Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Это следствие докгзывается точно так же, как и пре- дыдущее. Пусть М произвольпсьсйг выпуклый п-угольник, ть Е М некоторая ос о вершина, р неотрицательное целое число, нс превосходящее с1(п — 1)сс2], и а равссо — 1, 0 или 1. Обозначим через о'(ть,р, сг) множество с~еРссшсс Яз ЛХ ница Гспь г,..., тльр) О ) ссььггсггс1).
Б1дем с овоГгнсть что зсногксство .'ХГспь, р, в) затягивается росткол глси с началол в тсо если существует такая точка т Е сопи.гХ, что мяожество сс!ть, р, а) О !т) затягивается некоторой минимальной змеей Я, одно из коьшевых ребер которой, скажем г, приходит в точку спь, другое в точку т, а последовательные отростки, начиная с отростка. смежного с ребром е, в точки тьг„, тл, тлгзг, ть „,.... Ясно, что длина ъппшьгяльнойс змеи Я в этом случае равна 2р+~а~. Далее, будем говорить, что иг точки тл Е М .колено вьтусттпь росток г.,яги длины -, если существует такое множество .сз)тл, р, а), что г = 2Хг+ ~а~, и множество з1сссл, р, а) затягивается ростком змеи с началом в тя.
Минимальное, для которосо из точки тг Е М можно выпустить росток змеи длины г, называется зжа.соььсл сублодулел сссочки сссь и обозначается через (,.(тг). Наконец, лсаловьсл сублодум:.и Х, сГМ) лнозкссспьи М называется минимум жаловых субмодулей б, (ть) по всем сссь Е М. Следующее предложение очевидно. Предложение 5.2 Путпь ЛХ,инозисс тво всрсиин ьсяссуклсзгсг инстсзуго- льтика.
Тогда Г(М) > Хи(М). Теперь все готово, стобы доказать теорему сь1. 2 Доказательство теоремы 5.1 Из следствия 5.2 вытекает, что при и > 80 жаловый лодуль произвольного квазиправильного и;угольника больше 10. Поэтому для доказательства теоремы достаточно проверить, см. предложение сь2, что из произвольной точки ть Е ЛХ нельзя выпустить росток змеи длины 1О. Покажем это.
Касс обычно, будсол предполагать, что вершины многоугольника М занумерованы злементаъпл из вп. Г1усть а = ш1. Определим логяанусо Х, Гссс~,.) набором се последовательных вершин так: 1. Гт~) = )пса, тьг„, ть, гпььз, ть Пусть из точки ть можно выпустить росток змеи длины П1. Пусть первый отросток этой змеи, считая от коппсвого ребра е, ипцидсптпого точке тл, приходит в верпшиу тлс.„.
!огда, как леско видеть, для каждой внутренней вершины т' ломаной!., Гть), гспьший угол, порож пенный лучами. выходящими из сп' и содержащими звенья из Л Гсссл) инпилентныс т', содержит внутри себя отросток минимальной змеи, приходящий в вершину Доказательство теоремы о.1 гп'. Позтому все соответствующие вертикальные углы, после совмс1цения их вершин, содержат внутри себя некоторую обшую прямую С. Ооозначим через Об 1 = 1,..., 5, величину угла п2я41 11п1.;ть41, а через,11„1 = 1,...,5, вели пшу угла т5,41тъыть,.
Пусть, для определенности, и = 1. Рассмотри51 на плоскости Р положительно ориентированную ортогональную систему координат, с осью абсцисс, сонаправлснной с вектором гпг. 51шя 1. '1огла угол оч оси абсписс ло вектора п11.„11пл равен Д1, а углы от оси абсцисс до векторов т54 „41ть „1 = 1,..., 4, равны О241 + ~' )О'1 111), 1'=2 а у1лы от оси абсцисс до векторов гв541пш 1, 1' = 1,..., 5, равны Условие того, что все соответствующие вертикальные углы, после совмсшенин их вершин, содержат внутри себя некоторую общую прямую 1', состоит в том, что паименьшшл угол от оси абсцисс до векторов 1п14,41ть 1 = О,...,Д, больше чем наибольший угол от оси абсцисс до векторов тя ь,тл ь 1,' = 1,..., 5.
ПозтомУ, если выполнено слеДУюЩее нсРавснство п11ц(оы 112; 112 512 + Оз О2 Ф2 + 113 ДЗ + О4 и —,112+ Оз — Дз+ О4 — Ф1 + О5) < <шах 0,12 — 1 ° . Π— 1. '-о; —,';, Π—" +Π—, +Π— 514, Оз — 222 + 113 — ДЗ + 114 — д4 + 115 — оз): то из точки тъ нельзя выпустить росток змеи длины 10, первый отросток которо1 о приходит в точку пг541. Аца югичцо, рассматривая случай 12 = — 1, зак,почнем, что если выполнено неравенство ццн(111, о2, 122 112 + ДЗ о2 112 + 1~3 ОЗ +,'~4 Ь вЂ” Оз+ 143 — Оз+ А — 114+ ДЗ) < < п1ах(0,,32 — О2 цз О2 +,оз — 513, Дз 112 + 123 Оз + 124 О4 112 Оз +,'33 — Оз + Д4 О 1+ ДЗ 115); то из точки шъ нельзя выпустить росток змеи длины 10, первыи отросток которого приходит в точку тл Таким образом, для завершения доказательства теоремы остается убедиться, что лля предъявленных квазиправильных многоугольников приведенные выше неравенства выполнены для каждой вершины тю В силу Доказательство теоремы 5.1 периодической структуры напэих многоугольников достаточно проверить выполнение неравенств для лкхбых 10 последовательных вершин.
