Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Выбросим из многоугольника соззи ЛХ есть Г и рассмотрим замыкания полученных связных компонент, содержапзззе одну яз точек пз и пз'. Ясно, что имеется ровно три таких компоненты: один пяти- угольник, углы которого в вершинах т и т' в сумме зэавньз я, и два треугольника.
углы которых в всрпппшх т и т' строго лспыпе я~3, рис. 4Я. Доказательство закончено. 238 Концевые наросты Раас. 4.1: Пара коицсвых наростов Следствие 4.1 Прсдполож и и, чпао ашркегп Р из Игр~ иаеспа минимальную реализацию Г на .кножествс ЛХ вершин ьыпук.аого многоугольника, такого что сулла лаобых его даух последоаательных внутренних уг.тв или нс меньше 5кга3, или на: больше к. Хогда Р нс илееап концевых нсаростов. Следствие 4.2 Уаркегп Р из ИЯ, и.кеюаций манили„аьную реализацию на лножсспаас ЛХ всраиин п-угольника, ьсе углы когпорого равны лсжду собой, в частности, на правильная га-угольниае, при и > 12 нс и.аест концевых наростов. СлеДствие 4.3 ИУсть Р поРкет иэ Игрш аамеаощаай миатмильнУю Реализацию но.
многа еспаве вершин ЛХ вьтуклого .иногоугольника И', вписанного в окружность. 11редпо,.ложги,ааа что су.н„иа угловых вс,аичин оа, аз и оз любима трех пос.,аедовате.аьных сторон,кногоуго.аьника Их а1доьааетаворнет с,асдуюигс.аау соопаношбниав: оа + саз оэ+, < —, 2 — 3 па+аз и.ааа аз+, > аг. 7огда Р т: в.,веет концовых наростов. газ+ аа + ~ оа + саз па+ оз о+В 2 2 2 +, =, +2к — оа — аэ — оз = 2аг — оз— 2 Поэтому о+ В > бакааа3 или а+ ад < к.
Теперь утверждение вытекает иэ прсдлолаеиаая 4.1. Докаэатольство. Пус гь А и В две последовательные вершины миогоугольника И', оэ угловая величина стороны 21В, а аа и саэ угловые величины са оров мпогоуа альвика И', отличных от ЛХХ и пересекаюшихся с АВ. Обозначим через Е сумму угловых величии всех остальных сторон многоугольника И', а через о и В внутренние углы в 1И при верпгииах Л и В соответственно. Имеем: О концевых вершинах 239 31ежащее на окружности У множество М, состоящее из и точек, назовем коозиороьильным, если существует вписанный в о правильный гь угольник, такой что внутри каждой высекав лой им дуги окружности Ь лежит ровно одна то ~ка из Л1. Следствие 4.4 ГГусть ЛГ коазипраьильиьгй и-уеольник, и 19 паркет из РРРш иисшший на ЛХ .иинимальиую реализацию.
Тогда, если и > 18, то Гз не имеет концеоыл нарастогс Доказательство. Воспользуемся следствием 4.3. Пусть о = к/гь Тогда, в обозначениях следствия 4.3, иллеем: 0<о" <4о. 4о < о1+е +аз < 8о, Поэтому, так как нз + (а~ + оз)/2 = оз/2 + 1а1 + оз + оз)/2, получаем а1 + оз 2а<о"„+ <бо, 2 и, так как, при и > 18 выполнено неравенство ба < к/3, то концевые наросты в этом случае отсутствуют. Следствие доказано. 2 О концевых вершинах ПУсть П пРоизвольный паРкст иэ Угрош нс имеющий концевых наРостов, и пусть Г некоторая минимальная реализация паркета П на множестве ЛГ вершин выпуклого многоугольника И'. Обозначим через Й концевую вершину сстп Г, соо гвстствующую некоторому концевому линейному участку У пэ Гз, а через т и т' соседние с й вершины многоугольника И'.
