Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Из предложения 4.15 немедленно вытекает следующий результат. Геометрия концевых линейных участков Следствие. 4.21 В сделанных вылив предположениях, есаи ср зто угол от концевого линейного учасгпка Еь к концевому линеиному участку Ег, на концевых линейных участках нет концевых наросьпов, паркет Р имсшп ,нпнимаяьндю реализащто на ЛХ, такую что точка ть из 31 является концевой вершиной, соответствующей концевой ячейге Ь~ концевого линейного у ~астка Еы о 1 = шс1 Еь и 1 = шс1 Ег, то дата 1 супербоковпны паркета Р от концевого линейного учаспгка Еь к коняево.ну линейному участку Еа лежит в пртделах а; (пьу, р) < 1 < Ьь ~,шяс р).
Следствие 4.22 В сделаннгях выше предполкястшях, если ю зто угол от концевого линейного участка Еь к концевому линейно.яу учошпку Его на концевых линейных участках, нет концевых наростов, паркет 1) и нети .иинимаяьную реализацшю на ЛХ, а 1 = шс1 Еь и ~' = шс1 Ег, ьио длине~ 1 супербоковшпы паркета Р от концевого .птейноео участка Еь к концевому линейно.яу участку Ез лежит в пределах Следствие 4.23 Пусть, в предположениях предложения 4,1,з, ЛХ зто правильный п-угольник, и > 12. Пусть:р = дк13, и 1, .(д) длина супербоковины паркета Р от концевоео линейного учаспта Еь к концевому линейному учаспгку Ех.
Пусть Л остапьок от деления числа пй на 6. Тогда е множество Й ~ ~ (пьу, р) состоит не более чем из одной пьочки гпулю и имеет,место следующее неравенство: пй 6 2' — р < —; длина сусгеубоковины 1ь ~(р) определена однозначно и вычисяяется гпаь-: приЛ=О, 1,2, 1ш1зо) = не реишзуется при Л = 3, ~7] при П = 4, о: ° множество йь г(гпл, р) сосгпоит, не более чем из одной точки гпл.ьт, и имеепь мсспьо следующее неравенсгпво: па 1 1 — р+ —, < —,,: 6 2 2' Применим предложение 4.16 и следствия 4.21 и 4.22 к случаю правильного п-чголыплка. Геометрия концевых ль>нейных участков 269 длина супербоковины 11 з[ь>) определена однозначно и выткляется так> не реализуетсл при Л = О, при Я= 1,...,5; 6 ° шножестьо Йз >[им, ») состотп нс более чс-.я из одной >почки >пи~... и и ивет, жовто слее1у>ощее неривенетао> пд 1 1 — — р — — < —; 6 2 2' длина супсрбокоаины 1з >[р) определена однозначно и вьячислястся епак> не реолозуетсл при Й = О, Iз >[1с) = пд> т > =[~ — ] — 1 при Я=1 6] ° .нножьснььо Йя з[е~м, р) сов>пои!~ нс солса чь.н из однао >почки >паев, и и.ивет .веста следующее неровенсптес ну 1 — — р < —,.
6 2 длина супсрбоковины 1з з[р) опрсдь лена однозначно и «ычислястсл [71-' приЛ=О, 1,2, 1зд[ф = не реализуется при Я = 3, при Я=4. 5:, Доказательство. Ясно, что в случае щ>авильного п-угольника все уьлы о~~ равны о = я/>и а угол 13р равен [2р+ 1)а. Поэтому опрсдсляюгцие не- Равенства ДДЯ й-мне>настя пРоизвольной точки гпя Е М имен>т слеДУюший вид. ° Для мнол'сства Й> >(тя, уку3): я и я я — у < [2р+ 1) — < — у+ 2 —,. 3 и 3 и откуда ну 1 — — р < —,. 6 2 Л частности, е = А + р удовлетворяееп соответствующе,чу неравентпсу в зовисишоьти от индексоь концевых линсйньш учатпкьт Е> и Ез.
Более тово, в не ъаааси ности от индексов концевь>х линейныт участков Е~ и Ея, длина супербоковины от Е> к Ез не льень>ое ьея [пд/6] — 1 и нс больше чсля [пу/6]. Геометрия концевых л>гне>гньгх участков 270 ° Для множества Йг 717пл, дк,>3): 7 Л вЂ”,д — — < 12р — Ц вЂ” < —,д+ —, 3 77 и 3 и откуда >гд ! 1 — — р+ —, < —.. 6 2 2 ° >л>гя множсс 1ва Йз 7 7п1л, дкг 3) . — у — — < 12р+ 1) — ( — у + —, 3 и и 3 и откула 71 Я 1 с> °,71ля хи7олгегягва Йл з(гп>о дк(:1)1 ;г 2>г >г л — у — — < 12р — 1) — < — у,. 3 и и 3 откуда 1 — — р ( 6 2 Следствие 4.24 Пусть, в пред>>7>лг>зсе>силл предлогкенил,о16, М зп>о ьвазиправильны71 п->>сольник, и > 18. Пусть,р = дк>73, и 1, 1ф д,пгна с271777>рбокоьины парктпа 0 от, концевого линг йного участка Ег к концевому линейному >участку Ез.
