Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 54
Текст из файла (страница 54)
'!тобы заверггплть доказательство основной теоремы 3.1, мы опепим зти функции сверху. Пусть Г соответствующая функция Гэ или )~, приведенная в только что рассмотренной таблице для текущего случая. '1огда, как.эегко заметить, функция Г имеет вил А(о)+ В(а) я1п[1ггхггЗт(лгэЗ+2о1)] для скелетов Я бсэ перегородки. и А(о) + В(о, я) вш[яг'сэээЗ ~ (лггЗ+ 2а1 — оя)] для скелетов с перегородкой, пде й равно 1, 2, 3, 4 или 5.
В силу перавснств пз предложения 3.26, ограничивающих область изменения параметров, можно найти значение выражений йгхгэЗ х (лгэЗ+ 2о1) и йгэгэЗ х (лГЗ+ 2о! — оя) на концах отрезка изменения параметра 1, а также середину шЫ этого отрсзка. Оказывается, шЫ имеет вид хлгг2 х г1оэг2, где гГ может равняться х! или О, см. ниже.
Последнее позволист найти, при каких значениях 1 функции А(о)+ В(о) я1п[йгэгЗт (яэгЗ+2о1)] и А(о)+ 0(о, я) яш[Уггээ Ззг: (лэгЗэ+ 2о1 — ол)] принимают свои наимсныпис и наибольшие значения. гг(алсс, учитывая знак функций В(о) и В(о, л;), мы напишем оценку сверху на функцию Г, подставляя соответствующие значения 1. Оказывается, во всех Сколоты с шестью концевыми линсйными участками рассматривасмых случаях значение то парах!стра т, дающее оценку свсрху на функцию /, совпядаст с одним и! концовых лиясйцых учао скоп стра!на измснсния параметра Ь Приводом соотвстствующие рсзульгаты. р — 2 я+2 р — 2 ! р — 2 2 то— 2 1т — 1 2 р — 2 л+1 !аким образом, функция / может быть оценена сверху функцией р = /[г=гл.
Приводом список функций р для всех рассматриваемых случасв. [Оа): 6 сов[а — л/3] — 2х/3 сов[а] вш[4а+ л/3]; [ОЬ): 3 — 2х/3 сов[а] вш[бс! + тг/3]; [1а): 1/2+ сов[а — тг/3]— 4х/3 сов[2а/3 — н/3] сов[2а/3+ л/3] вш[14а/3+ л/3]: [1Ь): 1/2+ сов[а — л/3] — 2 [ Дсов[4а/3+ ал] + сов[я/6+ ал]) в свс[а] сйп[а/3] в!в[! !а/3+ тг/3+ ая]; [!с): !/2+ сов[а — л/3] — ъ/3 в!в[!!ат'3+ тг/3]; (И): 1/2+ сов[а — тг/3] — х/3 гйп[11а/3+ л/3]; [Оа): шЫ = [ОЬ): птЫ = [1а): шЫ = [1Ь): шЫ = [!с): тпЫ = [16): шЫ = [!е): шЫ = [П): тЫ = [2а): шЫ = [2Ь]: птЫ = [2с): тпЫ = (2г1): птЫ = [2е): гпЫ = [2!): шЫ = [За): шЫ = [ЗЬ): шЫ = [4а): ппс! = [4Ь): ппг! = [4с): ппг1 = [4г1) гг!Ы = [4е): пзтЫ = [4!): шЫ = (гт )' [5Ь): шк1 = [йс): ппй = [Ы): п,Ы= [бе): ппг1 = [61): шЫ = л./2, !о = 2 тг/2, !о = 2 — /2 — а/2, 10 — тг/2 + а/2, то л/2+ а/2, !г! = тг/2 — а/2, !о л/2+ а/2, то /2- /2, л/2, то=2 — -/2, !о=3 тг/2, то — .г + 2 т./'2, !о = л+ я/2, !о=2 тг/2, то = 2 л/2 — а/2, тг/2 + сг/2, 1о — тг/2, !а = л + тг/2 !о = 2 — тг/2, !о = 3 тг/2, !о = 2 л/2, !о — 1 л/2, то = т:+2 л/2+ гт/2, то тг/2 — сг/2, ! о — тг/2 — а/2, !г! = л./2 — а/2, !о тг/2 + а/2, !!т я/2 — а/2, !о = Скелеты с шестью коняевыми линейными участками 234 (!с): 1/2+ сов[а — л/3] — 2(х/3сов[4а/3+ ав] + соя[я/6+ ав]) э сяс [а] вш[а/3] я!гт[1!а/3+ л /3 + а г]; (1Г): 1/2+с я[ —; /:!]- 4 Л сов [За /3 — тг/3] сов [2а/3+ я/3] вш [14а /3 + л/:!]; (2в): 2 сов[а — н/3] — 4Лсов[а/3 — л/3] сов[а/3+ тг/3] вш[13а/3+ л/3]; (2Ь): 1 — 4 Лсов[2а/3 — тг/3] сов[За/3+ н/3] вш[16а/3+ л/3], (2с): 2 сов[а — и/3] — 3 в!тт[13гт/3 + л/3]/2+ сов[13а/3+ л/3] сж [а] тОп[а/3] (! + 2Лв!п[2а/3])/2— сов[13а/3+ н/3+ 2жг] сне[о] вш[а/3] (1+ 2Лвш[2а/!])/2— Ляш[!Зст/3+ тг/3+ 2ов]/2; (2г1): 1 — Лвш[10а/3+ л/3]/2+ сов[10а/3+ я/3] свс[а] я!в[о/3] (! + 2Ляш[2а/3])/2— сов[10о/3+ л/3+ 2ав] свс[а] тОп[а/3] [! + 2~Де!п[2а/3])/2— х/3 в!п[! Оа/3+ тг/3+ 2ав]/2; (2с): 2 сов[а — л/3] — 4Лсов[2а/3 — я/3] соь[2а/3+ л/3] втп[13а/3+ я/3]; (21): ! — 4Л в[а/3 — /3] .
