Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Отношениеh[K 0 ], [Z]i/h[K], [Z]i назовем плотностью правильного подграфа K 0 на цикле Z графа K.Плотность правильного подграфа K 0 на любом цикле вида Z± всегда равна 0, 1 или 1/2, иb ∈ Rn .совпадает с h[K 0 ], [Z± ]iΛb /h[K], [Z± ]iΛb при любом Λ>0Лемма 4.3.20 (примеры C 0 –сопряженных систем на произвольном атоме [145, лемма 6.2]).Пусть K 0 ⊆ K — правильный подграф графа K для атома (P, K)# . Тогда:(A) Ростки любых двух систем v, v 0 на данном атоме, для которых значения Λ–инварианта совпадают, а разность [m(v)] − [m(v 0 )] грубых m–меток пропорциональна 1–коциклуb=Λ(v) · [K 0 ], C 0 –сопряжены (определение 4.1.18). Другими словами, для любого элемента Λnb 1, .
. . , Λb n ) ∈ R>0 подпространство C b ⊂ H1 (K; R) из предложения 4.3.11 ортогонально(ΛΛ1–цепи [K 0 ] ∈ C1 (K; R) относительно скалярного произведения h, iΛb из обозначения 4.3.3(т.е. подпространство LΛb содержит класс 1–коцепи GΛb ([K 0 ]) ∈ C 1 (K; R), т.е. 1–коциклGΛb ([K 0 ]) mod B 1 (K; R) ∈ H 1 (K; R)).ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ284b где(B) Пусть дано семейство 1–циклов zΛb ∈ H1 (K; R), зависящих от параметра RΛ,b ∈ Rn .
Рассмотрим R–значную функцию I(v) := h[m(v)], zΛ(v) i, v ∈ H(P, K), от Λ–Λ>0инварианта и грубого m–инварианта на пространстве H(P, K). Если функция I = I(v)является инвариантом C 0 –сопряженности гамильтоновых систем на атоме (P, K)# , тоbh[K 0 ], zΛb iΛb = 0 для любого значения Λ.Рис. 4.4. Операция вклейки–вырезания ленточекДоказательство. (A) Эта лемма легко следует из работы [9]. Дело в том, что для любой гамильтоновой системы v на атоме ее класс C 0 –сопряженности не изменится, если кэтой системе применить операцию “вклейки–вырезания ленточек”, отвечающую 1–коцепиcGΛ(v) ([K 0 ]) ∈ C 1 (K; R) (см. (4.40) и рис.
4.4). Здесь K 0 ⊆ K — любой правильный подграф, c ∈ R. Также класс C 0 –сопряженности системы не изменится, если изменить крест водной вершине атома (с помощью операции переклейки ленточек для креста данной вершины), а потом применить обратную операцию переклейки ленточек, отвечающую 1–кограницеданной вершины. Если [m(v)] − [m(v 0 )] = cΛ(v) · [K 0 ], то указанными операциями можно получить систему v1 ∈ H(P, K), C 0 –сопряженную системе v, и такую, что m(v1 ) = m(v 0 ) иRΛ(v1 ) = RΛ(v 0 ). Отсюда и из предложения 4.3.11 сразу получаем C 0 –сопряженность системv1 и v 0 , а потому систем v и v 0 .(B) следует из (A).Заметим, что все правильные подграфы графа K для атома образуют алгебру, т.е. множество таких подграфов замкнуто относительно операций объединения, пересечения и дополнения.Следующее утверждение уточняет лемму 4.3.20 в случае атомов, имеющих “достаточноеколичество” положительно ориентированных циклов, являющихся правильными подграфами для данного атома.Следствие 4.3.21. Пусть (P, K)# — седловой атом сложности n и валентности ∂.
