Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Для 1, 2 определим фуякпию д„, положив се равной 1, сели к ребру и„ крепится нарост, и равной 0 в противном случае. Кроме того. определим функцию !пей, положив се равной 1, сели нсконцсвос граничное ребро ячейки Л лезкнт в 1, и 0 в противном случае. Для дальнейшего нам понадобится слсдуиошес предложение.
Предложение 6.2 л!лини ]!' боаоеины !' гиоаиеш бьгигь оценена сгишу че- рез длину ! бокоиины ! следующим образо.н: ]!'] > ]!] — !пс1е — А — дз. Доказатольство. Обозначим через 1', подчиненную боковину концевой Л- змеи, и ориснтируем ооковины К !', с, и !', в сторону от их концевых вершин, принадлежашнх концевому ребру ячейки Л.
Пусть и' последнее Произвольныс паркеты с правильной границей 299 ребро из 1'., в порядке, индуцированном введенной ориентацией. Обозначим через спл вершину из ЛХ, инцидентную концевому ребру сх-ксзььпа Хб. Проведем через ребро с' ос си Г, соответствующее а', прямукз Х'. Далее, проведем пря лую уз, параллельную К', через ту из вершин многоугольника М, которая соответствует последнему ребру боковины 1 (ессззз на ребре сы нароста нет, то зто ребро, очевидно, совпадает с оз). Наконец, если на ребре аз есть нарост, то проведем прямую 1з, параллельную Х'.
через вершину из М, соответстьзуюшую первому грани тому ребру стого нароста в смысле ориентации боковины Е Если жс на аз нароста нет, то прямую Хз проведем через вершину из М, соответствующую аз. Ясььо, что прямая П лежит между Хй и Уз, и все зти прямые параллельны прямым дождя концевой с.'ь-засев. Пусть Пз открытая полуьмоскость, ограниченная 1з н содержащая те. ОбОЗНаЧИМ ЧсрСЗ Зу ОтКрЫтуЮ дуГу ЯЗ ЬЗ НЗ ОКружНОСтИ Ос. 06ОЗНачпм через у н зН связные компоненты ъьзьожсства зе зз (ть), причем будем прсдполт ать, что точки шз М, в которы~ приходят граничные ребра боковины поворота1, лежат на ун а точки из М, в которые приходят ь рапичные ребра боковины У на рр.
21егко доказывается слсдузоща,я леизса. Лемма 6.2 Пусзпь т и зп' количество точек из ЛХ, потт шил на в' и ьм соотвстстсз нно. Тогда 'сп: за + 1 — зпс1с . 21алее, пУсть, и' точка пеРесечениЯ пРЯмой Х' с лУгой 1З', а из гРаничная точка дуги Ьз', принадлежащая прямой Хзь Обозначим чсрсз бз полуоткрытую дугу 1в', иь) между точками вл н из, такую что дз б ср, и пусть ьУ величина дуги бз. Слс1уьопьая лемма проверяется непосредственно. Лемма 6.3 ХХели шна ХХ оугсз бз оценивается сверлу такс 3 ( 2о(1 + сХз + сХз) где о = яз'зз. В чиеьпности, на полуоткрытой с)усе бз лежит не бо.зее 1+ с1ь+ вз всрьаин из!1Х.
Далее, обозначим через бз С вз' открытую дугу, оз раниченную точками зпь и о'. Ясно, что )1' равно количеству точек бз), попавппьх на бз, плюс одна точка: 1'! = бз) + 1. С другой стороны, количеспзо т' точек из ЛХ, попавших на ззз', равно количеству точек из ЛХ, попавших на дз, плюс количество точек бз, попавших на бз, т.е.
т,' = фь)+ )бз . Далее, по определению дуги ьц очевидно, что т = 1 — 1. '1аким образом, в силу леммы 6.2, имеем: т' = бз)+ (бз = )бз(+ 1' — 1 = т+ 1 — шс1с — 1 — 1+ 1 — шс1с = )1! — зпс1с, Произвольныс паркеты с правильной сраницей 300 откуда [!'[ = [4[ — !пс1, — б~ [+ 1. В силу лс: лмы 6.:3, имсс;и ! [ > Х вЂ” !пс1с — (! + д~ + дз) + ! = [![ — !пдс — д~ — дз, что и требовалось. Следствие 6.1 В прсдпололсснилл предложения 6.О, всегда ияссш тесню неравенства [Н > [4[ — 3. Более того, если длина боковины поворота 1 меньша 5 и не,яеньше 3, шо Н[ > ! — 2, а если дьшна боковинсл повороте ! жсньшс 3, то [Н[ ) [![ — 1.