в[ /3+я/3] !п[И /3+ /3]; (Зв): 3/2+ 3 сов[а — т/3] — 2Лсов[о] яш[4а+ к/3] (ЗЬ); 3/2+ 3 сов[а — тг/:!] — 2Лсоя[а] в!н[4гт+ л/3]; (!.): Зс в[ —,/3] — 2(Ле в[! /3+ "]+с в[ /6+:]). свс[а] еЗп[а/3] вш[! ! о/3+ тг/3 + ов], (4Ь): 1 — л/3 вш[14а/3+ л/3]; (4с): 2 сов[а — л/3] — 4х/3 сов[2а/3 — л/3] сов[2о/3+ л/3] г5п[17а/3+ л/3]; (4г!): 1 — 4Лсов[2а/3 — л/3] соь[2а/3+ тг/3] вп1[1 !а/3+ л/3]; (4е): 2 соя[а — к/3] — Ляш[11о/3+ и/Ът]' (46): 1 — 2(Лсов[4а/3+ ат] + сов[л/6+ ав]) я сяс [а] я! п[гт/3] в1 и [14 а/3 + л/3 + аж] (5в): 1/2+ сов[а — тг/3] — (сов[! Оа/3 — тг/:!] + Лсов[8а/3 — т/6]+ сов [2гт(о + Зв)/3] + х/3 соя [я/6 — 2ст(2 + в)]) тес[о] в!п[а/3]; (5Ь): 1,т2+ сов[а — тг/3] — 1Лсов[а/3 — я/!] сов[а/3+ л/3] вш[13а/3+ я/3]; (5с): 1/2+ соя[а — л/3] — 4Лсоя[2а/3 — л/3] соя[2а/3+ к/3] вш[13а/3+ я/3] (Зг1): 1/2+ сов[о — я/3] — 4Лсов[2а/3 — л/3] сов[2а/3+ к/3] вш[1 5а/3+ л/3]; (5е): 1/2+ сов[о — тг/3] — 4Лсов[а/3 — т/3] соя[а/3+ тг/3] в!тт[13гт/3+ тг/3]; (51): 1/2+ соя[а — тг/3] — (сов[10а/3 — л/3] + Лсов[8а/3 — тг/6]+ сов[2а(5+ 3 г)/3]+ Лсов[тг/6 — 2а(2+ гтт)]) сяг[а] в!п[о/3].
Теперь, в тех случаях, где перегородки может присутствовать, нспо- Скелеты с шестью концевыми линейными участками 235 средственно проверяется, гто макси лвльное значение каждой из фупкцггй гл дости ается пря максимально возможном х. !!Одстав.!яя соо Гве Гствующсс значение я в выражение для функции !г, получим следующий список функций. [ ! Ь): 1/2 + соь [о — г/3]— 2 сов[о/2] (сов[25о/6 — г /3) + т/3 сов[17гг/6 — л/6]) сне[о] в!п[о/3]; [1е): 1/2+ сов[о — л/3]— 2 сов[о/2] (сов[2гбгг/6 — я/3] + т/3 сов[17а/6 — я/6]) сне[о] я п[о/3], [2с): 2 сов[о — гг/3]— 2(сов[13о/3 — я/3] + т/3 сов[1!о/3 — л/6]) свс[о] в!п[о/3]; [2с!): ! — 2 (сов[10п/3 — л/3] + т/3 сов[8о/3 — я/6]) свс[о] яп[о/3]; [4а): 2 сов[о — гг/3] — 2(сов[1!о/3 — т/3]+ л/3 сов[7о/3 — л/6]) свс[о] яп[о/3]; [47): 1 — 2(сов[!4п/3 — тг/3]+ т/33сов[10о/3 — л/6]) сне[о] яп[о/3]; [" ) 1/2+г. [ —,'1]— 2 сов [а/2] (сов [2 3 о/6 — я/3] + т/3 сов [19 о/6 — л/6]~ сьс [а] вш[о/3],' [5!): 1/2+ сов[о — гг/3]— 2 сов[о/2] (сов[23о/6 — я/3] + т/3 сов[19гг/6 — я/6]) сьс[о] вш[а/3].
