Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 92
Текст из файла (страница 92)
начало доказательства). Уменьшим,если нужно, ε так, чтобы при f ∈ [mini (ci ), maxi (ci )], f 6= cj , последняя величина былабольше, чем 1+2b. Это возможно ввиду п.(а) и соотношений Λj (v) > 0 и cj = cj (ev ) = c+O(ε),1 ≤ j ≤ n.Тогда на каждом внутреннем ребре e графа Кронрода-Риба W num (допуская ту же вольность обозначений, что и в (4.36)) имеемτe00 (f )00= hm (ev , f ), Zi +nXκj (e)Tej00 (f ) > 1,j=1где Z = Ze — ориентированный цикл графа K, отвечающий ребру e, что и требовалось.Докажем теперь второе утверждение п.(б).
Из леммы 4.2.6 (b) следует, что при r ≥ 3 вej выполненокаждом “возмущенном кресте” Up|f − cj |)Λ(ev)+O(O(max(|eω|+|eω|))Λ(ev)jxeyej0p+=,(4.37)Tej (f ) = −f − cj−(f − cj )|f − cj |так как функция ωe (ex, ye) ограничена по C r−2 –норме (см. начало доказательства). Оценимчислитель и знаменатель аппроксимации (4.37) числа Tej0 (f ). Если f ∈ [c − δ, c + δ], то знаменатель ограничен: |f − cj | ≤ |f − c| + |c − cj | ≤ δ + O(ε) ≤ 2δ при достаточно маломε > 0.pВыберем столь малыеv ) + O( |f − cj |) =√ δ >10 и ε > 0, что числитель отделен от нуля: Λj (eΛj (v) + O(ε) + O( δ) ≥ 2 Λj (v) ввиду п.(а) и соотношения Λj (v) > 0. Поэтому вся дробьотделена от нуля:p|f − cj |)Λ(ev)+O(Λj (v)j0|Tej (f )| =≥.|f − cj |4δДля любого внешнего ребра e графа W num (допуская ту же вольность обозначений, что и в(4.36)) получаемnXτ 0 (f ) = hm0 (ev , f ), Zi +κj (e)Te0 (f ),ejj=1Pгде hm0 (ev , f ), Zi = O(ε) (см. начало доказательства п.(в)) и все слагаемые (4.37) суммы jимеют один и тот же знак (так как их числители положительны, а знаменатели cj − f одногознака).
Пусть для определенности этот знак положительный, тогдаτe0 (f )= O(ε) +nXj=1κj (e)|Tej0 (f )| ≥ O(ε) +nXj=1κj (e)Λj (v)>04δпри достаточно малом ε > 0, что и требовалось.(г) Пусть для определенности F (S0 ) < F (S1 ). Окружность S0 является неособой замкнутой траекторией системы v; введем на ней регулярную параметризацию, т.е. диффеоморфизмϕ : S0 → R/2πZ, согласованный с направлением движения системы v. Продолжим эту параметризацию на P до гладкой R/2πZ–значной функции, которую тоже будем обозначать черезϕ, такой что пара функций (F, ϕ) : P → [F (S0 ), F (S1 )] × (R/2πZ) является является диффеоморфизмом, т.е. регулярными координатами в P .
Так как Fe близка к F по C 1 –норме, то параГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ269функций (Fe, ϕ) : P → [Fe(S0 ), Fe(S1 )] × (R/2πZ) тоже является диффеоморфизмом, т.е. регу1∂лярными координатами в P . В координатах (F, ϕ) (соотв. (Fe, ϕ)) имеем sgrad F = ω(F,ϕ)∂ϕ(соотв. sgrad Fe = 1 ∂ ), поэтому невозмущенная и возмущенная функции периода τ (f ) иωe (Fe,ϕ) ∂ϕτe(fe) вычисляются по формуламZ 2πω(f, ϕ)dϕ,τ (f ) =0Zτe(fe) =02πωe (fe, ϕ)dϕ.(4.38)Так как функции ωe (fe, ϕ) и ω(f, ϕ) близки по C r−3 –норме, то “масштабированная” функцияτe((1 − u)Fe(S0 ) + uFe(S1 )) близка к “масштабированной” функции τ ((1 − u)F (S0 ) + uF (S1 )) наотрезке [0, 1] по C r−3 –норме, что и требовалось.(д) Пусть для определенности точка xj является точкой локального минимума функцииe = Fe−1 [Fe(xj ), Fe(xj ) + δ]), где δ > 0 достаточноF , и пусть U = F −1 [F (xj ), F (xj ) + δ] (соотв.