1(алсс, предположим, что паркет Л из !4"ссо нс менее чем с тремя концевыми линейными участками имеет мслннмальную реалязапикь ! на миолссствс вершин правильного п-ус ольника. Напомним, что паркеты не менее чем с тремя концевслъпл линейными участками называются нелинейными. Пусть в Т! содержится по крайней морс лва концовых линейных у нитка, скажем. Е~ и Е, имеющих излом.
'1огда, в силу следствия 4.16 главы 4, длина [1;[ ооковины поворота 1; хвоста участка Е; не меньше чем ьо,(п) = [п,с3] — 1 — д(Е,). Далее, определим функщьк~ ~,(п), положив ю,(п) = .р;(и) — 3, если .р;(и) ) 5; со,(п) — 2, если 5 > со;(п) > 3; ср,(п) — 1, если 3 >;о„(п). т (п) + гз(и) + 4+ д( Е~ ) + д(Ез) + 3 < и. Если оба д(Е,,) одновременно не равны 1, то при и > !2 зто неравенство не имеет места. Если же д(Е~) = д(Ез) = 1, то неравенство вьшолнено лишь при и = 17 и 23.
х1тобы разобрать два последних случая, мы докажем следу юсцую лемму. Лемма 6.4 В сделинньсх ослизе т~редтялолсснилх, одно из с1(Е,) равно нулю. Доказательство. В следующей главе мы определим направление концевого линейного участка произвольного односвязного паркета. Неформально В силу следствия 6.1, длина ![[ противоположной боковины ![ хвоста участка Е', больше или равна Ы,(п).
Позгому, длина хвоста т,,(п) участка Е, пе меньше чем р;(и) + ььс(п). Таким образом, концевой линейный участок Е; затягивает не менее г,(п) + 2+ д(Е„) вершин многоугольника. '!ретий концевой линейный участок, который существует по предположению, затяс иваст нс менее трех вершин многоугольника. Таким образом, выполняется следующее неравенство: Произвольныс паркеты с правильной границей 301 говоря,,чля этого достаточно ориентировать каждую боковину концевого линейного участка в сторону концевого ребра, н множество направлений звеньев так ориентированных боковин назвать напраолснием этого участка.
Кро лс того, в следующей главе будет д~оказаво предложение ь.б, из котороь о немедленно вытекает, что направления всех концевых линейных участков паркетов из УДI~~ разлнчны. 31егко видеть, что концевой линейный участок, имеющий взлом н нарост на ребре поворота, имеет ве менее трех направлений. Гели оба кошЧевых линейных участка Гу~ и Ез имееот наросты на их ребрах поворота, го оба эти концевых линейных участка в сумме имеют 6 направлений. Так как возможньлх направлений всего шесть, то паркет В нс ььочкст содержать концевых линейных участков, отличных от Е,. Лемма доказана. '!'аки л образом, доказаьто слс.чующее предложение. Предложение 6.3 Если нелинейный паркет, И инеюп мини нальшдо реализацию на мнолсес~иее вершин праоильного гь-угольника, и ) 12, то осе его конвееые .шневньье р мостки, за исключением бьипь может одного, леля юиься змея юи [ьоз.колено, с ньросньа.ии). Пусть теперь лишь один концовой линейный участок Е паркета В нмсст вз.юм, а все осталычые концевые линейные участки змеи.
Предполоьким сна |зла, гго олин иэ соседних с Е концевых лип< йных участков, скажем Г!, составляет с капиевой змееи участка Е угол в я,г!. Отметим, гго в этом случае на обзщсй боковине участков Е н Е лежит подчиненная боковина участка Е. Без ограничения общности будем предполагать, что угол от Е к Г равен л/3.
Как и выше, длина [1[ боковины поворота! участка Е оценивается снизу функцией ьо[п), а длина [Р[ подчинение!! боковины функцией ьо(п), Если подчиненная боковина участка Е содержит ребра, не входящие в хвост, то длина общей боковины участков Е и Е не лсньшс чем 11[в) + 1 + 1, где первая единица соответствует описанным только что дополнительным ребрам, а вторая Г>оковине участка Е. С чругой стороны, в силу следствия 4.23 главы 4, длвпа обшей боковины участков Е и Е не больше чем [ьь/б). Поэтому должно выполняться следующее неравенство: ~!'[гь) + 2 < [гь/6].
