Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Итак, имеем: и = бр + 4, В = (р — 1, 2р+ 1, 2р, р). Если л = 26+ 1, то у = 2(р — !) — 1, и з = 2(р+ !), таким обржэом, имеем: и = (21+ 1,2(р — !) — 1,2(р+ !) + 1). Итак, доказано следукицее предложение. Предложение 3.18 Лусчпь В скслеэа с чсэгырь.ал конясььыш линсйныли уисст кали, имеющий КМ -!эса„ээээпэ!иьэ иа ирсэьильноа и-у, ельнике. Пусть У, Т, И' и И" его гэос.эсдсьинэсэьньэе коиисььш линейные учсглээки, Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 200 при гея ьоь первые два из нту так и наследное два вьгтодят из одной внупгреннсй ячейки. Пусть углы,нслсду концевыни .гинейныяи у гасткако в парах (7,77) и (И",7) равны л/3, а,нелсду концевы.чи линейны.ии участка.ни в парах (7', !ьу) и (Уу", И") ранньг 2к/3. гуогда Л и нсвт ровно один узел вствясния, концевые гинсйныс учггстки 77 и И' соспгоят из одинакового ° тело,я:геок, и остаток опг деления и но б нс равен 0 и 3.
Полее того, если г3 = (Ь,Ь',с.сз) вектор длин боковин сьелтпо .з, порожденных <:оотнетспгвтгно паралгг (7,7'), (7', И'), (И; И") и (!Иг, 7), а и = (х, у, ) ьектор длин концевых линейных участкоь, где х, у и г ровны количестваж я гаек, г:остов.гяющт соогпветственно участки 7, 77 и И' г то воз иолсны лишь ая дующие случаи: при и = бр+ ! ° 3 = (р — 1, 2р, 2р — 1, р — 1) и и = )2Е, .2(р — Е) — 1, 2(р+1) — 1); ° 9 = (р — 1, 2р — 1, 2р — 1, р) и г = (2! + 1, 2 (р — !) — 2, 2 (р + 1) ); при и = бр+ 2 ° ~3 = (р — 1,2р, 2р,р — 1) и и = 12И 2(р — !) — 1,2(р+ г)); ° дг = (р — 1, 2р, 2р — 1, р) и и = (2Е + И 2(р — Е) — 2, 2 (р+ 1) + 1); при и = бр+4 ° В= [р,2р,2р,р) = (2И2(р — !),2)р+!)); ° 3 = (р — 1, 2р+ 1, 2р, р) и и = (2! + 1, 2)р — 1) — 1, 2 (р+ 1) + 1); ри п = бр+5 ° д = (р, 2р+ 1.
2р, р) и и = (21, 21р — 1), 2(р+ !) + 1); °,3 = (р — 1,2р+ 1,2р+1,р) и и = (21+ 1,2(р — 1) — 1, 2(р+ 1) + 2). "!'аким образом, для доказательства предложения 3.12 нам осталось убедиться в токц что скелеты, перечисленные в пред;кгжении 3.18, также не имеют ЛЛХ-реализации. Для этого мы воспользуемся критерием существования ЛМ-реаггизацгги, сформулированном в предложении 3.10.
Прежде всего, отметим, что во всех интерссуюгцих нас восьми случаях остов соответствующего скелета Я состоит из двух ячеек, а остов множества вершин правильного гг-уг ольнггка яз четырех точек главных вершин главных характеристических треугольников капиевых линейных участков-змей скелета ЬО Поэтому нам необходимо построить соотвсгствуюгпие четырехуг ольникя, затянуть ях минимальным бинарным деревом соответствуюпгсй топологии, и, если такое дерево существует, проверить, удовлетворяет ли оно свойствам (1) и (2) предложения 3.10. Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 201 г'-~, Л з Х ~1 (, 77 (зч 1'1' — Х3 ,' Х'=Хо Рис.
3.18: Скелеты из предложения 3.18 Предположим для определенности, что узел ветвления скелета,5' расположен па плоскости так, как показано на рис. 3.18. (Оставшанся вторая возможность получается из этой отралсением плоскости.) Для удобства дальнейспего изложения введем следующие цереобозначенин. Последовательные концевые линейные участки У, л', Ь, И" скелета Я будем обозначать, соответственно, через и ы Уз,лйз, Яч, длину боковины, пересекающейся с двумя последовательными у ~летками У„и л,, обозначим через 6,, а ллину участка Я, через з,. 7[алое, мы, как п выше, предполагаем, что правильное граничное отображение фиксировано, и обозначим через 7", те точки из множества ЛХ вершин правильного многоугольника, которые соответствуют концевым ребрах скелета Я.
!'лавную всрппшу главного характеристического треугольника концевого линейного участка Л„обозначим терез 77,. Таким образом. остов 37' множества Л7 имеет вид: М' = (7[ь 77з, 7[з, 7[л '1. Найдем точки 71,. Будем проводить вычисления в комплексной форме, отождествляя точки плоскости й с соответствующими комплексными числами. Нрп этом будем предполагать, что центр единичной окружности, в которую вписан правильный многоугольник, совпадает с началом координат, а точка йз с единицей, см.