Итак, мы оценили сверху фуггкцию /, зависящую от двух переменных о и Г для случая, когда перегородок нет, и от трех переменных о, ! и я в случае перегородок, через функпикг от одной переменной о. Для завершения доказательства основной теоремы 3.1, остаюсь непосредственно прогзеритчь что Лля всех случаев, отли шых от [Оа), каждая из полученных оценок отрипательна при всех о из полуинтервагга [О, гг,в,л], а в случае [Огл) зта оценка отрицательна при 0 < о < л/48. Для каждого из остальных допустимых о, а именно, для о, равных 24, 30, 36 и 42, непосредственным применением юп оритма Мелзака, убелгдаемся в существовании ровно одного, с точностью ло г:пмметрпи, скелета Я, имекппего ггг14-реаггизаггиггь Таким образом, случай [Оа) порождает, с точностью до изометрии, четыре локально минимальных бинарных дерева с правильной границей. Основггвя теорема 3.
! полностью доказана. Глава 4 Наросты и линейные участки минимальных сетеи с Выпуклыми границами В настоящей главе мы продолжаем исслеловапие минимальных овнарпых деревьев, затягиввтощих множества ЛХ вершин выпуклых мпогоугольникотт. 1!ля улобства изложения, мы обобщим некоторые понятия, вве,теяные в предыдущих главах для описания скелетов. Как было отмечено в главе 2, узлы ветвления опрсдслсны однозначно не только лля скелетов, но и лля пакетов общего вида. Пусть Л деревянный паркет.
Тогда связные компоненты паркета Р, из которого выброшсны узлы ветвления, назовем линейпыжи участники паркета Р. Вслп Р скелет, то лппейпыс участки такого паркета Р созна.тают с введенными в главе 2 линейными участками скелета Р. Пусть Р деревянный паркет, и Я произвольный его скелет. !'огда линейный участок паркета Р, содержащий концевой линейный участок скелета 1т', будем пазьптать кипиеаыи липеиныж йчисткои парнетпа Р.
Если для паркета Р выбран некоторый скелет В1, то линейный участок паркета Р ттазовстт зжссй, лестипипсй илп ломаной,твоей, если пересе тспис этого участка со скелетом ст' относится к соответствующему тяпу. В частности, еттли паркет 0 не т одержит капиевых наростов, то ет о скелет б! определен одиозна'шо.
поэтому предыдущее определение мы буде л применять к такому паркету Р, без апелляции к его скелету Я. Пусть Е конт!свой линейный участок паркета Р, н Ея капиевой линейный участок скелета .э" паркета Р, содержащийся в Е. Обозначим через 236 237 Концеззые наросты зх концевую ячейку копна Руя. Тогда участки Е и Хуя с отмеченной ячейкой сх будем нсюывать гл-зсоззцалт паркета В и скслета Я соответсзчзенпо. Мы приведем серию тонких оценок на возможныс расположения наростов и на формы линейных участков общих деревянных паркетов исходя из различных геометрических характеристик граничных множеств ЛХ.
Ота техническая глава булат использована в дальнейшем для построения бесконечной серия таких ззыпуклых граничных множеств, лежащих на окружности и не сильно отличающихся от вершин правильных многоугольников. для которых не существует ни одного минимального бинарного дерева, их затягившощзлх. Кроме того, мы обобзцзлм на произвольные паркеты из И7!~ предложение предыдущей главы, утверждающее. что конпсвыс линейныс участки скелетов, имеющих правильную ьзиззиьзялп,ную реа:зизацикз, суть змшз.
1 Концевые наросты Пусть В произвольный паркет из И7ш и Ь его нарост. Напомним, что нарост сх называется концевым, если единственная внутренняя ячейка паркета В, на которую крепится Ь, смежна еще с одним наростом, отличным от Ь, который мы обозначим через Ь'. Отметим, что сз' толсе является концевым наростом. Таким образо л, всегда можно говорить о пирс концсьых нароспзоа. Предположи л теперь, зто паркет В имеет минимальную реализапзпо Г па множестве ЛХ вершин выпуклого хзпогоузольника.
Тогда, очевидно, граничные ребра сети Г, соответствующие паре концевых наростов с1 и сх', приходят в четыре последовательные вершины мпогоуго.п,пика ЛХ. Две средние соседние вершины нз стих зетырех назовем коззцеаой парой вершин пз ЛХ, соответствующей парс концевых наростов х н Ь' сети Г. Предложение 4.1 Пушпь псзркюп Р имеет мзинимольнуш рссыизоцшо на мнохссстос ЛХ ьср шин ььпзоклого льногоуго зьника. Пусзпь т и пй конца-- оал пара асризизз из ЛХ, соотястстоуюшая парс концсоых наростоо сх и зт паркспза В. Тогда сумма онутрснних углоа ляногоугольника ЛХ о вершинах т, и т' больше т и исньшс бк/3. Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