Однако, при и ) 12, это неравенство не имеет места. Посто лу в с,челанных предположениях подчиненная боковина участка Г не содержит ребер, не входящих в хвост. '!'аким образом, мы находимся в ситуации, изображенной на рис. 6.17. '!тобы получвть более точную, чем в предыдущем случае опенку на длину [Р[ противоположной боковины, определим функцию 6!гц ш!ь), за- Произвольныс паркеты с правильной с раницей 362 Рцс. 6.17: Два концевых линейных участка под углом в к,13 висящую не только от и, но и функции шс1е участка Е, положив: ье[ец шс1,) = р[п) — 2 — 1пс1о если р[п) > 5; 1а[п) — 1 — шс1о сели 5 > [и) > 3; Р[п) — 1псы если 3 > 1о[п).
В силу предлоькения 6.2, имеет место неравенство ]Р] > ь,'[п,,1п4). Дсачее, если индекс шс1[Е) концсвого линейного участка Е равен 2, то, в рассматриваемом случае, длина боковины участка Е, лслсшцей в общей боковине участков Е и К, не меньше '2. Поэтому, длина общей боковины участков Е и Г не меньше ье[п, ш4) + 1пс1[Е).
Вычислим теперь длину е[п, шоы1пд(Е)) общей боковины участков Е и Е с помощью следствия 4.23 главы 4. Обозначим ~срез Н остаток от деления и на 6. Отметим, что шс1[Е) = 1+ шс1ы поэтому: ] [и!6] — 2+ йн1[Е), если К < 2; л[п, 0,1пс1[Е)) = [ [прб], в противном случае; — [пЯ вЂ” 1, если Л<2; ь[а 1. шс1(Ет)) = [пЯ вЂ” 2+ шсЦЕ), в противном случае. д Тсакям образом, должно быть выполнено следующее неравенство: й[п, ш4) + шс1[Е) < е[п,1пбм шс1[Е)).
Однако, прп п > 12, это неравенство пе выполняется для произвольного выбора значений шс1, и шс1[Е). Итак, доказано следующее предложение. Предложение 6.4 Пусть нелинейный маркет ГЭ имеет мшщмсоаьную реализацию на. мномссстас ееригин прааильносо п-угольниюа, и > 12, и некоторый его концеаой линейный участок Е имсспе излом. Тогда осс концевые линсйныс учотпкн из О, отличные от Е, змеи, и угол между Произвольныс паркеты с правильной границей концевой змеей участка Е и лтобы.,ч другил концовы.н линейныл учагткол из 0 не „нтььше чем 2тгтт3. Предположим теперь, что углы мс кду имеющим излом концевым линейным участком Е паркета В и любым другим концевым линейным у таст- козл из 0 больше яли равны 2кть3.
Пусть в 0 имеется капиевой линейный участок Е, такой что угол между Е и концевой:змеей у тастка Е равен 2т(3, причем общая боковина участков Е и Е содержит ооковипу поворота участка Е. Ясно, что н этом случае па реоре поворота участка Е нароста быть не хтожст, поэтому длина боковины поворота участка Е нс меньше чем [тзтз3] — 1. Следовательно, общая боковина участков Е и Е нс меньше чем [тз(,'1] — 1+ 1+ 1, где последняя единица соответствует боковзлне участка Е лежащей п обгней бокоззине рассматриваемых капиевых линейных участков, а прсдпослсдняя единица ребру поворота участка Е. Однако, в силу глгдгтвия 4.23 главы 4.
длина общей боковины участков Е и Е не превосходит [п,13]. Из полученного противоречия вытекает следующий результат. Предложение 6.5 Лугть нелинейньпЗ паркет В пмсетзз мини,на„ььнузо реализацию на лзножеспшс вершин проьильноео п-уго.ььникчц и л 12, и некоторый его концевой линсйньзй участок Е ильсепз излом. Тогда все концевые,ьинсйные у ьастки из В, от,,ьи тыс от, Е, знгц угол между концсвои' змеей участка Е и любьзм друеи.п коццевыль линейнызь участком из В не ленььиг чсл 2ктз3, и, более того, уго.ь,яелсду учпгтком Е и сот еднии г Е концевым линейны.я участка.н Е, таким что обьцал боковингт участкоь Е и Е содержит боковину поворотпа участка Е, не меньизе я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
