Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Ввиb систем vду (4.42) пространство таких функций, ограниченных на множество H(P, K, Λ)nb (для любого фиксированного Λb ∈ R>0 ), естественнос одинаковой Λ-меткой RΛ(v) = RΛотождествляется с n–мерным ортогональным дополнением к 1–циклу [K] в векторном пространстве H1 (K; R) ' Rn+1 относительно скалярного произведения h, iΛb из обозначения 4.3.3.Рис. 4.3. Атомные окружности на седловом атомеДля любого седлового атома (P, K)# рассмотрим погруженные регулярные замкнутыекривые Oi , содержащиеся в графе K, т.е.
образованные сепаратрисами гамильтонова векторного поля v на атоме (рис. 4.3). Такие (погруженные) окружности в работе [9] были названыатомными окружностями. В дальнейшем мы так и будем их называть. Пусть O1 , . . . , Oν —все атомные окружности данного атома. Фиксируем на них направление обхода, т.е. ориентацию.Нетрудно видеть, что любая атомная окружность Oi как 1–цепь является 1–циклом иортогональна 1–циклу [K] в векторном пространстве H1 (K; R) ' Rn+1 относительно любого скалярного произведения вида h, iΛb из обозначения 4.3.3.
Значит, ввиду замечания 4.3.6,ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ278получаем ν R–значных функцийAi : H(P, K) → R,v 7→ hm(v), [Oi ]i,1 ≤ i ≤ ν,(4.43)от m–инварианта систем на атоме (P, K)# .Приведем еще одно (эквивалентное), более геометрическое определение инварианта Ai .Согласно следствию 4.2.8 (a)—(b), для любой системы v = (ω, F ) ∈ H(P, K) на данномej вершин xj граатоме существуют попарно непересекающиеся координатные окрестности Uфа K, являющиеся “вложенными почти крестами” (4.24) в точках xj для системы v.Определение 4.3.7. Главным значением периода системы v ∈ H(P, K) на атомной окружности Oi назовем интегралZIdsds:=Ai (v) = p.v.Oi v(s)Oi0 v(s)e1 ∪ · · · ∪ Uen ), остающейся после выкидывания из поверхности P всехпо ее части Oi0 = Oi \ (Uej .
Здесь s ∈ R/2πZ — параметр на атомной окружности Oi для некоторойокрестностей Uрегулярной параметризации R/2πZ → Oi , sgrad F |Oi (s) = v(s)d/ds.Это определение корректно, т.е. не зависит от выбора непересекающихся координатныхej , 1 ≤ j ≤ n, так как Ai (v) = h[m(v)], [Oi ]i, а грубая m–метка [m(v)] определенаокрестностей Uкорректно (см. (4.28)).Следствие 4.3.8. Пусть (P, K)# — седловой атом и v ∈ H(P, K) — гамильтонова системана этом атоме. Числа Λj (v), 1 ≤ j ≤ n, и Ai (v), 1 ≤ i ≤ ν (где n и ν — число вершин ичисло атомных окружностей атома) корректно определены, т.е.
не зависят от выборакрестов и/или почти крестов и морсовских координат x, y на них. Число Ai (v) являетсяфункцией от m–метки [m(v)] mod (RΛ(v) · [K]) ∈ H 1 (K; R)/RΛ(v) · [K] системы v на данноматоме. Сопоставления любой системе v ∈ H(P, K) этих чисел являются инвариантамиC 1 –сопряженности и непрерывны в смысле C r –топологии на H(P, K) из §4.1.3 при любомr ≥ 3.Доказательство.
Согласно следствию 4.2.8 (c), указанные инварианты корректно определены. Согласно предложению 4.3.5, (4.43) и замечанию 4.3.6, они являются инвариантамиC 1 –сопряженности и непрерывны. Следствие доказано.Приведем простое свойство инвариантов C 1 –сопряженности Ai (v), которым мы воспользуемся для описания полного инварианта C 0 –сопряженности ростков систем на любом “вполнебициклическом” атоме (см. определения 4.1.18, 4.3.10 и теорему 4.5.21 ниже).Пусть (P, K)# — седловой атом сложности n.Лемма 4.3.9 (о циклах в седловом атоме [145, лемма 6.1]).
Рассмотрим ориентированныйграф K и все атомные окружности O1 , . . . , Oν атома (снабженные некоторой ориентацией), а также их классы [K], [Oi ] в группе H1 (K; R) 1–циклов графа K. Тогда 1–циклы[K], [O1 ], . . . , [Oν ] линейно независимы в (n + 1)–мерном векторном пространстве H1 (K; R)всех 1–циклов графа K и попарно ортогональны относительно любого скалярного произвеb ∈ Rn .
