Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 62
Текст из файла (страница 62)
точка гпс = пслл.р щпллладллежит множеству йз л1ть, ср). Обозначим лерез а' положительиыи угол от вектора тл сгвссЛ.л До всктоРа сльДЛЧз, а чеРсз а" положительный Угол от вектоРа тьррпльрррл до вектора улар,нлррррз. ясно, что углы а' и ал принимают значения нз ллитервала ~0, 2а), и ,Зр — — !7р + а' — а" = 12р+ 1)а+ сл' — а". '!ак как точка гп, = лгсь~р принадлежит множеству йз ~ (спл. ср), то лр — ал (Вр (ср+сслл откуда ср — 1сл + а') + а" < 12р+ 1)а < лр+ 1сль + ол) — а'.
Рассмотрим сумму углов а„+ а'. Эта сумма равна величине иололси рель- ного угла от ллль 1тьр1 до дас1ьчз, которая лежит в интервале (О, За). Далее, рассмотрим сумму углов а~ +а". Эта сумма ранна величине положитсльйар ного угла от тьер лтьл.рл.~ до с7лрррлдлр л.з.
Величина этого угла раюке лежит в интервале (О, За). Позто"лу ;о — За+ 0 < (2р+ 1)о < р+ За — О, откуда '012р+ 1)а — рО < За. Подставляя в полученное ыеравеллство значения для а и ср, иолу лаем требуемое. Третий случай доказан. Пусть шс1Ел = шс!Ез = 2,т.е.точка т„ = лиьл.р принадлежит множеству Пз з(тро лр). Обозначим через а' положительный угол от тл с тарл до Геоьлетрия концевых лллнейлных участков 274 длдлчэ, а через а" положительный угол от дерр ~дакар до терр ~тьЧ .
Ясно, 1то уг.лы о' и а" принимают значения из интервала (О, 2а), и У5р л =,'5р з+ о~+ он = (2р — 3)о+ а~+ о~Я лрак как точка те = тл рр принадлежит множеству йз з(тр, др), то оь орр~ < 35р — ~ < 5Р откуда д — )о,, + о') — (о + о") < (2р — 3)о < р — о' — о". Рассллотрлим сумму углов о + о'. Ле~ ко видеть, что эта сумма ранна величине положительного Угла от нектоРа ть лпц„. До вектоРа дьдлч ь Величина этого угла лежит в интервале (О, Зо).
Палее, рассмотрим сумму углов о„р+ о". Эта сумма равна величине положительного угла от дьрр лдлрр до тьер лтьррры Величина этого угла также лежит в интервале ~О, Зо). Поэтому р — Зо — Зо < (2р — 3)о < лр+ О+ О, откуда ! 2рп — фО < За. Подставляя в полученное неравенство значения для а и , получаем требуемое. Четвертый случай доказан. Доказательство закончено.
Глава 5 Квазиправильные границы, которые нельзя затянуть ни одним минимальным бинарным деревом В настоящем разделе мы построим сершо примеров квазиправнльных пугольнпков, вершины которых нельзя затянуть пп одним минимальным бинарным:1еревом. Сформулируем основп1по теорему пастоящеи главы. Пусть Р = (р,) правильный п-угольник, и г положительное пь ело, меньшее чем о/2, где о = т/и. Пусть в = (ьы..., ь„) произвольная последовательность из ш!.
Обозна шм через т; точку, полу генпуш из р, поворотом на угол в,2, и пусть ЛХ = 1гп„). Пусть Р' правищ,— ный и-ш ольник, составленный из середин дуг окружноктп 5 . на которые 1 ьшогоуг од вник Р ее делит...!егко доказывается следучощая лемма. Лемма 5.1 11нолсссиьоо Л~Х, построенное ьышгь яьлт"иься кьазипраоиль- ныж п-угольником, соотвстств1рои1и и правильно ну и-угольнику 1н. Определение.
Квгьзиправыльный многоугольник М, построенный выше, называется г-квазиправильны.н .нногоугольникои типа в. Теорема 5.1 Пусть з периодическая послсдоватсльносспь длины и = 101 с псриодол ( — 1, 1, 1, 1, — 1, — 1, 1. — 1, 1, — 1), и г произвольное полозкнтельное число, такое что о/4 < г ( о,12. Тогда нри А > 8 „кножество 112 275 276 Жадовый модуль Рис. 5.1: Пример квазиправильного 80-угольника, который нельзя затянуть ни одним минимальным бинарным деревом. вершин г-каазинрааиль ного пнугольника тина я нс затягивается ни одни.и мини,нальныж бинарным деревом.
Один из таких г-квазиправильпых 80-угольников изображен ня рис. 5.1. 1 ~Каловый модуль Пусть Р произвольный паркет из И11т имекяций минпмальнук~ реализацию па множестве М вершин выпуклого многоу~ ольника. Обозначим через с)Р) длину наибольшего жала паркета Р. Положим д(Л1) = пппс(1г). и Е:ели ни один такой паркет не имеет минимальной реализации на множестве Л|, то положим ((М) =:ю. Определенное так С(М) называется акалоьыж .иодулг.и инозксстаа М. Пусть теперь ни один паркет из ИгЩ, имеющий концевые наросты, нс обладает минимальной реализацией на множестве М.
