Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 60
Текст из файла (страница 60)
+ 1 — 2д<Е) ~ ) ~~)„+,у,, +1 — 2дЮ~ ~1,, +у, +2 — 2с1<11)] 3 (~1ь+уь+2 — 2д~Е)~ ~1++у, +4 — И(Е)~) Следствие 4.14 Пусть, в предпололссниях предложения .п1о, .анонсов~ива 111 ото правнльныа п-увольняя, и н > 12. Тогда таблицы оценки длины концевой з.неи, лвости и боковни лвоста выелядяш тан. Тсометрня концевых линейных участков Оценки на длину концевой змеи для правильного и-уьольнцка ;3'иа боковине поворота ьх' нс па боковине поворота ' 1'пп излома и 2 Уфб4Я~ 3 12 » тзт6г1 и) — 2 — 2 -66-661ь) п — 3 ьел)н) 3 !2 2,4 2 Оценки на дтину подчиненной боковины Л-хвоста в случае правильного п-угольника. Оценка п и+~бф6~~~.'~ п пп-63)Б) и пн1646ЩБ) 3 12 ' 3 12 3 12 л пт13466)16) л п<-ЗГ66111) л пг13Г66116) ппп 3 12 ' 3 12 3 12 Следствие 4.15 В пуьдположсниях сясдстаия .1П и о нс записилости от класса посорота и располозя*ения переого нарос1па 2з', д:1ипа Л-хеоспьа пс .НЫ1ЬЩЕ ЧЕЛ [п~ [и+1о+ 18д(Е)~, [11~ [и+ 9~ Из следствий 4.12 и 4.
14 получается слсдуюнп1й полезный результат. Следствие 4.16 Пусп16 Т) паркета из )4/Р~, алеющий лиани.польную усаяизациго па праеилютл п-угольнике, и > 12. Пусть. для нскотороео разложения паркета 0 на скеяет и наротпы, япейьа Л яеляетпя концевой. Пусть Ь-конец Е ил1ссп1 изло.я. Тогда бокоьипа1 поаоуота. 23-хьоста нс .пеньще чем ')п)",1] — 1 — Й)Е), а подчиненная бокоьипа Ь-хеос1па не женьще чсл ~п + б+ 1)Н(Е)~ Б 12 Следствие 4.17 Пустхч 6 предположениях прсдлозь ения 4П2, лножсстео ЛХ зто кеозапраоильный п-угольник, и и > 18. Тогда 1паблиць1 оценки длипь1 копцсаой з„пои, хеогта и бокоапн хвоста сыглядят таь. Геометрия концевых линейных участков Оценки на длину концевой змеи для квазиправильного п-угольника гл'не на боковине поворота Л'на боковине поворота Тип излома ~~~~в-1-В ЦЕ в-1-1Ь-ЬВЛ Е1 12 п х1ьтвл1е1 Опенки иа длину хвоста для квазшцзавильного п-угольника.
гл'не на боковине поворота хь'на боковине поворота Тип излома в — 241ВВ1Е1 .1-звьзз1е1 в з 12 12 п-~-1 5-11ВВ Е1 в — З-11ВЛ(Е1 и з 12 12 з Следствие 4.18 В пугдпололсениях следствия ~~.11, в нс зависи.ности от класса поворота и располозксния первого нароглпа Л', длина концегой Л,1меи пе .меньше че.м ,[г1 [и+18+ бд(Е)~,, [п~, [и+9~ а длина Гл-хвоста нс .меньше 1ем , [п~ [и+ 1о+ 184(хь)~, [г1~ [и+ 9~ Слодствио 4.19 Пусть Р паркеп1 из И'Р~, имыощий мттмияьнут реа11изацию на квазипрааильно.н п-уеолштте, и ) 18. Пусть, для некотороео роз.1олсения парктпа Р на скелет и нарос1пы, ячеика сь является концевой.
