Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 64
Текст из файла (страница 64)
содержит только ребра поворота, каждое из которых лежит в своей супербоковине. Более того, с необходимостьк) с, = 3, а с, = 2. Из совпадения ннлсксов концевых линейных участков Е; вытекает, что имеется ровно две возможности: или на обеих боковинах поворота концевых змей расположено по одному наросту, положение которых определено однозначно условием отсутствия концевых наростов, или наростов нет. В последнем случае паркет является скелетом и нс имеет мини лальной реализации, как показано в [53]. В первом случае соответствующий паркет выглядит так, как показано на рис.
6.1. Отсутствие у него минимальной реализации на правильном 14-угольнике проверяется непосредственно. 11усть гспсрь одно из с7[Е,), скажем с1[Е~), равно 1, а другое, а[Ее), равно О. '1огда, так же как и вылив, получаем следуюшие опенки: 5~ > '2, сз > 3, с~ > 1, и с > 2. Кроме то~ о.
так как на ребре поворота первого концевого линейного участка нарост есть, а л, = 6, то 6~ = сз = 2. Далее, ясно что 3 < сз < 4. Если сз = 4, то сс = 1, и на боковине поворота концевой змеи участка Ез должен находится один нарост. Этот нарост может быть размещен двумя способами, изображенными па рис. 6.2. Линсйныс паркеты с правильной границей 287 ,л, д Рис. 6.2: Эти паркеты нс имеют минимальной реализапии на правильнсжл 14-у го.льнике !лис. 6.3: Этот паркет тоже нс имеет минимальной реализации на правиль- ном 14-угольннке Пусть теперь 6з =,'5. Тот,ла с~ = 2, и, из совпадения индексов концевых линейных участков Е;, получаем, что на боковине поворота концевой змсп участка Ез должен находится нарост.
Его положение определено однозначно, см. рис. 6.3. Отсутствие минимальной реализации на правильном 14-угольнике у найденных в этом случае трех паркетов проверяется непосредственно. Пусть наконец с1(Ел) = с1(Ез) = 1. Тогда, так же как и выше, получаем следующие оценки: 6, > 2, и с„> 1. Для определенности предположим, что 6л > 6з. '!'ак как на каждом ребре поворота расположен нарост, 6; ( 3. Пусть сначала 6л = 3. Тогда сз = 1. Если на боковине поворота концевой змеи участка Е~ имеется нарост, то положение этого нароста определено однозначно.
н с~ может равняться илв 1, нли 2. Если с~ = 1, то 6з = 3, я, в силу совпадения инлексов концсвых линейных участков Еь на боковине поворота концевой змеи из Ея также имеется нарост. Полученный паркет изобрыкен на рис. 6сЕ Если жс с~ = 2, то 6з = 2, лто невозможно в силу совпадения иядсксов концевых линейных участкоя Ем Далее, если па боковине поворота коя- Линейные паркеты с правильной границей 7 р Рис. 6.4: Этот паркет тоже не иълест минимальной реализации па правиль- ном 14-угольнике !зис. 6.5: Этот паркет тоже нс имеет минимальной реализации па правиль- ном 14-угольнике цевой змеи участка Е~ наростов нет, то с1 > 2, и значит 6з < 2, откуда с1 = 6з = 2. Полученный в результате паркет изображен на рис.
6.5. Пусть, наконец, 61 = 2. В этом случае множество С' может состоять пе оолее есм из 6 элементов, четыре из которых соответствуют наростам, расположенным на ребрах поворота. Непосредственно проверяется, что С' состоит или из 4 или из 6 элс лснтов. Если С' состоит из 6 элементов, то 61 = 6з = 2, н с1 = сз = 1. 7!ва получакяцихся в этом случае паркета приведены на 1эис. 6.6. Если же С' состоит из 4 элементов, то, так как в силу предположения 61 > 6з, то 6з = 2. Значит се = сз = 2, наростов на концевых змеях нет, и получается паркет, изображенный на рис. 6.7. Отсутствие минимальной реализации на правильном 14-угольнике у пяти найденных в этом случае паркетов проверяется непосредственно.
