Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Пре,лложение 3.25 доказано. В действительности, в подавляющем больплинстве случаев, описа~шых в предложении 3.25, скелет В вообще не может иметь перегородки. А именно, имеет место еле,чующее утверлкдение: 5гтверждение 3.16 Пусть В оке.люл из предлохмснпя д.Ю. Тогда если ь = хз пяи гнл = згн то В не,козкст и.иеть перс ородкп. Поэтохмд лишь тс скелеогы В из предяолсенлт,'1.2сд вектора четности которых приведены нилсе, иоаяи бы и„ость перегородку: ° если г = 1, то )1,О, 1, 0,1, 0) и (О, 1, 0,1,0,1); ° сс ли л = 2, >по (О, О, О, О, О, 0) и (1, 1, 1, 1, 1, 1); ° соли х=4, то(0,0,0,0,0,0) и (1,1,1,1,1,1); ° если г = о, то (1,0,1, 0,1,0) и (0,1,0,1,0,1). Доказательство.
Пусть Г некоторая минимальная реализация скелета В на правильном и-угольнике Л1, вписашньм в ед~шичпую окружность В'. Для любого по,лпаркста Т в В обозначим через Гт соответствующее поддерево в Г. Предположим,что перегородка 1. скелета В непуста. Тогда 1. состоит, по крайней морс, из двух ячеек и, в силу предложснлля 3.24, является змеей, Скелеты с шестью концевыми линейными участками 223 параллельной концевому линейному участку У~ Гоги концевого линейного участка гн и перегородки Х. параллельны). ПГэовсдсм рассуждения для концевого линейного участка У~ !рассуждения для концевого линейного участка Хм такие же). Орисптирусм перегородку Х от того узла ветвления, к которому примыкает участок Уь Пусть а первый, в смысле введенной ориентации, отросток перегородки Гзл и А вершнна нз ЛХ, иннидентная отростку а. Отметим, что отростки нерегородкн Гь параллельны отросткам участка-змеи Ги,.
Лалсс, обозначим через т юэнцевую вершину концевос о.шнейного участка Ги,, и пусть 1 прямая, проходящая терез сл. Гак как 1 нараллельна отросткам змеи Гя,, то, очевидно, 1 содержит раино одну вершину из ЛХ, а именно, вершину А. Рассмотрим открытую полуплоскость П, ограниченную прямой ! и содержащую вершину т многоугольника ЛХ. Полуплоскость П высекает из окрулсности В, описанной вокруг п-утольника ЛХ, открытую дугу сз = 1 У О П. Ясно, что и 6 Л. Выбросим т нз Ь. 'Гьн да сь раснадется на две открьпые луги. Пусть б та пз них, замыкание которой содержит А, а б' оставшаяся открытая дуга. От летим следующие о гевидшяс свойства дуг лн б и б'. ° все вершины из ЛХ, затянутыс концевым линейным участком Гк,, лежат па Л ° все вершины, затянутые концевым линейным участком Гя„лежат на б; ° все вершины, лежащие на б, затянуты концевыми линейными участками Гя, и Ги,, ь все вершины, лсзкашис на б', затянуты концевыми лянейнымп у щетками Гя, и Гя,.
Следующая лемма очевидна: Лемма 3.23 Если с~ = О, то дуги б и б' содерлсат одинаковое число вершин из ЛХ. В противном случае, т.е. если е~ = 1, дува б' содсрэкнт на одну вершину больше, чем дуга б. Пусть еь = О. 15 силу леммы 3.2:5, дуги б н б' содержат одинаковое число вершин из ЛХ, поэтому участок Ув затягивает нс меньше вершин нз Л~Х, чем участок Яз, т.с. в > зз. Возникает четыре возможности, в зависимости от четности длин участков ".'ь и ХХ . Пусть ев = е = О. '1огда шьГГХХв) = О, а Гнс1(В~) = 1.
Значит, ! отлично от О и 3. Пусть г < 2, тогда 6в < 6с, поэтому гь < лз, противоречие. Если .Кс г ) 4, то 6в = 6ь, поэт'ему гв — — гз. Скелеты с шестью концевыми линейными участками 226 11усть ее = О, а ез = 1. '!огда Гпс)~Р!е) = Гпс!ГВэ) = О, поэтому Ьс = Ьэ, откуда хе < з: противоречие. Пусть се = 1, а ез = О. Тогда !псГРВа) = — 1, а !ээсГ(Вэ) = 1, поэтому Ье < 6э, откуда е < зз, противоречие. Пусть се = сз = 1.