Ue являются замкнутыми регулярными окрестностями точек xj и xмало. Тогда U и Uej .Аналогично началу доказательства, рассмотрим локальные регулярные координаты (x, y)в U , в которых F |U = x2 + y 2 + F (xj ) в силу леммы Морса. Отсюда и из леммы 4.2.5 получаем, что при r ≥ 5 C ∞ –гладкая на промежутке (F (xj ), F (∂P )] функция периода τ (f )невозмущенных замкнутых траекторий, доопределенная в левом конце промежутка значением τ (F (xj )) := πΛj (v), непрерывна со своей производной на отрезке [F (xj ), F (xj ) + δ] иb j (v).имеет в этом конце производную τ 0 (F (xj )) := π4 ΛОсталось доказать последнее утверждение п.(а) и последнее утверждение п.(д).
Возмуe2 + ye2 + Fe(exj ) относительно некоторых лощенный гамильтониан будет иметь вид Fe|Ue = x−1ee — диффеоморфизм,кальных координат (ex, ye) в U вида (ex, ye) = (x, y) ◦ h , где h : U → Uограниченный по C r−1 –норме и O(ε)–близкий к тождественному по C r−2 –норме. Отсюда и изтого, что возмущенная симплектическая структура ωe ограничена по C r−2 –норме и ε–близкак ω по C r−3 –норме, следует, что выражение ωe через координаты (ex, ye) тоже будет ограниr−2r−3ченным по C –норме и O(ε)–близким по C –норме к выражению ω через (x, y).Отсюда и из леммы 4.2.5 получаем, что при r ≥ 5 возмущенная функция периода τe(f ) иее производная имеют видqπb0ev ) + O( f − Fe(exj )),τe(f ) = πΛj (ev ) + O(f − F (exj )), τe (f ) = Λj (e4b j (eb j (v)+O(ε).
Поэтому доказано последнее утверждениепричем Λj (ev ) = Λj (v)+O(ε) и Λv) = Λп.(а), и при f ∈ [Fe(exj ), Fe(exj ) + δ]√πbτe(f ) = πΛj (v) + O(ε) + O(δ), τe0 (f ) = Λj (v) + O(ε) + O( δ)4и аналогичные оценки верны для функции τ (f ). Поэтому для любого ε0 > 0 можно выбратьстоль малые ε > 0 и δ > 0, что xj ) + uFe(∂P ) − τ ((1 − u)F (xj ) + uF (∂P )) ≤ ε0 ,τe (1 − u)Fe(e 0xj ) + uFe(∂P ) − τ 0 ((1 − u)F (xj ) + uF (∂P )) ≤ ε0τe (1 − u)Fe(eпри любом u ∈ [0, δ]. Уменьшая, если нужно, величину возмущения ε > 0, получаем из п.(г),что аналогичные неравенства верны при любом u ∈ [δ, 1], а потому при любом u ∈ [0, 1], чтои требовалось.Пункты (а)—(д) утверждения 4.2.12 доказаны.
Невырожденность системы ve в случаеневырожденной системы v на седловом (соотв. минимаксном) атоме (P, K)# следует из пп.(в),(г) и второго утверждения п.(б) (соотв. п.(г) и второго утверждения п.(д)).Утверждение 4.2.12 полностью доказано.ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ270Доказательство теоремы 4.2.2. Из утверждения 4.2.12 и открытости пространства морсовских функций в C 2 –топологии легко следует открытость подпространства Hnondeg (M ) в пространстве H(M ) в смысле C r –топологии из §4.1.3, если r ≥ 5. Требуемое свойство “нового”f num возмущенной функции Fe, указанное в формулировке(соотв. “старого”) ребра графа Wтеоремы 4.2.2, следует из п.(в) (соотв.
