Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 99
Текст из файла (страница 99)
утверждение 4.2.12 (а) и теоремы 4.5.6 и 4.5.18 ниже), то в связи с вопросом (Q4)возникает естественный вопрос:(Q4’) Является ли инвариант B = B(v) C 1 –сопряженности инвариантом C 0 –сопряженности систем на данном атоме? (Теоремы 4.3.27 (А, Б), 4.5.6 (C) и 4.5.21, следствие 4.3.30.)Оказывается, что ответ на вопрос (Q4’) может быть как положительным, так и отрицательным (теорема 4.3.27 (А, Б) и следствие 4.3.30), даже при условии относительной продолжимости инварианта B(v) по отношению к некоторому классу простых возмущений (теоремы4.5.6 и 4.5.21).Замечание 4.3.28. Отметим, что для знакоопределенно бициклических атомов (как и длябициклических) сумма классов положительно ориентированных циклов Z1 и Z2 равна [K], аих разность равна сумме классов всех атомных окружностей [O1 ]+.
. .+[Oν ] с подходящим образом выбранными ориентациями. Поэтому в теореме 4.3.27 (Б), в случае валентности три,подпространство CΛb ⊂ H1 (K; R) совпадает с ортогональным дополнением в пространствевсех 1–циклов графа K к двум 1–циклам: фундаментальному классу [K] графа K и сумме[O1 ] + . . . + [Oν ] классов всех атомных окружностей атома. В случае атома валентности 4это подпространство совпадает сPортогональнымP дополнением к трем 1–циклам: фундаментальному классу [K] и суммам Oi ⊆O+ [Oi ] и Oi ⊆O− [Oi ] классов атомных окружностей погруппам O+ и O− , описанным в замечании 4.3.26.Выводы 4.3.29. Для любого седлового атома рассмотрим любую атомную окружность Oiи любую нетривиальную линейную комбинациюz := λ1 [O1 ] + . .
. + λν [Oν ]классов атомных окружностей, где λi ∈ R. Рассмотрим R–значные функцииAi (v) := h[m(v)], [Oi ]i,B(v) := h[m(v)], zi = λ1 A1 (v) + · · · + λν Aν (v)от Λ– и m–инвариантов на пространстве H(P, K). Тогда:1) Для атомов валентности два, для любой атомной окружности Oi (и, следовательно,для любой линейной комбинации классов атомных окружностей вида z как выше) функцияAi (v) (соотв. B(v)) является инвариантом C 0 –сопряженности гамильтоновых системна этом атоме.
Действительно, это следует из теоремы 4.3.27 (А) и равенства h[K], [Oi ]iΛb =0. Последнее равенство следует из того, что вклад k–го ребра окружности Oi в значениеbj + Λb j )/2 меток в концах этого ребра, где j1 , . . . , j2lh[K], [Oi ]iΛb равен полусумме (−1)k (Λk−1k— последовательность номеров вершин атома вдоль окружности Oi , поэтому вклад k–ойb j /2 − Λb j /2 = 0.вершины окружности Oi равен Λkk2) Для знакоопределенно бициклических атомов, для любой атомной окружности Oi и длялюбой нетривиальной линейной комбинации z классов атомных окружностей такого атома сb соответствующие функции Ai (v) и B(v)постояными коэффициентами (не зависящими от Λ)0не являются инвариантами C –сопряженности гамильтоновых систем на этом атоме.Действительно, это следует из теоремы 4.3.27 (Б’) и неравенствh[Z+ ], [Oi ]iΛb 6= 0,h[Z+ ], zi2Λb + h[Z− ], zi2Λb > 0,(4.47)где цикл Z+ (соотв. Z− ) — это один из двух положительных (соотв.
отрицательных) положительно ориентированных циклов графа K из определения 4.3.24. Первое неравенство в(4.47) следует из того, что для положительно бициклического атома с соответствующей парой положительных циклов, классы которых суть [Z+ ] и [K] − [Z+ ], для любой его атомнойокружности Oi , где ориентации атомных окружностей выбраны так, что [Z+ ] − ([K] − [Z+ ]) =[O1 ] + . .