Предложение 4.2 В сдсланныл аьпиг предпололсеиилгб внутренний угол лтогоугольника И' при гаршине й меньше л. Полее того, углы треугольника йтт' иро аеришнаг т и т' меньше 2к/3. Доказательство. Пусть ть концевая ячейка паркета П, соответствующая концевой вершние й сети Г, и Ь' единственная ячеика из П, смежная с ьь. Обозначим через ь и ь' точки Штсйнера сети Г, соответствующие ть и Л', см. рнс.
4.2. Для определенности, будем считать, гго верпплпа л соседняя с т, а вершина л' соседняя с ги'. Так как в треугольнике 1ггт угол при вершине а равен 2к/3, то угол ткг меньше к/3. Так как в четырехугольнике клл'т' углы при вершинах л и а' равны 2п/3, то угол гйт' меныпе 2кГ3. Полому туту = гнул+ луги', что я доказывает первое. утвсрькденис предложения. Докажем теперь второе утверждение. Ясно, что отрезки нь' и тт' пересекаются в некоторой точке р.
Рассмотрим два четырехугольника: Геометрия концевых линейных участков 240 Рис. 4.2: Концевая вершина йарт и клут'. Так как в первом из них угол при вершине я равен 1к/3, то сумма оставшихся его углов равна 2к/3, поэтому угол йеига' меньше че л 2к(3. Во втором чстырехуголыеикс угол при вершине л равен 2к/3, а при вершине р больше чем 2к/3. Поэтому угол тги'й меньше чем 2к~З. Доказательство закончено. Следствие 4.5 В сделанных аише иредлолоясеииях, если уеол а конисьой асртиис й раасн я, пш иа коиасаож линейно,к у чистке У и,веется кот!свой нарост. 3 Геометрия концевых линейных участков Пусть Р произвольныя паркет из И7ш н Р = Е 0 (Л,) некоторое его разложение на скелет и наросты. Пусть Л произвольная концевая ячейка паркета О. В дальнейшем, для удобства, концевой линейный участок скелета Е, содержаший ячейку Ь, будем называть хх-концом.
Назовем гх-зжссй )связный) подпаркет в б', содсржшцпй Ь и такой, что его пересечение с осью скелета 5' является отрезком прямой. Максимальная Ь-змея называется коиисаой Л-з„маей паркета Р, а подпаркет в Р, состоящий из концевой хх-змеи и всех наростов из Р, которые к ней ар< пятен, называется Л-хеостоа паркета Р. Максимальная Ь-змея, на которую не крепится нп одного нароста паркета Р, называется Л-:ж:алом. Ясно, что у паркета без концевых наростов длина каждого жела не меньше 2, а у паркета с парой концевых наростов хх и хх' длина Л-жала равна длине Гз'-жала н равна Е Пусть Е концевой линейный участок из Р, содержашнй Л.
Если концевой линейный участок Е нс является змеей (как линейный участок), то будем говорить, что концевой линейный участок Е иясст излои или иоеорачиааст, и ячейку участка Е, смежную с концевой хх-змеей и нс принадлежашую этой змее, назовем ячейкой поворота. Если Г минимальная реализация паркета Р, и ь точка Штайнера из Г, соответствующая Геометрия концевых лттнейных участков 241 ячейке поворота участка Е, то отросток скелета тл (рассматриваемого как подсеть в Г), инцидеитиый вертпине г, а также соответствующее грани шое ребро скелета Я, назовем ребром поворота концевого линейного Пчислттки Е селии Г и тторкщиа П сооптетствеино.
В настоящем параграфе мы оценим наименьшую возможную длину каждого т'.т-жала и тк-хвоста паркета В, итлеюшего ииттимальттуто рсалиэапию на некотором выпуклом многоугольнике, исходя иэ геометрии этого многоугольника. Кроме того, мы изучим вэаимиое расиоложение,твух различных концевых линейных участков.