Пуспгь К осгпагпок от 1)еле>>ил числа пд на 6. ° Если. шдЕ> = п>с)Е = 1, тт. точка т„= гпь,р принодлезкит множ ссгпо у Й, 71тг., р), то пу 3 — — р <— 2' а длина супербокг>вины 1111у>) пр71>п>лгаегп одно из сгедутгцил значе- ний> — 2, [ ~ — 1, .[,~, приЬ'=О, >,2, — 1, .[, ~, при Е = 3, П 71 и 11 6 — 1, [ — ~, Я+1, приЕ=46 21оказатеггьство закончено. 11римени л теперь предложение 4.16 к случаго квазиправильного п-угольннка. Геометрия концевых аннейных участков 27! ° Ес.т 1пд Е~ = 1, о шс1 Еа = '2, т,.е. точка тс = таз н принадлежит множеству й1 з(епь, ф, то пд 1 3 — р+ —, < —,, 6 2 2' а длина супсрбоковины 11 з(<р) принигяаст одно из следующих значе- ний. ° Если шдЕь = 2, а шдЕа = 1, т.е.
точка п1с = гпььр принодлсжитг1 мноэксстоу йа 1(тгы р), то пя 1 3 р < —,. 6 2 2 а длина супсрбокоьины 1а 1(ф принимает одно из следующих значе- нии: пу] — 1, [ — ], прн Я=1,...,о. 6 ° Если шдЕ1 = шс1Ез = 2, т.с. точка т„= те~ принадлсжтп .яно- жествУ йха)ть, 1о), то пу 3 — — р < —,. 6 2 а длина супербоковины 1а з1ьэ) принимаетп одно из следующих значении: п21 — 1, [ ], [ ]+1, приЛ=45 В частности, каждое из й-множеств состоит не более чем из трех элеи г' и т о в . Более ппюо, в нг заьисимосгпп от пндекгоь конигььы: еингйньм учасчпкоь Е1 и Еа, длина супербоковины оьп Е1 к Еа не меньисе чем [пд/6] — 2 и нс больше чем 1пуС'6) + 1.
[ 1гг14 = [ — 1, [пбу], ,п1ш я=о, -1, [ — "'], [ — ",']+1, р. Л=1,...,.-. 6 ' 6 — 2, [ — 2, [ — '2. [ — ] — 1, [ — ], при П=О, 1,2, „6„' 6 Гпд1 при Я=3, 6 пг и Геометрия концевых лггнейных участков 272 Доказательство. Пусть 12 = (дг) правильный и-угольник нз определения кввэиправнльного многоугольника М, причем ггершины его занумерованы так, что на дуге окружности.гг от гггр до тлрг лежит вершина дррг. Обозначим через,,у, положительный угол от тгг г тхаг ло тр, ртр рр рг, а через,Зр положительньш угол от дл гдьрг до дрердя.~рог Легко видеть, что гдр = (2Р+ 1)а, гце а = п,гп. Обозпачи л, как и вылив, чеРез а„Угол гпгт„ьгт„жг.
5!оно, что величины этих углов лежат в интервале (0,2а). Пусть 1пс1 Дг = пк1 Гг = 1, т.е. точка т„= тг„. р принад:гежит множеству Йг г(тя, уг). Обозначим через а' положительный угол от вектора дл гдлр, до вектора гггь ггпь.рг, а через ар положительньгй угол от вектора пгьрртлрррг до вектора дрррргдррррз. Ясно, что углы а и а привил марат:гначення ггз пгни г ервала (О, За), и гдр —,9,рг — а' — ап = (2р+ 3)а — а' — а". '1ак как точка тс = тг, рг, принадлегкит множеству Йг г(тл. р), то гр < гд < р + а„+ гг откуда 1р+ а'+ ап < (2р+ 3)а < др+ (а~ + а') + (ар + ап). Рассмотрим сумму углов аь + а'. 21сгко видеть, что эта сумма равна величине положительного угла от дрр~др г до трргпгы Величина этого угла лежит в нигервале (0,3о).
Далее, рассмотрим сумму углов ггх + а". Эта суггхга равна величине положительного угла от терр г тррррг до длррргдьрггрз. Величина этого угла также лежит в интервале (О, За). Поэтому р+ О+ О < (2р+ 3)а < гр+ 3 + За,. откуда ~2ра — гр~ < За. Подставляя в полученное неравенство значения лля а и р,получасхгтрсбусмос.
Первый случай доказан. Пусть шс1 Ег = 1, а ш41 г = 2, т,е. точка т, = тггчр принадлежит множеству Йг з(гпь,1р). Обозначим через а' положительный угол от вектора др гдррг до вектора тр гпгр,рг, а через ап положительный угол от вектоРа длрр гдррр До всктоРа тлчр гтррр. Ясно, что Углы а' и ап прнпимлкгт значения нз интервала (О, 2а), н .Зр г =,'1~ г — а'+ ап = (2р — 1)о — а'+ а". Так как точка т, = тьер принадлежит множеству Йг х(тр, ф, то гр — сгг рр <,Зр г < р + аг., Геометрия концевых лллнейных участков 273 откуда лр — 1а „+ о") + а' < (2р — 1)а ( со+ (а~~+ а') — а".
Касс и в первом случае, сумма углов аь + а' лшкит в интервале (О, За). Далее, рассмотрим сумму углов а„ч + а". Эта сумма равна величине положительного Угла от ~1ьрр сдьрр До лпал р л тьрррл. Величина этого Угла также лежит в вллле!>ванне 1О, За). Псалому р — За+ 0 < лс2р — 1)о < р+ За — О, откуда 'О(2р — Ца — 1р)! < За. Подставляя в полученное неравенство значения для а и у,получаем трсбуе лое. Второй случай доказалл. Пусть шс! Ел = 2, а ин1 Ез = 1, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