Тогда пэсГ(Ва) = — 1. а шит!(Вэ) = О.,!начпт, э отлично от О и?э. Пусть г < 2, тогда 6ь = Ьь поэтому ь = зз. Если же г. > 4, то Ье < Ьэ, поэтому ле < лз, противоречие. Рассмотрим теперь случай еэ = !. Тоэ да, дуэ-а 6' содержит на одну точку из М больше, чем дуэ а 6. С другой стороны, участок Уэ затягивает на одну точку больпэе па дуге 5', чем на дуге 6, поэтому, опять же, получаем, что необходимо зе > лз. Снова рассмотрим четыре возможности, в зависимости от четности длин концевых линейных участков эбе и Уз.
Пусть се = ез = О. Тогда !пс1(Ве) = 1, а шсГ(Вэ) = О. Значит, г отлично от О и 3. Пусть г < 2, тогда 6е = Ьэ+ 1, поэтому зе = ю Если же г > 4, то Ьс = 6э, поэтому ль < за, противоречие. Пусть се = О, а сз = 1, нсэ 6е < 6э + 1, откуда =,:, < аз, проэээво!э~ чяс. Пусть ее = 1, а еэ = О. 'Говна Пэс!(Ве) = !пс!ГР!э) = О, полому Ье = Ьы откуда зе < зз,противоречие. Пусть еь = сз = !.
Тогда !ээдГВь) = О, а !пд(Вэ) = — !. Значит, г отли пэо от О и 3. Пусть э < 2, тогда Ье = Ьы поэтоьлу «< хз, противоречие. Если же г > 4, то Ье = Ьэ + 1, поэтому жэ = Предложение 3.25 н утверждение 3.16, а также предложение 3.13 позволяют нам разрешить систему уравнений из доказательства щэедложснпя 3.25, описывакэшукэ связь между длинами конпевых линейных участков и длпнамп боковин интересующих нас скелетов. Выберем, в качестве параметров решения, следующие величины: ! = ~хэээ2], р = [пээб), х половина длины перегородки ! (иными словами, длина боковины перегородки 5). Для удобства ссылок, занумсрусм все случаи парой гд, где г остаток от деления и на 6, а А буква а, 6, с, сР.
е илн Р, в зависимости от номера интересующего нас случая внутри группы с постоянным остатком г ( лы сохраняем порядок из предложшп|я 3.'25). Кроме того, положим о„„,. равным максимальной величине угла о = л,Ргэ для каждой пз 28 серий скелетов. Итак, в слелуюшем пред.кэжеяии приводится список векторов = = (зэ,..., -е) длин концевых линейных участков во всех 28 случаях из предложения 3.25, а таклсс описываются области изменения параметров, полученные из того соображения, что длины концевых линейных участков скелета не моэ ут быть менэ,ше 2. Предложение 3.26 Лишь скслстьэ со с.ндующини аскаэоршни длин концевых линейных рнасткоа,мое.эи бы, ннеэнь праап и ную минимальную рсализсщсэю: при г = О, Г'0а)э 2 < ! < р — 2, р > 4, о „, = к,э24, Сксггсты с шестью коннсвыми нинсйными участками 227 (21, — ! + 2(р — 1), — 2+ 21, 2(р — 1), — ! + 21 .
.— 2+ 2(р — 1)), ~'06): 2 < 1 < р — 3, р > 5, гх„„,е = тгг;50, (1 + 21, — 2 + 2(р — 1), — 1 + 21, — 1 + 2(р — 1), 21, — 3 + 2(р — 1)):, ори х = 1, !'1и)г 3 < 1 < р — 2, р > 5, о~„= нгг31, (21, 2(р — 1), — 3 + 21, ! + 2(р — 1), — ! + 21, — 2+ 2(р — 1)), (16)г х + 2 < 1 < Р— 2, 0 < х < Р— '1, Р > Л, о„„= нгг25, (21, — ! + 2(р — 1), — 2 + 2(1 — х), ! + 2(р — 1+), — 2 + 2(1 — х), — ! + 2(р — 1)), (! с): 2 < 1 < р — 2, р > 4, о„„„г.
