Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 42
Текст из файла (страница 42)
облоснш Е[Ях~), Я~) и Е[В[хз), зб ), соотв~ тстайяогдиг. коняевы н з.н~ ял о провального скелета В. нс пересекаются. Доказатсьиьство. Обозяачим через ЛХс верппшу,д[х~ ) правильного п-угольника Р, т.е. ту вершину пз Р, которая соответствует кош!евогяу ребру хь из Уы Веслом на множсствс ЛХ вершин многоугольника Р канонический порядок, заданный ложлямп из допустимого угла змеи Я~, и пустея ЛХ = [Мс = В[хи), ЛХз,..., ЛХ„~). Пусть р длина змеи У~ [т.с. количество ячеек, составляюп~их зм). Рассмотрим концевую ооласть В[Ма, зы). Обозначим через 6ь ту часть ь раницы концевой области, которая нс лежит на окружности В .
По предложению 3.5, 6ь целиком лежит в угле ЛХ„~Л!яЛХяаы Напомним, что при атом все вершины н-угольника !', лежащие на замкнутой дуге М, уМсМ.. должны соответствовать граничным ребрам концевой з зси Уы Обозначим через йгс вершину,З[х ) многоугольника Р, т.е. ту вершину из Р, которая соответствует концевому ребру хз из збз. Введем на ХСЛХ-рсгьлггзацггя нелинейных скелетов 176 множестве ЛХ вершин многоугольника Р еще один канонический порядок, заданный дождЯми нз допУстимого Угла змеи Из, и пУсть, И = Х,л1л = ХХ)лз), луг,..., Л'„г). Пусть гГ длина концевой змсн Ез. О в видно, дуги Мг, гЛХсМ„и Жл гдглЯл пс пересекаются. Из сказанного вьппе вытекает, что если углы Мр гМрЛХржг н Рйл г 1ллЛл+г не пересе; каготся, то и концевые области Е( Мл, Иг) и Е(ил, Из) яс псресекюотся.
Пересекаться же эти углы могут лишь если Мр г = У г, н ЛХраг = Хг', г. Последнее, как не трудно видеть, означает, что предпоследние, если считать от концевых ячеек, отростки концевых линейных участков зы и Из приходят в соседние вершины правильного многоугольника в точки ЛХ и Л' г. Из геометрии паркетов легко видеть, что такое возможно толысо если концевьге линейные участки-змеи Ил и Из пнцвдентвы одной и той жс внутренней ячейке, а направления этих концевых линейных участков составляют угол в 60'.
Разберем этот последний случай. Поскольку угол мслкду направлениями конпевых линейных участков Иг в Из !>авен 60', уг ол и:жд? слч!лглсч «сгьг конпг:вог о линейного учао г«а Иг, выходящим нз Мр л и ориентированным к точке П!тейнера, и отростком концевого линейного участка аз, выходящим из гул г и ориентированным к точке Штсйпера, составляет 120'. Поэтому угол мшкду отрезками ЛХр Л1 и М, гдл, н угол между отрезками ЛХ„Мржг в Мр рг 1ул не меньше чеъл !20' — 2о, гле о = я)гь Далее, пусть 1) обозначает характеристи гескуго дугу концевой змеи г Ег, а Р; характеристическую луг у концевой змеи Ез. Луга Р псресе- 2 1 кается с отрезком ЛХр ~ Л1р, поэтому имеет смысл говорить об угле между этим отрезком и дугой Р'. Покажем, что угол между дугой Р„', и отрезком ЛХр гМр нс превосходит ягг3, Лсйствитсльно, характеристическая душа Р„ 1 это дуга окружности, описанной вокруг главного характеристического треугольника 11р гМ Н, концевой змеи Ег.
Угол меясду Рг и МрМ равен, очевидно, половинс угловой величины дуги Р„отсеченной от этой окружности отрезком ЛХр гМр, и содержащей Р„'. 1!о дуга Р' ограничена точкой М, и не содержит,лругих вершин правильного треугольника Пг, гМрПю полтому уг ловая величина дуги Р' меш,ше 2ярг3, что в требовалось. Аналогично, угол между характеристической дугой Р конпевой змеи з Из и отрезком Хлл г Хгл такэке не превосхо,гит я,гЗ.
Выпустим теперь из точки ЛХр г внутрь угла М,Л1, г з1 луч р под угзгом яр',! к некто!лу ЛХр г Мр, .и пустг, 1 ггряхггля, сслде1злсащая г. Из сказанного выше вытекает, что концевая область Е(ЛХс, ар) целиком лежит в полуплоскостн, ограниченной прямой 1 и содержащей ЛХс (в этой полуплоскости лежит отрезок М, ~ ЛХр и дуга 1?г). Концевая область Е(лугь Из), в свою очсрсдгч целиком лг:жит во второй полуплоскости, ограниченной прямой 1 (в этой полуп.юскости лежат отрезкгл зйлл г Ул и Лгл Ул г). Поэтому концевые области Е)Мс, Иг) н ЕГЛггс, Ез) не пересекаются. 61смма доказана. ХезЭХ-реа.|изация нелинейных скелетов 177 Х1сгко видеть, что если у деревянного скелета Н существует НЛХ-!эсализация, то все э раничцые ребра реализации каждой концевой змеи Я лежат в концевой области, соответствующей л.