. + [Oν ], имеем h[Z+ ], [Oi ]iΛb > 0, так как значение h[Z+ ], [Oi ]iΛb равно полусуммеГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ290b j1 +· · ·+ Λb j )/2 меток во всех вершинах окружности Oi , так как цикл Z+ содержит все чет(Λ2liные ребра окружности Oi и не содержит все нечетные ребра окружности Oi (для циклического порядка ребер вдоль окружности, с подходящей начальной вершиной). Здесь 2li означаетдлину атомной окружности Oi . Следовательно, для любой нетривиальной линейной комбинации z классов атомных окружностей Oi значение h[Z+ ], ziΛb есть нетривиальная линейнаяb j входит максимум в два такихb j1 + · · · + Λb j )/2, где каждое Λкомбинация выражений вида (Λ2liвыражения (так как через каждую вершину атома проходит максимум две атомные окружb 1, . .
. , Λb n > 0)ности). Но равенство нулю последней линейной комбинации (при любых Λвозможно только в том случае, когда атомные окружности можно разбить на две группыO+ и O− как в замечании 4.3.26 (т.е. атом Pявляется такжеP отрицательно бициклическим,см. замечание 4.3.26), и z пропорционально Oi ⊆O+ [Oi ] − Oi ⊆O− [Oi ] = [Z− ] − ([K] − [Z− ])с ненулевым коэффициентом пропорциональности, однако в этом случае значение h[Z− ], ziΛbпропорционально h[Z− ], [Z− ] − ([K] − [Z− ])iΛb = h[Z− ], [Z− ]iΛb > 0 с тем же коэфициентомпропорциональности и потому отлично от нуля. Поэтому верно второе неравенство в (4.47).Отсюда мы сразу получаем в следующем следствии 4.3.30 ответ на вопрос (Q4’) длянекоторых атомов. А именно, для этих атомов мы выясняем, являются ли инварианты C 1 –сопряженности Ai (v) и их суммы B(v) инвариантами C 0 –сопряженности гамильтоновых систем на этих атомах.
А именно, следующее утверждение показывает, что ответ на этот вопросможет быть как положительным, так и отрицательным (в зависимости от атома).Фиксируем атом. Рассмотрим его атомные окружности Oi и соответствующие инвариантыAi (v) = h[m(v)], [Oi ]i C 1 –сопряженности гамильтоновых систем на данном атоме, 1 ≤ i ≤ ν.Следствие 4.3.30 (о связи m–инвариантов Ai (v) C 1 –сопряженности с инвариантами C 0 –сопряженности систем на некоторых атомах, включая “вполне бициклические” атомы). (А)Рассмотрим любой атом валентности 2, т.е. имеющий ровно одну положительную ировно одну отрицательную граничную окружности. Для каждой атомной окружностиOi рассмотрим соответствующий инвариант C 1 –сопряженности Ai (v) = h[m(v)], [Oi ]i систем на данном атоме, 1 ≤ i ≤ ν.
Тогда эти инварианты функционально независимы и являются инвариантами C 0 –сопряженности гамильтоновых систем на этом атоме. В частности, любой инвариант вида B(v) = A1 (v) ± . . . ± Aν (v) (в том числе любой относительнопродолжимый m-инвариант в случае бициклического атома, см. теорему 4.5.6) являетсяинвариантом C 0 –сопряженности систем на атоме.(Б) Рассмотрим любой знакоопределенно бициклический атом. Тогда все C 1 –инвариантыAi (v) = h[m(v)], [Oi ]i, 1 ≤ i ≤ ν, и любая их нетривиальная линейная комбинация с постоянными (т.е. не зависящими от Λ(v)) коэффициентами, в том числе любой инвариант видаB(v) = A1 (v)±.
. .±Aν (v) (в том числе любой относительно-продолжимый m-инвариант в случае бициклического атома, см. теорему 4.5.6) не являются инвариантами C 0 –сопряженностигамильтоновых систем на этом атоме.4.4Полный относительно–продолжимый инвариант длятривиальных или простых возмущений систем с плоскими атомамиЗдесь приводятся две серии седловых атомов и классов возмущений систем на них. Даетсяполное описание относительно–продолжимых инвариантов по отношению к этим классамвозмущений (определение 4.1.22), которое легко выводится из классификационной теоремы4.3.16 Болсинова-Фоменко. В этих случаях мы получим “тривиальные” полные решения всехвопросов устойчивости и продолжимости (Q1)—(Q4), (Q1’), (Q2’).ГЛАВА 4.4.4.1ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ291Тривиальные возмущения (непрерывные инварианты сопряженности на страте Максвелла)Отметим, что в случае класса тривиальных возмущений (4.17) вопрос о нахождении продолжимых инвариантов уже фактически решен.
