т.е. допускающих бициклические возмущения) можно найти в [145, 146, 137], см. также §4.5.2, §4.5.2 и теорему 4.5.18.Отметим, что относительно–продолжимые m–инварианты не всегда являются инвариантами C 0 –сопряженности гамильтоновых систем на атоме (теорема 4.5.21). Однако они всегдаявляются инвариантами C 1 –сопряженности согласно следствию 4.3.8.Прежде чем доказывать теорему 4.5.6, докажем вспомогательное утверждение 4.5.8.Определение 4.5.7.
Рассмотрим граф возмущения W num для возмущенного гамильтониана. Мы скажем, что в графе возмущения W num есть симметричное двойное ребро (e1 , e2 ),если в нем имеется пара ребер e1 и e2 , соединяющих одну и ту же пару вершин, которымотвечает один и тот же набор чисел κ(e) = (κ1 (e), . .
. , κn (e)) ∈ {0, 1, 2}n (см. определение4.2.11 или 4.2.13 (A)), т.е.(κ1 (e1 ), . . . , κn (e1 )) = (κ1 (e2 ), . . . , κn (e2 )).В частности, две функции Le1 (f ) и Le2 (f ), аппроксимирующие функции периода (см.определение 4.2.11) на ребрах симметричного двойного ребра, определены в одном и томже интервале и отличаются на некоторую постоянную (эта постоянная, очевидно, равнаh[m(v)], ζ(e1 ) − ζ(e2 )i, где ζ(e` ) — 1–цикл графа K, отвечающий ребру e` , см. определение4.2.13 (B)).Нетрудно показать, что для любого симметричного двойного ребра (e1 , e2 ) выполненоκi (e1 )+κi (e2 ) ≤ 2, поэтому все числа набора κ(e1 ) = κ(e2 ) равны 0 и 1, и (κ1 (e1 ), . . .
, κn (e1 )) =(1, . . . , 1), откуда атом и рассматриваемое возмущение являются бициклическими.Утверждение 4.5.8 ([145, утверждение 4.2]). Рассмотрим систему v на бициклическоматоме, в котором фиксированы циклы Z1 и Z2 . Тогда, при бициклических возмущенияхтакой системы, всегда появляется симметричное двойное ребро (e1 , e2 ) в графе возмущениядля гамильтониана Fe.Доказательство.
Рассмотрим бициклическое возмущение системы на бициклическом атоме. Пусть критический уровень c невозмущенного гамильтониана является нулевым: c = 0.Без ограничения общности можно считать, что для данного бициклического возмущениявыполнено ci < 0 < cj при i ∈ I, i ∈ J. Рассмотрим нулевой уровень Fe−1 (0) возмущенногогамильтониана Fe. Как мы заметили после определения 4.5.5 (бициклического возмущения),нулевой уровень нулевой уровень Fe−1 (0) распадается на две окружности γ1 и γ2 , близкиек циклам Z1 и Z2 (рис. 4.6). Пусть e1 и e2 — два ребра графа Кронрода-Риба, отвечающиеуказанным двум окружностям γ1 и γ2 .
Тогда получаем п.(A) теоремы 4.5.6. Для каждой изэтих окружностей γ` рассмотрим числоLe` (0) = h[m(v)], [Z` ]i −nXκi (e` )Λi (ev ) ln |ci |,` = 1, 2.i=1Заметим, что, по определению циклов Z1 и Z2 , все κi (e` ) равны 1, так что второе слагаемоедля окружностей γ1 и γ2 одно и то же. Отсюда получаем, что числа L(0) для этих окружностей отличаются на число B(v) = h[m(v)], [Z1 ] − [Z2 ]i. По непрерывности получаем, чтотраекториям системы на двух ребрах e1 и e2 отвечают те же два цикла Z1 и Z2 .