Пугть гл-конец гд имсгт и1лом. Тогда боковина поворота Ь-хвоста Геометрия концевых лллнейных участков 2б> ие жеиюие чеж спХ2) — 2 — сХ(Е), а под шившая боковина лыльоста ие .кеиьше сеж [п~ [и+ос!(ГГ)~ 3.4 Взаимное расположение концевых линейных участков ПУсть Г) пРоизвольный паРкет из И)Х>а, и Г) = .с>' Н !лл,) некотоРое его разложение на скелет и наросты: сьл и Лз концевые ячейки скелета :>', и Е„л = 1,2, Ь;конеп паркета Ек Предположим, что на коипевых линейных участках Ел и Ез нет концевых наростов. Обозначим через У; конт>евые змеи концевых линейных участков К, и назовем положительный угол от ишлравлення каневой змеи гб> к направлению концевой змеи Яз (нано>лним, что концевые змеи ориентируются к своим концевым ячейкам) угла„и от концевого линейного участка Ес ь кониеаоиу линейно ау с)час>пну Ез.
Отметим, что ул ол и лл!лини>ласт лишь значения вида с)клсЗ, д = 1,..., 5. Г!алое, пусть, как и выше, М произвольный выпуклый п-угольник, и ),лп,),":в последовательные его вершины при обхо>!е ХрХ против часовой стрелки, занумсровалшыс элементами из б>п. Пусть паркет Х) имеет минимальную реализацию Г па ЛХ, такую что точки ть и т„из ЛХ являются концевыми вершинами, соответствующими концевым ячейкам ьх> и лаз. Пусть >л кон>лес>ая ячейка скелета о', и предположим что на Л-конце Г', нет конпевых наростсп>.
Пусть е~ конпевое ребро ячейки Ь, а ез отличное от ел л раничнос ребро из сл. Ориентирусм оба отрезка ел и сз от их общей вершины. Пара (ез, в>) образует некоторый репер иа плоскости. Определим иис)скс калиевого линейного учашпка Е равным 1, если репер (ез, сл) поло кнтслсн, и равным 2 в противном случае. 11ндекс концевого линейного участка Е обозна лим >срез !пс! Е. Пусть тр произвольная вершина иэ ГУХ. Рассълотрллм вертикальный угол, порожденный пряьлы>си тр>прел и тр ~ плей> и содержащий ус ол лпртрЕ>тр л, и перенесем его трансляцией на вектор трЕ>лп в вершину т,.
Полученный в результате вертикальный угол назовем угла,и наврав,и иий пссрвого пита в точке пг„и обозначим через 4 (тр). Г)алев, рассмотрим вертикальный угол, порожденнын прямыми >пртр > и тр лгслре> и содержащий угол плртр >трал, и перенесем ело трансляцией иа вектор спр лт в вершину лпр.
Полученный в результате вертикальный угол назовем угла,и направлений второго типа в точке пгр и обозначим через Аз (гпр ) . Будем говорить, что прямал лежсст внутри ве)>спикально о угла А, если она целиком лежит в А и пересекается с границей угла А в точности по вершине этого угла. Пусть Л" (тр) угол направлений 1-го типа точки т .
Заметим, что произвольная прямая Гй лежащая внутри угла А'(тр), является опорной пря- Геометрия концевых линейных участков 266 мой для многоугольника Л1, поэтому корректно определен вектор нормали Дг(1) к прямой 1, направленный в ту открытую полуплоскость, ограниченнукг 1, которая нс содержит всршпн из ЛХ. Ориснтирусм все прямые 1, лсжшцис в Лс1т„), задав па каждой иэ пих направление 1 так, чтобы пара гсйс1с1),1) образовывала положитсльньш репер. В дальнейшем всегда будем прсдполагатьв что вес прямые нз каждого Л'ггпгс) ориентированы таким образом. Имегот место следуюшие очевидные утверзкдения.
Предложение 4.13 Пусть паркет О имеет лини.нальную реализацию 1' на ЛХ, такую сто точка т из Л1 является когтевой всргиинойс соотвст; сот уюигей концевой ячейке сг концевого .,гинеиного учаспгка Е, на которол нет концеоьгх нароспгов. Тогда, если концевой линейный у:гасток Е и,.пест индекс г, иго сгрямсгя, сг1зоходяигая через с!с!грос!исса сети Г, соответствующий ячеике сл, пара,глеяьна некоторой прямой,,гезкащеи внутри угла напраь,и ний АС(пг„) . Предложение 4.14 11уаиь паркет П имеет,кинилальюгю рса ьизацию Г на ЛХ, пгакуо что точки ть и т, из Л1 являнппся концевьгми ве1зизггнали, соогпвстсспвующилш концс вым ячейкам сзг и слз концевых линейньгх участков Е! и Ез.
