Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 53
Текст из файла (страница 53)
р > 4, о,„= лг)29, (21, !+2!р — Х),— 2+2!. !+2!р — !),21,— !+2!р — !)), (бс): 3 < ! < р — 1, р > 4, сг лл = лг)29, '121, 1+ 2!р — Х), — 3+ 21, 3+ 2!р — 1), — 2+ 21, 21р — ')), !сбг!)г 2 < ! < р — 2, р > 4, о „= я,!29, (! + 21, 2!р — Х), — 2 + 2!. 2 + 2!р — !), — 1 + 21, — ! + 2!р — 1)), !бе): 2 < ! < р — 2, Хл > 4 о„ы, = и) 29 '11 + 21, 2(р — Х), — 1 + 21,2(р — !), 1 + 2!. — 2 + 2[р — !)), !3Х)г л + ! < 1 < р — 2, О < г < р — 3, р > 3, о„„е = т'(23, (! + 21, — ! + 2(р — !), 2~! — л), 2!р — !), 2(! — л), — ! + 2(р — !)) .
з!ля завершения доказательства основной теоремы 3.1, применим предложение 3.10. 2г1ля этого сначала фиксируем положение возможной ИЛХ- реализации Г скелета Я, а именно, будем считать, что концевая вершина концевого линейного участка тя совпа,лает с 1 !хлля отоисдествляем точки плоскости Р и соотвстствуюшис комплексныс числа). Кроме того, без ограничения общности будем считать, что конпевые липея яьге участки Ул, Яз, ..., Уе встречаются последовательно при обходе границы дд скелета Я в положительном направлении (т.с. против часовой стрелки).
и вершины правильного и-угольника ЛХ, вписанного, как всегда, в единичную окру.кность д с центром в нуле, упорядочены в соответствии с положительным обходом окружности,з'~; при этом, естественно, граничное отображение дС: гдо' — л ЛХ, ллорождсннос ХХ.!Х-!эсализацисй Г, счллтается уважающим ввеленные поря,лки на до и М. Далее, для каждого из скелетов, описанных в предложении 3.26, построим остов М' мнолксства ЛХ, заменив, для каждого концевого линейного участка Ую вершины из ЛХ, затянутьн его реализацией, на главную вершину ХХ(Уг) этого конпевого линейного участка.
Координаты вершин Н(л!) приведены в следующем списке: Н ! у ) — 3 Лог л-ь. л-ь ) и ( ! + Х вЂ” 1 !где"; ю гд) О(У,) — Е ЗГГЛг гй!е (! ! Х СЛГхляггзе!) Сколоты с шестью концевыми линсйными участками 229 Н((в ) — 27Ь, о (1 + 1 — 7 Гв(ббвво() Н(оо ) 1 + 1 — 7 à — /Ь-бввввГ Н( в ) 27бв о (1 + 1 7 Гв~б~вво)) в((б -ЬЬП(о (1 1 — П ('6;- в 1) Здесь, как и выше, б длина боковины Н;, порожденной концсвымп ли- НсйНЫМН уЧаетКаМИ 727 И 727 Ь(, 67 ЧстНОСтЬ КОНПЕВОГО ЛИНЕЙНОГО уЧаотКЗ У7, а Г = 1(22), где Г!остронм теперь Н-допустимые углы с((727) конпевь(х линейных участков У . Еслц шу концевая всршина концевого линейного участка Уэь то направление стороны Н(т,)л27 угла о(97) обозначим через и, Направление другой стороны этого угла обозначим через л, . Ниже пр(лведен список направлспий сторон Н-допустимых углов для вссх концовых линейных участков интересу(ошнх нас скелетов.
ЛЗ = п(— 772 л, и — (.' "лз — 72.( — е ' пз — 72 (' Далее, воспользовавшись а.ш оритмом Мелзака (см. главу 1), вычислим направлсния всех линий Симпсона, соответствующих граничным рсбрам минимальной рса.пыапии остова Я' на остовс ЛХ'. Положим, для краткости, Н, = Н(вб(). Если Н не содсржит перегородки, то вы (ислим лини(о Симпсона Н( У(, соответствуя(шукб граничному ребру, инцндентному главной вершине Н( концсвого линейного участка вб(. Легко нидеть, что точка Н( вможст быть выражена чсрсз главные вершины Н остальных концовых линейных участков 727 так: Положим 6( равным вектору Н( П(", т.е.