Случай п = !4 полностью разобран. Случай и = 16 Снова выпишем все имеющиеся у нас общие опенки. Длина жала, в силу следствия 4.7 главы 4, не меньше чем ~п/3~ — 2 = 3. Линейныс паркеты с правильной границей Рис. 6.6: Эти паркеты не имеют минимальной реализации на правильном Игугольннке Л,Р; Рнс.
6.7:;)тот паркет тоже не имеет минимальной реализации на правиль- но л И-утольнике Линейные паркеты с правильной границей 290 с л, / Рис. 6.8: Этлл паркеты нс имеют минимальной реализапии на правильнсал 16-уго.льнике Далее, в силу следствия 4.23 главы 4 для угла лл = я, индексы концевых линеллпых участков Ел и Е. одинаковы, и длина лс каждой пз двух супер- боковин равна [пс1,лб) — 1 = 7. Обозначим через Ъ, длину боковины поворота у"ластка 1ао а через с„длину подчиненной боковины участка Есо Нас интересует лишь случай И[Ел) = с![Ез) = 1. Тогда, в силу следствия 4.16 главы 4, 6с > [лллсЗ) — 1 — с1[Ес) = 3, а слл~ сп+ 6+ бс1(1':) ~ 3 - 12 Так как длины обеих супербоковин равны 7, и на обоих ребрах поворота крепятся наросты, имеем: Ъл = 6з = 3, и сл = сз = '2.
Из совпадения индексов концевых линейных участков вытекает, что имеется ровно две возхложностлл, изображенных на рис. 6.8. Отсутствие минимальной реализации на правильном 16-угольникс у найденных в этом случае двух паркетов проверяется непосредственно. Случай и = 16 полностью разобран. Случай п = 17 Снова выпишем все имекпциеся у нас обшие оценки. Длина жала, в силу следствия 4.7 главы 4, не меньше чем [плср — 2 = 3. Далее, в силу следствия 4.23 главы 4 для угла сз — — я, сели индексы концевых линейных участков Е~ и Ез одинаковы, то дшлна л, каждой из двух супеллбоковин равна [ссслЯ вЂ” ! = 7, чего быть нс может так как и нсчетно. Если же индексы раз.личны. то длины супербоксплин равны 7 и 8.
Обозначим через Ъл длину боковины поворота участка Еь а через с; длину подчиненной боковины участка Ес. 'Так как нас не интересует случай с![Ел) = с![Ее) = О, предположим сначала, без ограничения облпяости, что с7[Ел1 = 1. а с1(Ез) = О.
!огда. в силу следствия 4.16 главы 4. 6л > 3, Ъз > 4, а си > 2, и сл > 3. Так как, на ребре поворота участка Ел расположен нарост, то длина соответствуюшей супсрбоковпны нс меньше чем 6л + сз + 2 > 8. Поэтому длина этой Линейные паркеты с правильной границей 291 Рис.
б.9: Эти паркеты нс имеют минимальной реализапин на правильнсяи 17-1 го.льнике супербоковины равна 8, а длина противоположной супгрооковины равна 7. Отсюда полу чаем: индекс концевого линейного участка 1.4 равен 1, индекс концевое о линейного участка Ез равен 2, и, более того, 6з = 3, 6з = 4, а с, = 2, и сз = 3. '1ак как индекс участка Е~ равен 1.
сз = 2, нет конпевых наростов, и 6з = 3, то на концевой змее участка Ез наростов нет. Далее, так как на ребре поворота у жестка Е~ имеется нарост, то па подчиненной боковине участка Ез наростов нст (иначе паркет В не из И77ф. Учитывая так же то, что индекс участка Ез равен 2, заклкщаем, что на боковине поворота концевой змеи участка Ез обязан находится ровно один нарост.
Для этого нароста имеется две возможности, приведенные на рис. 6.9. Пусть теперь д(Е~) = И(Ез) = !. Тогда, в силу следствия 4.16 главы 4, 6е > 3, 6з > 3, а с~ > 2, н сз > 2. Без ограничения обпшостн предположим, что индекс концевого линейного участка Е~ равен 1, а индекс конпевого линейного участка Ез равен 2. Тогда. так как на ребрах поворота имеются наросты, сз = 2, а 6 = 3.