Поэтомуфункции Le` (f ) на этих двух ребрах имеют видLe` (f ) = h[m(v)], [Z` ]i −nXi=1Λi (ev ) ln |f − ci |.ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ303В частности, эти две функции отличаются на константуLe1 (f ) − Le2 (f ) = h[m(v)], [Z1 ] − [Z2 ]i = B(v).Осталось показать, что два ребра e1 и e2 графа Кронрода-Риба W , отвечающие указаннымдвум окружностям γ1 и γ2 , имеют общее начало и общий конец.
Пусть, для определенности,ci0 = maxi∈I ci . Рассмотрим вершину графа возмущения W num , к которой отнесен номерi0 . Из этой вершины, очевидно, выходят оба ребра e1 и e2 , так как для обоих этих реберκi0 (e` ) > 0. Мы получили, что ребра e1 и e2 имеют общую начальную вершину.
Точно так жепроверяется, что они имеют общий конец, отвечающий уровню cj0 = minj∈J cj возмущенногогамильтониана Fe. (Заметим, что отсюда, в частности, следует связность особых линий уровняFe−1 (ci0 ) и Fe−1 (cj0 ), отвечающих общему началу и общему концу этих двух ребер.)Итак, функции Le` (f ), ` = 1, 2, на этой паре ребер определены на одном и том же интервале (ci0 , cj0 ) значений параметра f . При этом эти функции отличаются на ту же постояннуюB(v) = h[m(v)], [Z1 ] − [Z2 ]i, что и значения Le` (0) на нулевом уровне. Значит, пара (e1 , e2 )является симметричным двойным ребром графа возмущения.Доказательство теоремы 4.5.6. Выведем теорему 4.5.6 из утверждений 4.2.12 (б) и 4.5.8,т.е. покажем, что функционал B(v) = h[m(v)], [Z1 ] − [Z2 ]i является относительно–C r –продолжимым по отношению к бициклическим возмущениям. Другими словами: при маломe v) =бициклическом возмущении системы этот функционал “преобразуется” в инвариант B(eΠe1 (ev ) − Πe2 (ev ), где Πe1 (ev ) и Πe2 (ev ) суть Π–метки возмущенной системы ve на ребрах e1 и e2 .Итак, нужно показать, что значение Πe1 (ev ) − Πe2 (ev ) близко к значению B(v), если возмущение системы достаточно мало.
Напомним, что Π–метка Πe` (ev ) является минимумомфункции периода τe` (f ) системы ve на ребре e` (см. §4.2.5). Согласно утверждению 4.2.12 (б),функции периода τe` = τe` (f ) близки к аппроксимирующим функциям Le` = Le` (f ), ` = 1, 2.Но разность Le1 − Le2 последних функций является постоянной B(v) согласно утверждениюv ) − Πe2 (ev) =4.5.8. Следовательно, и минимумы функций τe` отличаются на величину Πe1 (emin τe1 − min τe2 , близкую к min Le1 − min Le2 = Le1 − Le2 = B(v).Инвариант B = B(v) является гладкой субмерсией (определение 4.1.17) в силу свойства(2) из §4.3.2.
Он непрерывен по отношению к C r –топологии на H(P, K) для любого r ≥ 3согласно предложению 4.3.5.Пункт (C) теоремы 4.5.6 получается из следствия 4.3.30.Выводы об относительно-устойчиво C 0 –несопряжённых системах относительнобициклических возмущенийИз теоремы 4.5.6 легко получаемСледствие 4.5.9 ([137, теорема 3], [145, следствие 1.2]). Пусть функции Морса F с ровноодним критическим значением на поверхности P отвечает бициклический атом (в котором фиксированы два цикла Z1 и Z2 ). Пусть пара гамильтоновых систем v1 и v2 изпространства H(F ) на этом атоме удовлетворяет следующим условиям.1) Наборы значений функционалов (Λ1 (v), . . . , Λn (v)) для этих систем не пропорциональны друг другу: (Λ1 (v1 ) : · · · : Λn (v1 )) 6= (Λ1 (v2 ) : · · · : Λn (v2 )).2) Значения функционала B(v) = A1 (v) + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