Обозначим через Э вектор (,'Зв, дэ, Дз,,Зз,,ды аэ, аэз оз, .оч, а;) . '! оглз, для любых 10 последовательных вершин из М, с точностью ло пи- кличсской псрестановки, вектор О принимает слслуюшнс значения: (а + 2е,а. а,а — 2 ,о,а + 2в,а — 2е, о + 2»,а — 2е,а), (о,а,а — 2с,о,а + 2в,о — 2е,о + 2г,а — 2 .о,а + 2в), (а,а — 2в,а,а + 2,а — 2=,а + 2г,о — 2,а,а + 2е,а), (а — 2г,а,а + 2в,а — 2в,а + 2в,а — 2»,а,а + 2в,а,а), (о,а + 2е,а — 2в,а + 2»,а — 2е,а,а + 2,а,а,а — 2»), (а + 2с,а — 2,а + 2»,о — 2е,о,а + 2»,аыэ,а — 2в,а), (а — 2в, сэ + 2, о — 2», а, а + 2е, сэ, а, а — 2здэ, а + 2в) ,.
(а + 2в,а — 2в,о,а + 2е,а,а, а — 2в,о,о + 2е,а — 2в), (о — 2е,а,а + 2в,а,а,а — 2=,а,а + 2 .,а — 2с,а + 2в), (а,а + 2е,а,а,о. — 2с,а,а + 2г,а — 2е,а + 2с,а — 2е). !!оэтому оба неравенства в кзэклом из элмеющихся 10 случаев имеют вид: (.5.1) шэп(а, а — 2в, а+ 2е, о. о) = о — 2в < швх(0, О, 2е,О, — 2 ) = 2в, ппп(а + 2в,а — 2=-,а.а — 2с.а + 2в) = а — 2» < шах(0, О, — 2е, О, 2в) = 2», (5.2) ппп(а+ 2я, а+ 2е, а, а+ 2е, а+ 4в) = и < шях(0, 2в, 2е, 2», 4е) = 4в, шш(а — 2», а, о — 4в, а — 2», а — 2в) = а — '1в < < пэах(0, — 2в, — 2=, — 2в, — 4в) = 0: (5.3) шш(а — 2е,о — 2е,а — 4е,а — 2г,а) = а — 4= < швх(0, — 4», — 4',0,0) = О, ппп(а + 2», а + 2е, а + 4е, а + 2», а) = о < шнх(0, 4, 4е, О, 0) = !в; (5 4) ппп(а+ 2в, о, о+ 4-, а + 2в, а+ 2г) = а < шах(0, 2в, 2с, 2», 4в) = 4в, ппп(а — 2», а — 2е, а, а — 2с, а — 4:) = а — 4е < < ших(0, -2, -2в, -2», -4г) = 0; Доказательство теоремы о.1 (5 5) тт(о — 2в.
о + 2я, о, а + 2с, а — ' = ) = о — 2' < шах(0, О, 2в, О, — 2 ) = 2с, шш(о, о+ 2в, о — 2е, о, о) = о — 2с < шах(0, О, — 2в, О, 2в) = 2с; (5.6) шш(о,о,а+ 2с,о — 2с,се) = о — 2 < шах(0,.2с, 0,.0, — 2я) = 2с, ппп(о+ 2я, а — 2в, о, о — 2-, о+ 2т) = о — 2в < шахгО, — 2в,О, 0,2в) = 2=-; (5.7) шш(о+ 2в, а, а — 2в, сп о) = о — 2в < пзах(0, О, О, — 2с, 2 ) = 2, ш1п(о, оно — 2г, о+ 2в, о) = о — 2г < шах(0,0, 0,2с, — 2с) = 2=-; (5.5) ппп(о,о — 2я,о — 4в,о — 2с,о — 2я) = о — 4с < < шах(0, -4в, -4в, О, .-4в) = О, пйп(о, о+ 2=-, и+ 4с, а+ 2=-, о + 2в) = о < шах(0,4с,4с,0,4в) = 4в; (54)) ппп(о.
о,о+ 2в,о — 2,о) = о — 2с < шах(0,0,0, — 2в,2в) = 2в, пппз а — 2е, о, о+ 2с, о, а) = о — 2в < шах(0, О, О, 2с, — 2в) = 2с; (5.10) шш(а — 2в, о + 2в, а, о+ 2с, о — 2в) = о — 2в < шах(0, 2=, О, О, — 2вз — — 2=, ппп(о, о, о — 2в, о+ 2с, о) = о — 2 < шах(0, — 2с,О, 0,2в) = 2в. Ясно, что все зтн неравенства выполнены, если о < 4в. Теорема доказана. Замечание. Оказывается, найденные нами в-квазиправнльные многоугольники в некотором смысле оптима. льны.