Так как для рассматриваемых нами приложений правильных и квээиправильпых п-угольттиков, начиная с и >! 2 в правильном случае и начиная с и > 18 в кваэиправильпом случае, концевых наростов бьгть не может, мы всюду яиже будем предполагать, что паркет Тт не имеет концевых наростов. Итак, пусть концевых наростов пет. Х1ы начнем с оценки плицы жала концевой змеи в предположении, что либо на концевой энес имеются наросты, либо нтт конттевой эмсл: на1тостттв ил т, но лоотвстствукттттий концевон линейный участок имеет излом. 3.1 Длина жала: на концевой змее есть наросты Пусть П проиэвольный паркет тлэ И1Ц, и П = ЯН(Ь„) некоторое его раэложенис на скелет и наросты. Пусть тх концсвая ячейка скелета,'э', и предположим что па хх-коттттс гб нет концевых наростов, а на концевой тх-змее наросты есть.
Обозначим через тх' ближайшитл к тл нарост иэ хххвоста паркета Х). Пусть й концевое ребро ячейки тх, а с отличнос от й граничное ребро иэ тл. Ориентируем оба отрезка е и к от их обшей вершины. Пара (е, й) образует некоторый репер на плоскости. Определим твин Л-яеосттла равным 1, 2, 3 или 1 в соответствие с номером одной иэ следующих четырех возможностей, см.
также рис. 1.3. 1. Репер (е, к) ориентирован положительно, и нарост Л' расположен на боковине концевой Л-эхлстт Я, нс содерхлатисй ребро е. 2. Репер (е, й) ориентирован положительно, н нарост Ь' расположен на боковине концевой хх-эхтси У, содержащей ребро е. 3. Репер (е,/:) ориентирован отрицательно, и нарост тл' расположен на боковине концевой тх-эметт У, не содержащей ребро е.
4. Репер (е, 1) ориентирован отрицательно, и нарост хх' расположен на боковине концевой т.'т-эметл У, содержащей ребро е. Пусть АХ произвольный выпуклый и-угольник. и (тп,),": последовательные его всртнины при обходе тИ, скажем. против часовой стрелки, Для удобства будем считать, что индексы л вершин гвл это элементы иэ циклической группы порядка и,, т.с. иэ 7'о. Рассмотрим проиэвольнуто Геометрия концевых линейных участков 242 Рис.
'1.3: Типы хвостов вершину тг мног оу! ольника М. Пусть паркет Р имеет минимл.п,пую реализацию Г на 34, такую что точка тд Е М является концевой вершиной, соответствующей концевой ячейке од из Р. Так как, по предположению, па концевом линейном участке Е паркета Р, содержашем ячейку од, нет концевых наростов, из предложения 4.2 вытекает, что внутренний угол многоугольника М в вершине тй меньше !г. Обозначим через Ожа! величину угла !пятя.ь!гпдтг. Для каждого целого р, 1 < р ( и, определим,од равным величине положительного угла между НаПРаВЛЕНИЯМИ ВСКтОРОВ тд !тда! И тьер 1!Пгар, И ДЛЯ ЦГЛОГО д, ! < д < и, ПОЛО КИЛ1 !г! РаВНЫЛ1 Вг ЛИЧННГ ОГ ПГШа1С!ЬНО!О!1 Ча И1СЖДУ Нан!ЗаВЛСНИЯМИ векторов тла!тд ! и !Нд чл.!Игд гг ясно, что д! и !! Не равны нулю, так как угол при вершине !пд меньше и.
Кроме того, обе последовательности (!)д) и ( !л) монотонно возрастают (нс обязательно строго). При этом, так как ра ол 2д — ог 1, а й, = 2д — гзь.ьг, н, по предложению 4.2, у!лы аьа! меньше 2нгг3, имеем: Д„) 4дгг3, и бп > 4дгг3. Определи л теперь !створку чисел, отвечаю!цих за возможную длину о'.1-жала в зависимости от типа гд-хвоста. 1. Пусть дс — зто такое первое д, что иг!3 — пел! ( г, < 2я)3. Положим дт(т1.) = 2дс — 3. 2. Пусть рс зто такое первое р, что к/3 < 3р < 2ягг3+ ада!. Положим д, (ть) = 2рп — 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