рис. 3.19. Обозначим через 7, расстояние от концевой вершины 13 до соответствующей главной вершины П; главного характеристического треугольника. Напомним, что через о мы обозначаем величину к,[и. Тогда нетрудно вычислить, что: 77 — е-з [е '+еь!с (1, 7 е — [ 7е-'-д- ь )р е-з~ь~~ (! + 7 е~[~7е-ге[.,! 0). П 1 + 7 — ца76ч-еббс '~. 77л езм.«(1 + [ле- [-7е+ [= [0! где е(з( функпия четности. равная О, если = четно. и 1, если: печетно. Расстояние от концевой вершины х. некоторого концевого линейного участка-змеи до главной вершины главного характеристического треугольника этого участка вычислено нами в лемме 3.13. Приведем сщс раз эту Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 202 ~~4 П, ((з ,Ев Рис.
3.!9: Остов ЛХ' = (Пы Нз, Пз, На) лемму в текущих обозначениях. Ломма 3.15 Пусть ХХ некшпорьт" концевой линейныи' участок змея скелета Я, сосп~оящии' из р ячеек. Обозначим через в соотвстспщуюьцую концевую вертану, и через П главную вертану главного характеристического треугольника концевого линейного участка У. Тогда рисстоянис 1 от й до Н мозкст бьппь вм тслено так: —.„,~., И'~'И "ИТИ где о = п~п, а через (г] обозначена девая часть тела з. ГХам нужно построить на множестве ЛХ' реализацию Г' двойствснной сети остова .'~' скелета Н. ',дто минимальное бинарное дерево имеет двс точки Штсйнера, одна из которых, скажем в, долькна быть соседней с вершинами Пь и Н, а другая, в' с вершипамц Нз и Н4.
Ус,ювие (1) предложения 3.10 состоит в том, что граничные ребра сети Г' должны лежать в сост ветствуюших Н-допустимых углах концевых линейных участков-змей скелета Н. Чтобы проверить выполнение зтого условия, мы построиьл лля каждого граничного ребра с помощьк) алгоритма Мелзака лшппо Симпсона, содержащую зто ребро, ~л проверим, лежит ли она в соответствующем П-лопустимом угле. Мы проделали зту работу с помощью пакета 31а!ЬегпаПса- для нескольких пробных значений и = бт + ьц и устано® вили, что если остаток г равен 1 или 4, то условие (1) пред ложсния 3.10 не выполняется для граничного ребра сстп Г', ннцидснтного всргпинс Н4, а если остаток г равен 2 или 5, то для граничного ребра, инцидентпсц о вершине Е1м "Э тот компьютерный эксперимент подсказал нам, что достаточно проверять условие ( 1) предложения 3.10 только для указанных случаев.
Для вычисления линий Симпсона нам понадобится следующая очсвиднан лемма. Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 203 Лемма 3.16 Пусп>ь 1 и Л две произаольныс в!очки на ~ тандартно ориентированной плоскости. Тогда веритна С правильно о треугольника АЛС, такого что ривер, составленный из векторов АЛ и АС, имеет положитсььную ориентацию, .нолсет оьять найдена такс С = е ' '1' ~1 + с'ч1' В. Воспользуемся зной лемъкп1 для вычисления линий Симпсона, содержащих граначпые ребра сети Г', иппнлеп"гные вершинам Пз и 11>. Обозначим через аз и ал вскторы с началом соотвстственно в точках Уз н Пт и концами в оставшихся точках зтнх линий ( нмпсона.
'1огда имеем пару противонаправленных векторов: о-з = П, — П, + е-ьк1'(Н, — Пз): ол — Нз — Н4+е 1~(Нз — Н>). Пусть о, обозначает У-допустимый угол с вершиной в Н„. Напомним, что угол пь по определению, ограничен лучом Пьк; и ос о образом при повороте па жо вокруг точки Н„где выбор знака зависит от индекса концевого линейного участка лб или, что равносильно, от его четности. Обозначим через и, единичный вектор, сонаправлснный с Н,К, а через л~ единичный вектор, сонаправлснный с другой стороной угла а,. Для проверки тоь о, лежит ли линия Симпсона а, в П-допустимом угле о,, с вершиной в Н„можно рассмотреть определители б, и д,а матриц, один из столбцов которых составлен из координат вектора а;, а другой из координат всктора и,, и п~ соответственно.