= гг,125, (21, — 1+ 2(р — 1), — 1 + 21, — 1+ 2(р — 1), 21, .— 2 + 2(р — 1)), (И! 1 < 1 < р — 3, р > 4, о,, = х(25, (1+ 21,:2+ 2(р — 1),21.-2+ 2(р — 1), Л+ 21, -3+ 2(р — 1)), !г1е)г х + 2 < ! < р — 2, 0 < е < р — -'1, р > Л, гг~„е = нгг25, (! + 21, — 2+ 2(р — 1), — ! + 2(1 — х), 2(р — 1+ х), — ! + 2(1 — х), — 2+ 2(р — 1)), ф): 2 < 1 < р — 3, р > 5, а , = тггг,'!1, (! + 21, — ! + 2(р — 1), — 2 + 21, 2(р - 1).,21, — 3 + 2(р — 1)); !Оа)г 2<1< р — 2, р>4, о~,е =к(20, (21, 2(р — 1). — 2 + 21, 2(р — 1), 21, — 2 + 2(р — 1)), (О!г)г 3<1<Р— 2, Р>5, о,,„е=нгг32, (21, 2(р — 1). — 3 + 21, 2+ 2(р — 1), — 2+ 21, .— ! + 2(1 — 1И, ('ес)г х + 2 < 1 < Р— 2, 0 <:е < Р— Л, Р > 4, о,„це — — л г 20, (21, — ! + 2(р — 1), — ! + 2(1 — х), 2(р — 1+ х), — ! + 2(1 — х1, — ! + 2(р — 1)), !'Зг()г х + ! < 1 < Р— 2, 0 <:г < Р— 3, Р > 3, о „„, = гггг20, (1+ 21, — 2+ 2(р — 1), 2(1 †.е), — 1+ 2(р — 1+ х), 2(1 — х), — 2+ 2(р — 1)), (Ое?: 2 < 1 < р — 2, р > 4, о-,„,.„, = нгг20, (1+ 21, -Л+ 2(р — 11, -2+ 2е1,1+ 2(р — 1), -1+ 21, -2+ 2(р- 1)), (Лг7)г 2 < ! < р — 3, р > 5, о„е„= л гг32.
(1+ 21,:Л+ 2(р'- 1), -1+ 21, -Л+ 2(, — 1),1+ 21, -3+ 2(р- 1)): ориг =3, !3а)г 2 < ! < р — 2, р > 4. о„,„х = н,г27, (21, 2(р — 1), — 2+ 21 . .! + 2(р — 1), — ! + 21, — ! + 2(р — 1)), !'36): 2 < 1 < р — 2, р > Л, а„„„х = н)27, (1 + 21, — 1 + 2(р — 1), — 1 + 21, 2(р — 1), 21, — 2+ 2(р — 1)); врих= 1, (?ггг)г г + 2 < 1 < !г — 1, 0 < х < Р— .'!.
Р > '!1, о„„х = г гг22, (21, 2(р — 1), — 2 + 2(1 — х), 2 + 2(р — 1 + х), — 2 + 2(1 — х), 2(р — 1)), Д6)г 2<1<р — 2, р>4, гг,„„=хгг28, (21,2(р — 1), — ! + 21.,2(р — 1),21, .— ! + 2(р — 1)), Скелеты с шестью концевыми линейными участками 1'2 ! '!<!< — 2 >' = ''!4 !21, ! + 2!р — Х), — 3 + 21, 2 + 2(р — 1), ,- ! + 2!, - ! + 2Π— !)), ДгХ) 2 < ! < р — 2, р > 1, а„„, = ягг28, (! + 21, 2(р — Х), .— 2 + 2!, .1 + 2[р — !), 21, — 2 + 2(р — !)),. !4е) ° 1<1<р — 2, р>3, о =я)22, (1 + 21, — 1+ 2!р — !), 21, — ! + 2(р — Х), ! + 21, — 2+ 2(р — 1)), ЯХ) л -1- 2 < ! < р — 2, О < и < р — 4, р > 1, ои„, = я)28, '1!+21, — !+2(р — !), — 1+2(! — л), ! +2(р — !+л), — 1+2(! — л), — 1+2(р — !)); яри г = 5, !'ба)г л+ 2 < ! < р — 1, О < и < р — 3, р > 3, о „, = х)2!1, 121, 2!р — 1), — 1+ 2!! — л), 1+ 2!р — ! + х), — 1+ 2!1 — х), 2!р — 1)), (бб)г 2 < 2 < р — 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