п.(г) и вторых утверждений пп.(б) и (д)) утверждения4.2.12.Покажем, что нижняя оценка r ≥ 5 неулучшаема. Из леммы 4.2.5 получаем, что для любого (сколь угодно малого) вещественного числа ε > 0, любая (“невозмущенная”) системаv = (ω, F ) ∈ Hnondeg (M ) обладает ε–малым в смысле C 4 –топологии на H(M ) возмущениb = Λ(eb v ) = 0 из леммы 4.2.5,ем ve = (eω , F ) ∈ H(M ), имеющим нулевое значение метки Λоткуда ve 6∈ Hnondeg (M ). Поэтому Hnondeg (M ) неоткрыто в H(M ) в смысле C 4 –топологии наH(M ).
Аналогично показывается, что для C 4 –топологии требуемое свойство “старого” ребраf num нарушается, а именно: при подходящем сколь угодно малом возмуграфа возмущения Wщении системы в смысле C 4 –топологии число критических точек “возмущенной” функцииf num можно сделать на 1 больпериода на указанном “старом” ребре графа возмущения Wшим, чем у “невозмущенной” функции периода на соответствующем ребре графа W num . Приэтом указанной “дополнительной” критической точке “возмущенной” функции периода будет отвечать замкнутая траектория системы ve, сколь угодно близкая к критической точкелокального минимума или максимума функции F .Осталось доказать плотность подпространства Hnondeg (M ) в пространстве H(M ) относительно C r –топологии при любом r ≥ 5.
Для любых системы v = (ω, F ) ∈ H(M ) и числа ε > 0существует (“возмущенный”) гамильтониан Fe, ε–близкий к F по C r –норме, ограниченный поC r+1 –норме и являющийся функцией Морса (т.е. принадлежащий F(M )), ввиду плотностиподпространства F(M ) функций Морса в пространстве C ∞ (M, ∂M ) в смысле C s –топологиипри любом s ≥ 2. Так как функция Fe морсовская, то в силу утверждения 4.2.12 (д) функцияпериода продолжается по непрерывности во все “минимаксные” концы КР-графа W функцииFe. Из явных формул для производной “продолженной” функции периода системы (ω, Fe) влюбом конце графа W (см.
(4.38) и утверждение 4.2.12 (д)) следует, что существует 2–формаωe , ε–близкая к ω по C r−3 –норме и ограниченная по C r−2 –норме и такая, что любой конецграфа W не является критической точкой продолженной функции периода системы (eω , Fe).1С учетом утверждения 4.2.12 (б) и C –гладкости продолженной функции периода системы(eω , Fe) (см. утверждение 4.2.12 (д)), эта функция не имеет критических точек в некоторойокрестности U множества вершин графа W .
Пусть Uc ⊂ U — меньшая замкнутая окрестностьмножества вершин графа W . Из явной формулы (4.38) для функции периода нетрудно вывеeсти, что существует 2–форма ωe , ε–близкая к ωe по C r−3 –норме, ограниченная по C r−2 –норме иeeтакая, что (ωe−ωe )|π−1 (Uc ) = 0 и функция периода системы ve = (ωe , Fe) является морсовской наeF\ Uc ), где πFe : M → W — проекция (2.4). Значит, построенная система ve невырожденаи 2ε–близка к системе v по C r –норме на H(M ).