В самом деле, согласно утверждению 2.5.2, прималых тривиальных возмущениях гамильтониана всегда сохраняется класс послойной эквивалентности гамильтониана. С учетом открытости пространства Hnondeg (M ) невырожденныхгамильтоновых систем, при таком возмущении невырожденной системы сохраняется невырожденность системы. Отсюда нетрудно показать, что возмущенная система принадлежиттому же страту Максвелла, что и невозмущенная. Таким образом, тривиальные возмущенияне выводят из страта Максвелла (т.е. из связной компоненты класса траекторной эквивалентности в Hnondeg (M )).Но мы уже показали, что любой страт Максвелла H1 ⊆ Hnondeg (M ) является гладким подмногообразием конечной коразмерности в H(M ) (см.
свойство (1) из §4.3.2), и что ограничение инварианта Болсинова-Фоменко (являющегося полным инвариантом C 0 –сопряженностисогласно теореме 4.3.16) на любой страт Максвелла H1 ⊆ Hnondeg (M ) является субмерсией(см. определение 4.1.17 и свойство (2) из §4.3.2), т.е. “расслоением”. Обозначим эту субмерсиючерезBF |H1 = (Π, RΛ, mΛ )|H1 : H1 → U ' R`для некоторого ` ∈ N. Без ограничения общности считаем, что BF |H1 (H1 ) = U , т.е. субмерсиясюръективна.Предложение 4.4.1. Пусть H1 — любой страт Максвелла (т.е. связная компонентакласса траекторной эквивалентности) в Hnondeg (M ). Для класса тривиальных возмущений ve ∈ H1 систем v ∈ H1 непрерывные (соотв. гладкие) функции от инвариантов BF |H1Болсинова-Фоменко C 0 –сопряженности, и только они являются относительно–продолжимыми (соотв.
гладкими относительно–продолжимыми) инвариантами (определение 4.1.22).Все эти функции непрерывны на H1 относительно C r –топологии при любом r ≥ 3. В частности, для них выполнен предельный переход (4.18) в смысле C r –топологии на H(P ) прилюбом r ≥ 3.Доказательство. Предположим, что I : H1 → R — относительно–продолжимый инвариантна H1 по отношению к классу тривиальных возмущений. Оба инварианта I и Ie из определения 4.1.22 определены на рассматриваемом страте Максвелла H1 .
Так как функционал Ieявляется инвариантом C 0 –сопряженности систем на данном страте Максвелла, то существует функция f : U → R такая, что Ie = f ◦ BF |H1 .Так как BF |H1 — субмерсия (см. выше), то для любой системы v ∈ H1 существует гладкоесемейство систем veθ1 ,...,θ` ∈ S при θ12 + · · · + θ`2 < ε2 такое, что ve0,...,0 = v и отображениеψ : (θ1 , . . . , θ` ) 7→ BF |S (evθ1 ,...,θ` )является диффеоморфизмом открытого диска радиуса ε на некоторое открытое подмножество U0 ⊆ U (в частности, veθ1 ,...,θ` 6= v при 0 < θ12 + · · · + θ`2 < ε2 ).
Так как семейство veθ1 ,...,θ`гладкое, а функция Ie непрерывна относительно C ∞ –топологии, то ввиду свойства непрерывной продолжимости (4.18) при ve ∈ H1 имеемe = lim I(ee vθ1 ,...,θ ) (4.18)I(v)= I(v).`θ→0Значит, Ie = I, т.е. продолжимый инвариант I имеет требуемый вид I = f ◦ BF |H1 . Осталось показать, что если инвариант I гладкий, то функция f гладкая. Так как I гладкая, тофункцияf ◦ ψ : (θ1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