6( = Н( — Н(. Пусть теперь скелет Н содержит псрсгородку 1 длины л. Ориентируеьв перегородку й от узла ветвления, псресскающсгося с участком 22(, и пусть и( 77 27 пз = ПЬ = пь = — 2 7 (бв ббв6(п( о — 7 (вв ов;в(ЗГ 6-2 'Гбв-'-бвГ 6-((ввоч-в~61 — 2 7 ьв о — в' (в во(- с(61 — с — в (вво-бл,(79 27Ьв в-бв (вво-бв(6( ,2 7 Гбвббв( о — ( Гвв 776-в( 6( — Е7 вл( — С Лв Нв (в(ЗН + (в(ЗН + Н (в(ЗН (в(ЗН 7 — Е Скелеты с шестью концевыми линейными участками 230 гпь и пг1 вершины в-угольника Л1, в которые приходят первый и второй отростки реализации перегородки 1,. Непосредственно вычисляется, что 1ПЬ= С вЂ” 2~16 488 — 10 41021 — 11 а И П18 =С 2 $1884-8» — [08411/2] — 11 8 Применим алгоритм Мслзака к главным вершинам Н1, Н и Не, заменив их на одну то 1ку Нзш. Аналоги шо, применяя алгоритм Мслзака к главным вершинам Нз, Н,1 и Пз.
Получим точку У343..'1егко вь1числи ьь координаты этих точек: Нзш = П1 — 1' 13112+ е"11ПР и Н843 = е'™Нз+ Н4 — Р' 1 Не. Далее, примени л алгорит.1 Мслзака к точке Н218 и вершинам из 201, эатянутьы4 реализацией перегородки Г,. Полученнук1 точку обозна 1им через Н. Пепосредственныс вычисления показывают, что У= Н + — 218/3 (1+ 21а+ 41а + ) + 1813 (1+ — 2еа + — 4на + л штук л штук (Р— 2шг 1) (Р' ~ ., 1) Положим 81 равным вектору НН343, т.е. 81 = Н843 — И. 21сгко видеть, что в обоих случаях вектор 81 равен вектору, соелиня1ошсму на 1альную то 1ку линии ( импсона, соответствующей вершине Н1, с коне"шой точкой этой линии Симпсона. Кроме того, все ос гамп,ные линии Сиъ1псона, соответствующие вершинам Н,, аналогичным образов порождают вектора 8,, связанные с 81 так: И 83=8 1= 8. — 18/3 82 = Е ' ' 81 = 81, 81 = — 81, 218/3 Определим теперь функпии )1 и )'", равные векторным произведениям между 8 и векторами н.
и и," соответственно, таким что положительность обоих этих функций является критерием того, что линия Симпсона, соответствующая 1лавной вершине Нэ, направлена внутрь Н-допустимо1 о угла о(У, ) концевого линейного участка 21 (именно э Ро требуется в предложении 3.10 как необходимое условие существования ЯМ-реализации скелета Н). Обозначим через 1ес(п, 6) векторное произвеление векторов а и Ъ, точнее, ориентированную плошадь параллелограмма, натянутого на вектора а и 6, и выпишем определения функций д1 и 2 Н. 11 = кес(П1, 81), (~~ — 1ес(81, Па1), = УСС(82, Пз), уз — 1еС1,П„, 82), 13 1ПЕС(нз. 83).
13а: 1'РС(83. П1), 14 — 1РС(П4 81), '24 — 1РГ(84 П4) (8 = 1ЕС(83, Пз), Я = 1СС(пз',88), „ге = 1РС(пе, 88), ге = кес(48, П„-). Скелеты с шестью концевыми линейными участками 231 [Оа): «о = б соя[а — х/3] — 2Лсов[а] яш[л/5+ 2гх!]; [ОЬ): «; = 3 — 2./3 соя[а] в!и[а+ я/3+ 2а!]: при г= 1, 1/2+ сов[а — л /3] + 4х/5 сов[2а/3 — -/3]* соя[2а/3+ к/3] гйи[а/3 — л/3 — 2сг!],: 1/2+ сов[а — х/3]+ 2[х/!5сов[4гг/3+ ол]+ сов[л/б+ ая])я сяс [а] вш[а/3] яш[а/3 — -/3 — 2гх! + ал]; !/2+ сов[о — г /3] — х/3 в1п[2а/3+ л/3+ 2аг]; ! /2 + сов [а — л/3] — х/3 3я и [8 а/3+ л /3 + 2а!],. 1/2+ соя[а — л/3] — 2[х/Зсов[4а/3+ ал]+ сов[к/6+ ал])* счс[а] в!п[а/3] я!п[2а/3+ г/3+ 2аà — ал]; 1/2 + сов [а — л/3] — 4 х/5 сов [2 а/3 — л/3] я сов[2а/3+ л/3] вш[2а/3+ гг/3 + 2гз!]: [1а): «[' = [1Ь): «в = [1~ ) «з [1г!): «з = [1'): «.~Я = [Н): «и = при с= 2, [2а): «[" = 2 сов[а — гг/3] — 4Лсоя[а/3 — л/3] сов[а/3+ я/3] вш[а/3+ л/3 + 2а!]; [2Ь): «яа = 1 + 4х/3 соя[2а/3 — я/5] сов[2а/3+ л/3] в!п[2а/3 — гг/3 — 2а!]; [2с): «з = 2 соя[с1 — гг/5]+ сяс[а] в4п[гз/5+ л/3+ 2а! — ая]я [2 в1п[а/3 + я/3] вш[аи] — х/3 в!и[а + ал]) [2г5): [з = 1+ свс[сг] вгп['1гх/3+ 7Г/3+ 2а! — ак]я [2 вш[а/3 + и/3] вш[агг] — х/3 гйп[а + ал]): [2е): «з = 2 сов[а — х/3] — 4хГЗ сов[2о/3 — л/3]я сов[2а/3+ х/3] ып[а/3+ л/3+ 2гг!]; [21): /1 = ! — 4х/Зсов[а/3 — г/3) сов[о/3+ я/3]вш[4а/3+ г/3+ 2аг]; приг =3, !'еперь мы должны вычислить эти фуша!ии для каждого из 28 слу- чаев из предложения 3.2б.