Предположим, что Z1 , . . . , Z∂−1 — положительно ориентированные циклы ориентированногографа K, классы которых в H1 (K; R) линейно независимы (например, все кроме одного циклы графа K, отвечающие граничным окружностям атома, т.е. все кроме одного положительные и отрицательные циклы Z± этого атома, классы которых линейно независимыввиду замечания 4.3.18 (A)). Предположим, что любой из циклов Z1 , . . . , Z∂−1 являетсяправильным подграфом графа K для данного атома (определение 4.3.19). Тогда:b ∈ Rn>0 грубого Λ–инварианта подпространство C b ⊂ H1 (K; R)(A) Для любого значения ΛΛиз предложения 4.3.11 имеет коразмерность ∂ − 1 и совпадает с ортогональным дополнением к линейной оболочке 1–циклов [Zj ], 1 ≤ j ≤ ∂ − 1, в пространстве всех 1–циклов графаK относительно скалярного произведения h, iΛb (обозначение 4.3.3). Другими словами, подпространство LΛb = Ann CΛb ⊆ H 1 (K; R) имеет размерность ∂ −1 и порождено 1–коцикламиb · [Zj ], 1 ≤ j ≤ ∂ − 1 (см.
обозначение 4.3.3).вида ΛГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ285b где(B) Пусть дано семейство 1–циклов zΛb ∈ H1 (K; R), зависящих от параметра RΛ,b ∈ Rn . Рассмотрим R–значную функцию I(v) := h[m(v)], zΛ(v) i, v ∈ H(P, K), от Λ–Λ>0инварианта и грубого m–инварианта на пространстве H(P, K).
Функция I = I(v) является инвариантом C 0 –сопряженности гамильтоновых систем на атоме (P, K)# тогда иbтолько тогда, когда h[Zj ], zΛb iΛb = 0 для любых j = 1, . . . , ∂ − 1 и значения Λ.b ∈ Rn обозначим через h[Zj ]i⊥ ⊆ H1 (K; R) ортогоДоказательство. (A) Для любого Λ>0bΛнальное дополнение к линейной оболочке h[Zj ]i = h[Zj ]i∂−11–циклов[Zj ] в пространствеj=1H1 (K; R) относительно скалярного произведения h, iΛb .
В силу леммы 4.3.20 подпространство⊥CΛb ⊆ h[Zj ]i⊥b ≥ codim h[Zj ]iΛb , откуда codim CΛb = dimh[Zj ]i = ∂ − 1. Но согласно замечаΛнию 4.3.18 (B) codim CΛb = dim LΛb ≤ ∂ − 1. Поэтому codim CΛb = codim h[Zj ]i⊥b = ∂ − 1, иΛ⊥CΛb = h[Zj ]iΛb .b и j = 1, . . . , ∂ − 1, и что системы(B) Предположим, что h[Zj ], zΛb iΛb = 0 для любых Λ00v, v ∈ H(P, K) C –сопряжены. По предложению 4.3.11 Болсинова-Фоменко их Λ–метки совпадают, а разность их грубых m–меток имеет вид [m(v)] − [m(v 0 )] ∈ Ann CΛ(v) = LΛ(v) ,т.е.
с учетом п.(A) является линейной комбинацией 1–коциклов Λ(v) · [Zj ], 1 ≤ j ≤ ∂ − 1.P∂−1Поэтому I(v) − I(v 0 ) = h[m(v)] − [m(v 0 )], zΛ(v) i =j=1 cj h[Zj ], zΛ(v) iΛ(v) = 0, т.е. I = I(v)является инвариантом C 0 –сопряженности систем на атоме. Обратно: пусть I = I(v) является инвариантом C 0 –сопряженности систем на атоме и j ∈ {1, . .
. , ∂ − 1}. Фиксируемсистему v ∈ H(P, K) и применим к ней операцию “вклейки–вырезания ленточек”, отвечающую 1–коцепи GΛ(v) ([Zj ]) ∈ C 1 (K; R) (см. (4.40)). Обозначим полученную систему черезvj ∈ H(P, K). Так как по построению m(vj ) − m(v) = GΛ(v) ([Zj ]), то по лемме 4.3.20 системыv и vj C 0 –сопряжены. Поэтому 0 = I(vj ) − I(v) = h[m(vj )] − [m(v)], zΛ(v) i = h[Zj ], zΛ(v) iΛ(v) , чтои требовалось.Замечание 4.3.22.