А именно, оказывается, росток змеи длины з < О всегда можно выпустить нз некоторой верпшны любого в-квазиправнльпого п-угольпнка, п > з + 1, Зтот факт был обнаружен как результат вычислительного зксперимента,выполненного в пакете Ма~Ьеша1зса . 11дея использованного а.порнтма состоит в следующем. ...о Сначала моделируются все возможпыс блоки 7 = (гы О, ы..., о, ы и„), глс г = )(з+ 1)/2). Среди них отбираются тс, для которых выполняются неравенства, аналогичные приведснньгл выше, н гарантирующие невозможность выпустить змею длины ж Затем, строится ориентированный граф, Доказательство теоремы 5.1 вершины которого отобранные блоки, и вершина э соединяется с всршинои,„ориентированной дугой с началом в у„если и только если блок,„ с выброшенным первым элементом совпадает с блоком ";ч с выброшенным последним элементом.
11се замкнутые маршруты этого ориентирование~ о графа соответствуют всем г-квазиправнльным п-угольникам, из каждой всрпптны которых нельзя выпустить росток змеи длины ю Оказалось, что при г < О полученные ориентированные графы ацикличны. 11ри " = 10 соответствующий граф имеет ровно два пепересекакпнихся цикла, причем в-квазнправильныс п-угольникн, соответствующие этим циклам, получаются друг из друга движением плоскости, меняющим ориентацию.
Линейные паркеты с правильной границей из всех граничных ребер скелета 5', не принадлежащих концевы л змеям, состоит по крайней мере из двух ребер. 11олее того, ребра поворота обоих концевых линейных участков различны и принадлежат С. Обозначим через С' часть контура паркета Ед состоящую и» всех граничных ребер паркета Ец нс принадлежащих хвостам. Из сказаннос о выше вытекает, что С' состоит не ленсе те л из 2+ д(Е~) + сДЕ») ребер, где, напомним, с1(Е ) равно нуспо, если на ребре поворота концевого лннейнос о участка Е, нет нароста, и равно сдиннцс в противном случае. Воспользуеасся теперь оценкой на длину хвоста в случае наличия излома, см. следствие 4.15 главы 1, в силу которой длина хвоста концевого линейного участка Е, нс мсныпс чем '[-.,]- [ из сгс+ 15+ 18с1(Е ) з 8 12 Получаем, что длина контура паркета 0 болыпе или равна сш сгс+ 15+ 18сс(Ес)1 ссс+ 15+ 18с1(Ез)1 [8] [ Рй 12 где 2 в конце формулы соответствует двум концевым ребрам паркета Еь С другой стороны, контур паркета 0 состоит из и ребер, поэтому должно быть вьшо,шено следующее неравенство: п1 Ос+ 15+ 18с1(Ес)1 юс+ 15+ 18с1(Ез)1 3 " 12 ~ ! 12 4 ') 4''з) ' ( Рассмотрим отдельно случаи возможных зиачени11 чисел сс(Е,).
Если с1(Ес) = ссс1сЕз) = О, то неравенство ~я) имеет вид >4[-и] -2[п, ]+2. Однако, это неравенство на интервале п > 12 вьшосшяется лишь пря гс = 14, Далее, если одно из чисел с11сЕс), скалсем с11сЕ»), равно нулю, а другое единице, то нераве~ктво 1я) имеет внд п>-4[8]- [п;,"]- [и;2'8] ' Однако, »то неравенство па интервале и > 12 выполняется лишь при п = ! 4 н и = 17. Наконец, если с1(Ес) = с1(Ез) = 1, то неравенство (л) имеет вид п>4[ —,] — 2[, ]+4. Ошсако, это неравенство па иптерва.се п > 12 вьшосшяется лишь прн и, = 14, и = 16, и = 17 н и = 20. Рассмотрим теперь оставшиеся возможности. Линейные паркеты с правильной границей 286 л Р, су Рис. 6.1: Этот паркет нс имеет минимальной реализации па правильнсал 14-угольнике Случай п = 14 Выпишем сначала все имеюшиеся у нас общие опенки. Длина жала, в силу следствия 4.7 главы 4, не лсныпе чем [и/3] — 2 = 2.
Далее, в силу следствия 4.23 главы 4 для угла у = я, индексы концевых линейных участков Е, и Ез одинаковы, и длина л, каждой из двух супер- боковин равна [пд/6] — 1 = 6. Обозначим через 6; длину боковины поворота участка Е,, а через с; длину под виновной боковины участка Е,. Пусть с11Ес) = Ы[Ез) = О. '1огда, в силу следствия 4.16 главы 4, 6; > [и/3] — 1 — И[Е,) = 3, а [ и [и+6+Ы[Е)~ Так как л, = 6, то множество С', состоящее, напомним, из всех граничных ребер паркета, не принадлежащих его хвостам, состоит не более чем из 2 ребер, т.с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