Кроме того, 6з < 4. '!'ак как индекс участка Е~ равен 1, для боковины поворота этого участка имеется ровно две возможности: или 6~ = 3 и на Е~ наростов нет, илн 6~ = 4 и на Ез имеется ровно один нарост, положение которого однозначно определяется ограничением ич длину ж'"ча. Если 6| = 3, то сэ = 3. На подчиненной боковине концевой змсп участка Ез наростов нет, так как есть нарост на ребре поворота участка Еы Так как индекс участка Ез равен 2, участок Ез в этом случае также пе содержит наростов. Соответствующий паркет тем самым однозначно определен и изображен на рис. 6.10. Если же 6з — — '1, то сз = '2, и, так как индекс концевое о линейного участка Ез равен 2, то на боковине поворота концевой змеи участка Ез обязан располагаться нарост, расположение которого определено однозначно.
Соответствующий паркет изображен на рис. 6.11. Отсутствие линимальной реализаппи на правильном 17-угольнике у четырех найденных в этом случае паркетов проверяется непосредственно. Линейные паркеты с правильной границей 292 7, Рис. 6.10: Этот паркет не имеет минимальной реализации на правильном 17-угольнике Рис. 6.11: Этот паркет пе имеет минимальной реализации на правильном 17-угольнике Линейные паркеты с правильной границей 293 Рис.
6.12: Эти паркеты пе имеют минимальной реализации на правильноъл 20-1 го.льникс Случай п, = 17 полностью разобран. Случай п = 20 Снова выпишем вес имеющиеся у нас обшне опенки. Длина жала, в силу следствия 4.7 главы 4, не меньше чем [п/3] — 2 = 4. Далее, в силу следствия 4.23 главы '1 для угла з = т, индексы концевых линейных участков Ее н Ез одинаковы, и длины л„супербоковин равны [п4/6] — 1 = О. Нас интересует только случай И[Е~] = е1[Ез] = 1. В силу следствия 4.16 главы '1, К > 4, а с, > 3. Так как длины супербоковнп равны 9, и па каждом нз ребер поворота сидит нарост, имеем: 6; = 4, а с; = 3.
Так как на ребрах поворота обоих концевых линейных участков наросты есть, на подчиненных боковинах концевых змей наростов нет. В си.лу совпадсния индексов концевых линейных участков, и оценки на длину жала, имеется ровно две возможности, изображенных па рис. 6.12. Отсутствие митшмальной реализации па правильном 20-уголышке у найденных в этом случае двух паркетов проверяется непосредственно. Случай и = 20 полностью разобран.
Тем самым, для линейных паркетов, концевые змеи которых имеют противоположпыс направления, теорема доказана. Пусть теперь направления концевых змей не противоположны. Очевидно, достаточно рассмотреть два случая: угол между направлениями концевых змей равен я/3 илн 2я/3. Пусть угол р от направления концевой змеи из Е~ до направления концевой змеи из Ез равен я/3.
В силу смедствня 4.23 ~ лавы 4 для угла 1с — — я/3, длина супербоковины л от Ее к Ез в этом случае не превосходит [а/6]. С другой стороны, длины боковин концевых линейных участков Е„в силу следствия 4.16 главы 4, нс меньше чем [п/3] — [и/12] — 2. Так как сузанна длин этих боковин яс превосходит длины супсрбоковины л, и леем: Линейные паркеты с правильной границей 294 Однако, это неравенство прн и > 12 выполняется, липп, если и = 12, 13 нли !4, причем в этих трех случаих оно является равенством. Если и = 12,то в силу следствия 4.23 ллавы 4,так как 12 делится на 6, длина супсрбоковипы л равна ~лл/6] — 1, а не ~лл/6]. Поэтому паша оценка может быть улучшена так: 2([ — ] — [ —,] — 2) < [ — ] — 1, что при лл = 12 не верно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