Пушггь Хг сгря.!соя, ггроходящая через отросток сспги Г, соответствующий ячейке сх,. Обозначим через Уг наорав. гения концессьмг сзс-ззгссй из Г. Орисюпируе.,и пряную Хс, выбрав на нс:й напраь,и:.нис- 1„ так, чтобь! парс! (,::г',, 1,) образок ыьала положительный репер. Нусгггь ср угол от концевого линейного участка Е! к концевому линейно.яу участку Ез.
Тогда ориентированная пряная 1г,кажет быть переведена в ориентированную пряную 1з конпозицией повороти в положительном направлении на угол р и исков!араго сдвига с сохранение и орисюпации. Следствие 4.20 В предположенавх предложения 1.Цс пусгиь г! и гз индексы концеьых линеззньщ учатиков Е! и Ез соответственно. 11усть Е двизкс нис гглоскости, переводящее точку тя а !почку тс и являющееся коипозицией поворота на угол ср в положительном направлении и иекогпоРого сдвига. Тогда всРтикальньге Углы 6(Асс(гггь)) и з!" (гггс.) с обгцей В«рщииай Хгсгггк) = Пг„ПСрСССКаЮтея ПО Виутреииаети. БОЛСС В!ага, Суигеспгвуют тати; прял!щей! из А" гть) и б из А" (гпс), чело отобрагкщше с переводит ориенгпироьаиную прямую 1! в ориентированную пряную Лз с созранениеи ориеюпагрли.
Ооозначим через а величину угла тспгяз !!пят!. Для каждого целого р, 1 ( р < п, определим д„равным величине положительного угла от вск! Ора 1 пь — спь.ь ! к векто1зу пггс !я гпььг-ь Определим теперь четверку множеств, отвсчакпцих за возможное распологксние концсво! о линейного участка Ез по отношению к концевому линейному участку Е!.
Геометрия концевых лььнейных участков 267 1. К множеству Й11(гпяо ф отнесем все такие точки тьж„, что ~р < ~Зр <;о+ оь + оь~, 2. К множеству й1 (гпьо ф отнесем вес такис точки тьвя, что :с — о <,'3 1 < у+о„. 3. К множеству Йз 1(гпьо 1о) отнесем нсе такие точки тнцю что :р — оь <,дг < 'р+оьвг 4. К множеству Йз з(гпь, ф отнесем все такие точки юьея, что 'г' оь оная < Вг — ~ < 'Р.
Определенные только-что множеспза назовем й-множества.ци. Отметим, что Й-множества определяются только геометрией множества ЛХ и величиной угла ~р. Предложение 4.15 В сделанных выше предположениях, если р это угол от концсвоео линейного учатпка Хс ь- концсво„иу лннейно ну участку Ез, на концевых линеиньсх участках нет концевыт.
наростов, и паргчип Хл и.нсшп,минимальную реализацию на ЛХ, пьокую нпо точки ту и т„из ЛХ являются кош1еььнни верилинони, соотьетствуютижи концевым ттиьаш Ь1 и сзз, а 1 = шс1Ес и у = пк1Ез, то пь принодлежисп нножссгпву Йц;(тн ыр]. Доказательство. Ото предложение доказывается абсолютно аналогично предложению 4.3. Далее, пусть:р = укХ3и тн произвольная вершина из ЛХ. В каждом й-множестве й,;(тя, ф выберем самую близкую от ть то ску А и самуьо далекую от гпя точку В при движении от пзн в положительном направлении. Коли ьество пройденных при таком двилсении точек из ХрХ в первом и во втором случае обозначим через а, з (спя, й) н б,л(гпя, р) соответственно. Положим: 6, ~(~о) = шах багз(ть Р); а,, (р) = ппп и,, (ть, р), и назовем о; (ф) и оь (~р) нижни,н и ьсрхниш боковинныжи число..ни типо. (ь, у) множества Л4, соответствующими углу ьс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