Аналог следствия 4.3.21 верен в более общем случае: когда количествоциклов Zj равно c0 + 1 вместо ∂ − 1, где c0 = dim(h[Z± ]i ∩ h[Oi ]i) ∈ [0, ∂ − 2] как в (4.46).Доказательство получается дословным повторением доказательства следствия 4.3.21 с учетом неравенства dim LΛb ≤ c0 + 1, вытекающего из равенства codim CΛb = dim LΛb = c0 + 1 (см.(4.46) или [9]).В примерах 4.3.25 ниже мы покажем, что для любого атома существуют правильные подграфы (а потому применима лемма 4.3.20), и приведем важные примеры атомов, для которыхвсе циклы графа K, отвечающие граничным окружностям атома, являются правильнымиподграфами (а потому применимо следствие 4.3.21).Пусть Z — ориентированный цикл (не обязательно связный, т.е. он может являться дизъюнктным объединением s ∈ N связных ориентированных циклов) в ориентированном графеK с произвольной параметризацией z = z(t), где t ∈ (R/2πZ) × {1, . .
. , s} — параметр наокружности (или дизъюнктном объединении s окружностей).Определение 4.3.23. Цикл Z называется простым, если он не имеет самопересечений.Цикл Z будем называть положительным по отношению к его вершине xi = z(t0 ), есливектора скорости dz/dt(t0 + 0) и dz/dt(t0 − 0) образуют положительный репер, т.е. цикл Z поворачивает в точке xi направо. В противном случае цикл Z будем называть отрицательнымпо отношению к этой вершине.Если цикл Z является простым, то число его ребер равно числу его вершин и не превосходит n, где n — сложность атома. Рассмотрим малую окрестность вершины положительно ориентированного (определение 4.3.17 (A)) цикла, положительного по отношению кэтой вершине. Тогда в данной окрестности цикл является пределом траектории системыv = (ω, F ) ∈ H(P, K), лежащей на линии уровня {F = c + ε}, при ε → +0, где K = F −1 (c).ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ286Определение 4.3.24.
Рассмотрим атом (P, K)# . Пусть существуют два простых (необязательно связных) положительно ориентированных (определение 4.3.17 (A)) цикла Z1 и Z2 вориентированном графе K, удовлетворяющих следующим двум условиям.1) K = Z1 ∪ Z2 (т.е. имеет место равенство 1–циклов [K] = [Z1 ] + [Z2 ] в H1 (K)).2) Циклы Z1 и Z2 одновременно положительны (соотв.
отрицательны) по отношению ковсем вершинам атома.Тогда атом назовем положительно (соотв. отрицательно) бициклическим атомом. Атомназовем знакоопределенно бициклическим, если он является либо положительно бициклическим, либо отрицательно бициклическим (ср. с определением 4.5.4 бициклического атоманиже).Простота циклов Z1 , Z2 из определения 4.3.24 означает (как и в случае бициклическихатомов, см. определение 4.5.4), что каждый из этих циклов является гамильтоновым, т.е.проходит через каждую вершину атома ровно по одному разу. Отличие от бициклическихатомов состоит в том, что во-первых, простые циклы Z1 и Z2 графа K должны быть одновременно положительными либо одновременно отрицательными по отношению ко всемвершинам атома, а во-вторых, любой из этих двух циклов может быть несвязным.Примеры 4.3.25 (циклы графа K, являющиеся правильными подграфами для атома).
(i’)Для любого седлового атома (P, K)# граф K является правильным подграфом (и являетсяобъединением всех положительных циклов Z+ ). Его плотность на любом цикле Z± равна 1.В частности, для любого атома применима лемма 4.3.20 к правильному подграфу K 0 = K иверны все ее утверждения для K 0 = K.(i) Если седловой атом имеет валентность 2, то для него существует 1 = ∂ − 1 положительно ориентированный цикл Z+ (соотв. Z− ), являющийся правильным подграфом и класскоторого в H1 (K; R) ненулевой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