Урн пранильпом выборе порядка столбцов получим условие: б, > 0 и бн > О. В нашем случае зтн определители удобно вычислять в комплексной фор лс, в соответствии со следующей леммой. Лемма 3.17 Пусть г и и произвольныс комплексные числа. Тогда число 1ш( т), где >ер>пой обозначено кояп локонов ~опряжение, сов»адаег>ь с определителем льан>1пкцы, состасчлттой из векспоров-с>спь>лбць>в г и и>. 14з гео'лстрпи паркетов Л и из лсмиы 3.17 вытекает следующее утверждение. Лемма 3.18,'7лл того, >тобы концевое ребро митснильной реализации Г' остова скелета Л, инцидентное граничной вершине Пз, лежало в У- допистимо.я угле концевого линейного учао>пка оз, необходимо, чтобы число бз = 1п)(озпз) было положительным.
Для того, чтобы концевое. ребро .иинанальной реализации Г' ос>пояс> скелета Я, иицидснтное граничной вершине Нь лелсало в Л-допусти.,яон угле концевого линейного учасппка л и необгодимо, чьпобы число бл 1пь~алнл) бьмо положитсльнызс Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 204 Отметим, что в лемме 3.18 можно сформулировать сщс 6 аналогичных утверждений, однако, как показывает компьютерный эксперимент, для завершения доказательства предложения 3.12 достаточно проверить невыполнение и лепно тех двух условий из леммы 3.18. Вычислим бз и бсы Для этого запишем сначала вектора пз и п~~. Имеем: у! — звос-вх/в-вс!зйа1 с цзвввс — л/в — с!.в!с+с! Вычислим бз для каждого из рев улярных скслстов, вошедших в список предложения 3.18 для п, = 6р+! и п = 6р+ 4, и б~' для каждого пз регулярных скелетов из предлол ения 3.18 для и = 6р+ 2 и п = 6р+ ь Поскольку каждая из восьми серий предложсния 3.18 зависит от двух параметров р и 1, мы получим восемь функций от р и !.
з!ы покажем, что каждая из полученных восьми функций отрицательна при всех допустимых парах (р, !). Выпишем эти функции. Пусть, как и выше, и = (зы зз, зз) и св = л!и. Случай и = бр+ 1, и = (2М, 2(р — !) — 1, 2(р+ !) — 1), ! < ! < р — 2. р > 3. 2 сьс(а) вш( — ") (ып(а) в1п( в + д) + соь(а) сов( в )— Ясов( в) сов(а — — "' + 2а!) — сов( в) сов( з — 2а!)) Случаи и, = 6р+ 1, и = (21+ 1, 2(р — !) — 2, 2(р+ !)), 1 < ! < р — 2, р > 3. дз = 2свс(а) в1п($) (сов(в) + сов(вУ + в) яп(а) — сов( — "„') сов(з.'; + 2а!)— АЗ сов( — '„') яп(2а + х + 2а1)) Случай и = 6р+ 2, и = (21,2(р — '!) — 1,2(р+ !)), 1 < ! < р — 2, р > 3.
сов(а — х) — ",бсов($ + х) + сьс(а) (ьш('— '") + ~~з сов( —" + и + 2а!)— вш( —., + —".) сов( — ". + — '.,' + 2а!)) Случай и = бр+ 2, и = (2! + 1, 2(р — М) — 2, 2(р+ !) + 1), ! < 1 < р — 2, р>3. б4 + ч3 сов( з' + с ) + сьс(а) ( — ', в1п(з) + — „ьцв( з )+ сов(,' + з + 2а!) — яп(з + з) сов( з +:~ + 2аг)) Случаи и = 6р+ 4, и = (21, 2(р — !), 2(р+ !)), 1 < ! < р — 1, р > 2.
дз = свс(а) яп( з) (4сов(з) сов(из+ в) в!п(а) — 2яп( "— а!) в!п(н+ ои)— ьдйв!п(а+ — '. + 2а!)) 205 Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками Случаи и = бр+ 1, и = 127+ 1,21р — 7) — 1,2'1р+ 7) + 1), 1 < ! < р — 2, р> 1. — я ~ 1"(3)( — .Ь+д ~ )--(т+~ !)- х73 е!п12о+ х + 2о!)) Случай и = бр+ 5, и = (25 2(р — !), 2(р+ 7) + !), 1 < 7 < р — 1, р > 2.
—,' — соя~~") — соя( —" + Ц + гас!о) (сое1н) яш1Я) + соя( .",) е1п7о)— ° Ь+ Т) -'( ч + з + ~ ~) + — - ( —, + —, + ~ ~)) Случай п = бр+ 5, и = 127+ 1,2!р — 7) — 1,2!р+ 7) + 2), 1 < ! < р — 2, р>3. 5" = — соя!Я) + сое !н — Ц + соя( ~~' + зе) + сес(н) (еш (ф+ соя ® я!п1 о) + ~7з~ соя1 'з + хз + 2ой) — яш Д + х) соя! ~за + х + 2оу)) Отметим, что ограничения на 7 и р вытекают из требования, в соответствии с котортзм рассматриваемый паркет является скелетом, т.е. каждый его концевой линейный участок состоит не менее чем из,1вух ячеек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