Эти ν + 1 циклов образуют базис пространства H1 (K; R) тогдадения вида h, iΛb , Λ>0и только тогда, когда все атомные окружности Oi имеют длину 2 (т.е. атом (P, K)#принадлежит сериям Vn1 , Vn2 “вполне бициклических” атомов, см. §4.5.2 ниже).Доказательство. Линейная независимость 1–циклов [O1 ], . . . , [Oν ] очевидна, так как их носители попарно не пересекаются. Значит, линейная зависимость 1–циклов [K], [O1 ], . . . , [Oν ]возможна только в том случае, когда [K] является линейной комбинацией [O1 ], . . . , [Oν ].
НоГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ279тогда два последовательных ребра одной и той же атомной окружности входят в эту линейную комбинацию с разными знаками, поэтому эта линейная комбинация не равна 1–циклу[K]. Итак, 1–циклы [K], [O1 ], . . . , [Oν ] линейно независимы в H1 (K; R). Попарная ортогональность 1–циклов [O1 ], . . . , [Oν ] очевидна. Равенство h[K], [Oi ]iΛb = 0 проверяется непосредственно.
Длина каждой атомной окружности четна, поэтому сумма их длин (равная 2n) неменьше, чем 2ν. Поэтому ν ≤ n, т.е. количество рассматриваемых линейно независимых 1–циклов ν + 1 ≤ n + 1 = dim H1 (K; R). Последнее неравенство обращается в равенство тогдаи только тогда, когда 1–циклы [K], [O1 ], . . . , [Oν ] образуют базис пространства H1 (K; R).mΛ –инвариант C 0 –сопряженностиОпределение 4.3.10.
Для любого атома (P, K)# рассмотрим пространство H(P, K) всехгамильтоновых систем v = (ω, F ) на этом атоме. Набор инвариантов Iα (v), α ∈ A, C 0 –сопряженности ростков гамильтоновых систем на этом атоме (определение 4.1.18) назовемполным набором инвариантов C 0 –сопряженности ростков систем на этом атоме, если длялюбой пары гамильтоновых систем v, v 0 ∈ H(P, K) на этом атоме из условия Ii (v) = Ii (v 0 ),α ∈ A, следует C 0 –сопряженность этих систем в некоторых (достаточно малых) окрестностяхседловых уровней гамильтонианов этих систем.Следующее утверждение является простым следствием более общих теорем из работы [9].Предложение 4.3.11 (А.В. Болсинов, А.Т.
Фоменко [9], [145, предложение 6.1]). Для любогоседлового атома (P, K)# имеется семейство векторных подпространств CΛ(v) ⊆ H1 (K; R)пространства 1–циклов графа K, гладко зависящих от Λ–метки RΛ(v), обладающее следующими свойствами.(а) Коразмерность подпространства CΛ(v) в H1 (K; R) зависит только от атома (т.е.не зависит от значения Λ(v) ∈ Rn>0 ) и лежит в отрезке [1, ∂ − 1], где ∂ есть валентностьданного атома (см.
определение 2.4.3 (B)).(б) Две системы v и v 0 на данном атоме C 0 –сопряжены в некоторых (инвариантных)окрестностях U и U 0 седловых уровней в том и только том случае, когда Λ–метки этихсистем на данном атоме совпадают, и значения соответствующих 1–коцепей m(v) и m(v 0 )на любом 1–цикле z ∈ CΛ(v) также совпадают.Другими словами, для любого базиса z1,Λb , . . . , zdim C b ,Λb подпространства CΛb (зависящегоΛb Λ–инвариант и R–значные функцииот параметра RΛ)v 7→ h[m(v)], zi,Λ(v) i,1 ≤ i ≤ dim CΛ(v) ,от Λ–инварианта и m–инварианта (см. замечания 4.2.10 и 4.3.6) образуют полный наборинвариантов C 0 –сопряженности ростков гамильтоновых систем на данном атоме (определения 4.1.18 и 4.3.10).b ∈ Rn положимДля любого Λ>0LΛb := Ann CΛb = {l ∈ H 1 (K; R) | hl, zi = 0 ∀z ∈ CΛb },(4.44)аннулятор подпространства CΛb , где через hl, zi обозначено значение 1–коцикла l на 1–циклеz графа K.
Если dim CΛb = d, то dim LΛb = n + 1 − d. Из предложения 4.3.11 получаем, чтокомпозиция1∗db[m]|H(P,K,Λ)(4.45)b mod LΛb : H(P, K, Λ) → H (K; R)/LΛb ' CΛb ' Rb (см. определенияограничения грубого m–инварианта [m] на подпространство H(P, K, Λ)114.2.9 и 4.3.4) и канонической проекции H (K; R) → H (K; R)/LΛb является инвариантом C 0 –сопряженности систем на данном атоме.ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ280Определение 4.3.12.