й!ьг про.!слали зту работу с помощьк> пакета Маг!1сгпяг!са для нескольких пробных значений в каждом из 28 случаев ...с,. и установили, что во всех случаях, за исключением [Оа), одна пз 12 функ- ций /) и «/ отрицательна прн всех допустимых значениях параметров. В случае .кс [Оа) имеется функция, которая отрицательна для всех допусти- мых значений параметров, за исключением кояечного числа их значений, что дает описанную в основном предложении конечную серию шестилапых.
Отметим, что значения всех этих функций были чрезвычайно громоздки, тем не менее, используя пакет 34айегпа!!са~-), цам удалось преобразовать каждую из них к достаточно компактному виду. Итак, приведем выраже- ния существенных для нас функций «г и «,". при с= О, Скелеты с шестью концевыми линейными участками (За): Гг — Зээ2 + 3 соя[о — яггЗ] — 2",~3 соя[о] яш[лгэЗ+ 2о1); (ЗЬ): Гэ~ — — Згэ2+ 3 соя[о — л~З] — 2эггЗ соя[о] яш[о+ лггЗ+ 2а1]: при э ='1, (4а): Гя — 2 соя[о — лгэЗ] + 2(эгг3 соя [4оээЗ + от] + соя [лЭ6 + от]) я сяс[о] яш[огэЗ] яш[гг,ГЗ вЂ” л,ГЗ вЂ” 2гэХ + ол]; ( 1Ь): Гз = 1 — Ля1п[2о/3+ лггЗ+ 2М]: (1с): Г[Я вЂ” — 2 соя[о — л ГЗ] + 4н 3 соя[2гэ э3 — лгэ3]а соя[2оГЗ+ лээЗ] я!в[о,ГЗ вЂ” л,ГЗ вЂ” 2о1]; (4г1): Гг~ — 1 — 4Лсоя[2о13 — лгэЗ] соя[2огэЗ+ .гэгЗ] я1п[2огэЗ+ я~3+ 2оз]; (4е): Гз — 2 соя[о — лээЗ] — эггЗ я1ээ[5о,эЗ+ л,ГЗ + 2о1]: (1Г): Д = 1 — 2 сяс[о] яш[гэээЗ](Л соя[!о/3+ ол] + я1п[лээЗ вЂ” оя]) я я1п[2оггЗ+ л эгЗ+ 2ое — гэя].
при с= 5, (5а): )з = 1ээ2+ соя[о — тгээЗ]+ сне[о] яш[гэ,гЗ+ тг13+ 2о! — оя]* (2 яш[огэЗ + л гЗ] яш[ол] — Лейн[о+ ои]): (5Ь): Гг" — 1гэ2+ сов[о — ЯээЗ] — 4ЛЗсоа[огэЗ вЂ” Я]3]Я соя[о,гЗ+ лгэЗ] я1п[гэгэЗ+ лгэЗ+ 2о1]: (5с): Гя = 1гг2+ соя[о — лггЗ] + 4Лсоя[2оггЗ вЂ” л ээЗ]я соя[2гэ,гЗ+ л,ГЗ] я1п[2о гэЗ вЂ” л,ГЗ вЂ” 2о1]; (56): Гз — — 1гэ2+ соя[о — лггЗ] — 4ЛЗсоя[2оээЗ вЂ” лгэЗ]я соя[2оггЗ+ лээЗ] я1п[оээ3+ яээЗ+ 2о1], (5с): Гэ" — !гг2+ соя[о — лггЗ] — 4ЛЗсоя[оггЗ вЂ” лээЗ]я соя[гэ,гЗ+ лээЗ] я1п[4гэггЗ+ лээЗ+ 2гэ1]: (5Г): Гз = 1г2+ соя[о — лггЗ] + сьт[сэ] я1п[4огэЗ+ лгЗ+ 2о1 — ои]я (2 вш[о ээЗ -1- ягэ3] яэп [оя] — Л гйп [гэ + оя]) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