Теорема 4.2.2 доказана.πF−1e (WВ действительности, числа κj (e) ∈ {0, 1, 2}, 1 ≤ j ≤ n, и 1–циклы [Ze ] ∈ H1 (K) изопределения 4.2.11 можно определить тем же способом для всех (не обязательно внутренних)ребер e графа возмущения W num . Полученные в результате числа (при любом фиксированномj) и 1–циклы в действительности образуют относительные 1–циклы графа возмущения W numотносительно его концов (определение 2.5.1 (C)). Определим возникающие при этом объекты.Определение 4.2.13. (A) В условиях определения 2.5.1, каждой вершине xi , 1 ≤ j ≤ n,атома (P, K)# сопоставим функцию κj (e) на множестве E(W ) всех (не обязательно внутренних) рёбер e ∈ E(W ) графа возмущения W = W num аналогично определению 4.2.11: положимκj (e) равным числу прохождений линии уровня функции Fe, отвечающей внутренней точкеребра e, вблизи вершины xj .
Нетрудно видеть, что κj (e) ∈ {0, 1, 2} и что соответствующаяГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ2711-цепь κj в графе W является относительным 1-циклом, так чтоXκj :=κj (e)[e] ∈ H1 (W, ∂W ; Z),e∈E(W )где ∂W — множество концов графа W (см. определение 2.5.1 (C)). Геометрический смысл1–цепи κj такой: это сумма четырёх 1–цепей — классов четырех путей πFe (sjk ) ⊂ W , гдеsj1 , . .
. , sj4 ⊂ P — ориентированные сепаратрисы векторного поля grad Fe, выходящие източки xej (соотв. входящие в точку xej ) и кончающиеся (соотв. начинающиеся) в точках ∂P .Здесь πFe : P → W — каноническая проекция (2.4) поверхности на граф Кронрода-Рибафункции Fe; векторное поле grad Fe отвечает какой-либо римановой метрике, фиксированнойна поверхности P (значение κj (e) не зависит от выбора римановой метрики, если возмущениедостаточно мало).Набор относительных 1-циклов κj ∈ H1 (W, ∂W ; Z), 1 ≤ j ≤ n, можно рассматривать какодин относительный 1-цикл k ∈ H1 (W, ∂W ; Zn ) с коэффициентами в группе H0 (V (K); Z) 'Zn , полагаяXκ :=κ(e)[e] ∈ H1 (W, ∂W ; Zn ), где κ(e) := (κ1 (e), . .
. , κn (e)).e∈E(W )Здесь V (K) = {x1 , . . . , xn } — множество вершин графа K.(B) Аналогичным образом, каждому ребру e ∈ E(W ) графа возмущения сопоставим 1–цикл ζ(e) ∈ H1 (K) на атоме: положим ζ(e) равным сумме классов ориентированных рёберграфа K, вдоль которых проходит линия уровня возмущённой функции Fe, отвечающая внутренней точке ребра e. Нетрудно видеть, что соответствующая 1–цепь ζ в графе W являетсяотносительным 1–циклом со значениями в H1 (K):Xζ :=ζ(e) ⊗ [e] ∈ H1 (W, ∂W ; H1 (K)) ' H1 (K) ⊗ H1 (W, ∂W ).e∈E(W )Геометрический смысл 1–цепи ζ такой: это сумма 2n слагаемых [Ki ] ⊗ [πFe (τi )], где в i–мслагаемом Ki есть i–е ребро графа K, τi ⊂ P есть интегральная траектория векторногополя grad Fe, проходящая через фиксированную внутреннюю точку ребра Ki и начинающаясяи кончающаяся в точках ∂P , а 1–цепь [πFe (τi )] в графе W есть класс пути πFe (τi ) ⊂ W ,1 ≤ i ≤ 2n.
Проекция πFe : P → W и метрика на M — как выше (так что 1–цикл ζ(e) в графеK не зависит от выбора римановой метрики, если возмущение достаточно мало).В силу утверждения 2.5.2 и более общей леммы 2.5.5, граф возмущения W num вместе сотносительными 1–циклами κ и ζ в нём одинаков для возмущений одного и того же класса(4.17).Относительные 1–циклы κ и ζ графа возмущения (определение 4.2.13) важны тем, что ониучаствуют в определении 4.2.11 функции Le , определенной на открытых ребрах e графа возмущения W num и названной нами (Λ, m, c)–аппроксимацией функции периода τe возмущенной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