Инвариант (4.45) назовем mΛ –инвариантом Болсинова-Фоменко, аего значение [m(v)] mod LΛ(v) на системе v ∈ H(P, K) — mΛ –меткой Болсинова-Фоменкосистемы v на данном атоме.Замечание 4.3.13. Согласно предложению 4.3.11 Болсинова-Фоменко, Λ– и mΛ –инвариантыБолсинова-Фоменко образуют полный инвариант C 0 –сопряженности ростков гамильтоновых систем на данном седловом атоме (определения 4.1.18 и 4.3.10). Допуская некоторуювольность речи, мы будем иногда называть Λ– и mΛ –инварианты полными Λ– и mΛ –инвариантами, а функции от них — просто Λ– и mΛ –инвариантами.
Аналогично, m–инвариант(определение 4.3.4 и предложение 4.3.5) мы будем иногда называть полным m–инвариантом,а функции от него — просто m–инвариантами.b ∈ Rn выполненоЗамечание 4.3.14. Ввиду (4.41) и предложения 4.3.11, для любого Λ>0b · [K] ∈ Ann C b = L b . Поэтому подпространство C b из предложения 4.3.11 ортогональноΛΛΛΛ1–циклу [K] относительно скалярного произведения h, iΛb из обозначения 4.3.3.4.3.2Полный инвариант Болсинова-Фоменко C 0 –сопряженности невырожденных систем на поверхностиВ §§4.2.1 и 4.3.1 были определены инварианты Болсинова-Фоменко [9] C 0 –сопряжённостиневырожденных гамильтоновых систем на замкнутой поверхности M . То есть, были построены Π–, Λ– и mΛ –метки на рёбрах и атомах молекулы Фоменко системы v.Определение 4.3.15. Пусть v = (ω, F ) ∈ Hnondeg (M ) — невырожденная гамильтонова система на замкнутой поверхности M .
Оснащённой молекулой Болсинова-Фоменко (или простооснащенной молекулой) системы v называется молекула Фоменко W # функции ГамильтонаF (см. определение 2.4.5), снабженная Π–метками на рёбрах и Λ– и mΛ –метками системы v наатомах этой молекулы (определения 4.2.3, 4.3.1 и 4.3.12). Обозначим оснащенную молекулучерез W # (Π, Λ, mΛ ).Оснащённые молекулы систем v, v 0 ∈ Hnondeg (M ) называются изоморфными, если существует изоморфизм между молекулами их функций Гамильтона F, F 0 , при котором Π–меткина рёбрах и Λ– и mΛ –метки на атомах молекулы, отвечающие системе v, переходят в метки,отвечающие системе v 0 .Следующая теорема является частным случаем более общего результата работы [9].Теорема 4.3.16 (А.В.
Болсинов, А.Т. Фоменко [9]). Сопоставление любой гамильтоновойсистеме v ∈ Hnondeg (M ) её оснащённой молекулы W # (Π, Λ, mΛ ) является полным инвариантом C 0 –сопряжённости невырожденных гамильтоновых систем на замкнутой поверхности M . Другими словами, гамильтоновы системы v, v 0 ∈ Hnondeg (M ) C 0 –сопряжены тогдаи только тогда, когда их оснащённые молекулы изоморфны.Рассмотрим стратификацию Максвелла пространства Fnum,fr (M ) из §2.5.2 и индуцированную стратификацию открытых в H(M ) (согласно теореме 4.2.2) пространств Hnondeg (M ) и(M ) (см. (4.15)), где любой страт Максвелла в Hnondeg (M ) есть связная компонентаHnondeg0класса топологической траекторной эквивалентности (определение 4.1.11), т.е.
связная компонента прообраза страта Максвелла в Fnum,fr (M ) при канонической проекцииHnondeg (M ) → Fnum,fr (M ).Отметим, что в прообразе любого страта Максвелла пространства Fnum,fr (M ) при этой проекции содержится ровно один страт Максвелла пространства Hnondeg(M ) и бесконечное чис0ло стратов Максвелла пространства Hnondeg (M ). Стратификации Максвелла пространствГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ281Hnondeg (M ) и Hnondeg(M ) вместе с их разбиением на классы C 0 –сопряженности обладают0следующими свойствами:(1) Каждый страт Максвелла (т.е. связная компонента класса траекторной эквивалентности) в Hnondeg (M ) является гладким подмногообразием конечной коразмерности N − S =n1 − s (определение 4.1.17 (C)) в H(M ), где N = n0 + n1 + n2 (соотв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