Пусть б7(сп) наростовос число вершины т Е М. Определим наростоаас число с (Л1) лноэксстаа Л1 как миниму- л наростовых чисел б(т) всех вершин ш из М. Далее, пусть Т(т) число поворота вершины т Е М. Определим число ноаорота 7'(Л1) .,яноаксстаа М как минимум чисел поворота Т(т) по всем вершинам ш Е М. Наконеп, пусть а, (р) нижнее боковинное число типа (~,, 1) множества М, соответствующее углу 1а. Положим а(М) = пипа; ( —,). 0,.0 ' 3 Назовем чис.ю а(гМ) глаеныж бокоетииии числоя „нножьттьа Л1.
Имеет место следующий результат. Жвловый модуль 277 Предложонио 5.1 1111сгпь Л7,янолсество веринш произвольного выпуклоео п-угольника, такого что ни один паркет из И7~~ с концевьнии нароста.на нс и ивет .,нининальной рсализсьции на М. Тогда лсаловый модуль,с[Л1) л~ноэксства Л7 оценивается снизу следцготци„н образо.я: б[Л7) > ппп(С[Л7), Т[Л7) — 2, и — 2, 2[ ] — 1[. Доказательство. Пусть Р паркет из ЬЩ имеющий минимальную реализацию на ЛХ, такой что ц[12) = б[Л1).
!!о условию предложения, Р нс имеет концевых наростов. Пусть Т жало из Р, длина которого равна б[Р). Обозначим через У и Е соответственно концевую змею и концевой линейный участок паркета Р, содсрлсщцис Т. Наконец, обозначим ьсрез р правую часть доказываемого неравенства. Предположим, что на концевой змее У имеется нарост. Тогда, в силу следствия 4.6 главы 4, длина жала Т больше или равна С'[Л7). Поэтому в этом случае 6[Л4) ) С[Л7) ) р.
Пусть теперь на концевой змее гц наростов нет. Предположим сначала, что концевой линейный участок Е имеет излом. Тогда, в силу следствия 4. !О главы 4, длина конпсвой змеи 7о совпадающая в этом случае с длиной жала Т, больше изпл равна Т(М) — 2. Поэтому в этом случае 4[Л7) > 7'[М) — 2 > р. Пусть теперь концевой линейный участок Е нс имеет излома. Если Р линейный паркет, то, в силу сделанных предположений, Р является змеей, поэтому в этом случае длина жала '1 совпадает с количеством ячеек в И и равна и — 2. !аким образом, в этом случае 4[Л7) > и — 2 > р.
Пусть теперь Р нелинейный паркет. В слс,таиных предло,зожсниях участок Е не имеет излома и нс содержит наростов, т.с. совпадает со своим жалом. Если какой-нибудь другой концевой линейный участок паркета Р не является змеей как линейный участок, то к нему применимы предыдущие рассуждения, и длина его жала оцешлвается как и вылив. Так как .кало концевого линейного участка Е, по предло.южснию, самос длинное, мы снова получаем для него одну из предыдущих оценок. Таким образом, без ограничения обпшости можно пре7!пола! ать, что все концевые липейные участки паркета 12 в рассматриваемом случае являются змеями как линейные участки. Обозначим через Е' и Ев такпс концевые линейныс участки паркета Р, которые примыкают к одной и той жс я тсйке ветвления [очевидно, что такие всегда есть).
Обозначим через В их общую боковину. '1огда, в силу следствия 4.22 главы 4, длина 6 боковины В не меньше чем а[Л7). Без ограничения общности, предположим ьто длина боковины И' участка Е', содержащейся в В, нс меньше, чем длина боковины участка Е", содержащейся в В. Тогда, очевидно, длина 6' боковины В' болыпс или равна [[6+ 1)/2), поэтому длина участка Е' болыпе ялн рати 2[[6+ !)72) — 1. '!ак как жало 278 Жвловый модуль участка Е, по предположению, самое длинное, то и его длина болыпе или равна чем [6 + 1] , [а(ЛХ) + 1] Предложение доказано.
Из полученных выше оценок на паростовые числа, числа поворота и длины боковин в случае правильных и квазиправильпых п-угольников, вытекают следующие резу.п,таты. Следствие 5.1 Пусть ЛХ .яноассство вершин прис ильного и-угольника, и > 12. Тогда эя аловмй модуль С(ЛХ),мнолссства Л1 оценивается сниму с адуюьци.и образом: ДМ) > 2[ — ]. Доказательство. Для случая правильного и-угольника рассуждения, привезенные в доказательстве предложения 5.1, можно усилить. А именно, вычисляя длину концевого линейного участка Е' по длине его боковины Ь', можно рассмотреть следукяпие два случая. Если угол мелсду участками Е' и Ен равен я/3, то, на самом деле, длина участка Е' оольшс или равна 26', откуда длина участка Е' оценивается сниз1 как [а1ЛХ) + 1] С другой стороны, при и > 12 для правильного и;угольника нижние боковипные числа а„.,(ьс) строго оольше чем а;,(яХЗ), если р = дяХЗ.
д = 2, 3, 4. 5. Позтому, если угол р меж,лу Е' и Еи больше чем я13, то снова, как легко видеть, длина участка Е' оценивается снизу как а(ЛХ) + 1] [ 2 Таким образом, (~ЛХ) >ппп) [ — ] — 2, 2[ — ] — 4, и,— 2, 2[ — [ — ]] = 2[ — ]) =2[ — ] Доказательство закончено. Следствие. 5.2 Пусть М .ннолсество вершин нвазиправильпсг» и-угольника, и > 18. Тогда лсаловыи' модуль с(ЛХ) мнолссства ЛХ оцснивиспься снизу следующим образо я: ((ЛХ) > 2[", Доказательство теоремы Гь1 Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