Более того, все точки Штейнера, не принадлежащие реализации концевого линейного участка И, лежат вне концевой области для л. Определение. Область, полу лепная после выбрасывания из единичного круга. ограничснпол о окружностью,5э, во< х концевых областей, соотвстствукэших концевым змеям некоторого правильного скелета 5, называется япрпктсристичсской областью и обозначается через !У1,5). Итак, все точки Штейнера произвольной ВЛХ-реализации Г скелета о' из Иэрв не принадлежащие реа,шзациям концевых линейных участков скелета Я, находятся внутри характеристической области этого скелета.
!1усть л некоторый концевой линейный участок — змея скелета 5', и пусть Лэ единственная ячейка ветвления, примыкающая к Я. Обозначим через зр вершину из Г, соответствующукэ точке И!тейнера из Ь, а через Н главпуэо вершину главного характеристического треугольника концевого линейного участка-змеи И. Обозначи л через У точку Штейнера из Г, лежащую на характеристической дуге змеи И.
В силу утверждения З.б, отрезок У.л лежит на луче Н У. Кроме того, отрезок НУ пересекает липп,ту часть Г(Я) сети Г, которая соответствует змее И. По:этоьлу, замешлв в сети !' ее подсеть Г(И) на отрезок ЕХХ, мы получим вложенную минимальную сеть. ЛХножсство граничных точек этой сети получается из множества вершин многоугольника Р заменой множества ЛХи вершин, соответствукэших змее Я, на вершину Н. Повтори ъл описашлую операцию для каждого концевого линейного у эастка л скелета Н. В результате, получим минимальную сеть Г', затягивающую множество ЛХ', полученное из ъшожества,1Х вершин многоугольника Р заменой кахлдого его подмножества ЛХя, затянутого Я, на главную верппшу главного характеристического треугольника змеи Я Л!егко видеть, что сеть Г' эквивалентна двойственному графу паркета,5', полученнол о из скелета Н выбрасыванием всех концевых линейных участков этого скелета.
Ребра контура скелета Я', по которым к Я' крепятся концевые линейные участки скелета Я. назовем ошжсчсяными. Ясно, что правильное граничное отображение 3 каноническим образом порождает э рапичное отображение Х7', ставящее в соотвстствцс' каждому отмеченному ребру контура Хл' скелета Я' главную вершину главного характеристического треуголыэика соответствующего концевого линейного участка-змеи, и совпадакпцее с Д на всех нсотмечснных ребрах из Хл'.
Определение. Скелет 5" называется осшоеаи скезлета,ь', а множество ЛХ' остовом „ннозюсстаа ЛХ, соответствующим скелету Н и граничному отображению 3. Скелеты с тремя концевыми линейными участками П8 Непосредственно из построений настоящего параграфа вытекает следующее важное предложение. Предложение 3.10 (Критерий ХХЙХ-реализации скелетов) ХХравильный скелет 5 имеет ЯМ-реализацию на множестве ДХ вершин прашмьного .нногоугольника если и иьолько сели ос плов,5' скелета,5 имеет минимальную ргали,тцпю ! ч нп соолпвстсплвуюлллс„н остове- льХ' .,пножсствп ЙХ, уважпютцую граничное отображение,У, и такую что ХХХ граничные ребра сееии Г', ипшидетпгньш главнгплл вершинпля П, главньи харакьперистичссьгпх треугольников концевых,линсйныт учатпков-змей ло скелета,5', лежат внутри допустимы п уг.,лов с веХлшинпми в У,; (2) все точки Штьйнера сопли.
Г' .лежат внутри харпкпьсристичсской обшспш И (5). 6 Правильная минимальная реализация скелетов с тремя концевыми линейными уча- стками Пель настоящего параграфа получить полное описание скелетов с тремя концевыми .чиелсйными у' 1псткймш игл~ ьоших ЯМ-реализацию. Лля 3'гого мы воспользуемся техникой, разработавшей выше. Нами будет доказано следующее предлолкснис. Предложение 3.11 11усть .5' скелет с тремя концевыми линсйнымп участкани. инсюллплй прашмьную минимальную рва кшацию на правильном и-угольнике. Тогда и = бй+ 3, А < 1, и длл кпждого Х су~ллссплвуспц с точностью до движения, ровно один такои' скелет.
Этот ске,лепл являспься. правильным и персходипл ь себя при повороте плоскости на угол в 2кХЗ вокруг центра сдинствстлой его ячейки ветвления. ХХравильная минампльнпя реализация скелета,5 также нереходшп в ь ебя при повороте плоскости на 2клл3 вокруг центра и-угоюникц см. рис..3.Х, справа. Доказательство. Спачши мы воспользуемся еле,штвием 3.7,пля того, чтобы составить полный список возможных длин концевых лцнсйных участков скелета 52 Лемма 3.11 Возможны 20 соотношении на длины, концевых линейных участ- коь скелета .5, приведенные в тпб„тце З.о.
Скелеты с тремя концевыми линейными участками 179 Таблица 3.2 Длины концевых линейных участков 3-скелетов, допускающих ЛЛ~Х-реализацию Типы Длины 52к — 1,2к — 1,2й — Ц (2к — 1, 2к — 2,2к) 12й, 2й,2й) 12к,2й — 1,21+ Ц 65с+3 12й,2й.,2й- 2) 521е — 5, 2й+ 1, 2к — 2) (2й — 1, 2й — 1, 2й) 12к — 3, 2й+ 1, 2й) 61с+1 а. Ь. с5. (2к, 2лч 2й+ 2) 521 — 1,2й+ 1,2й+ 2) 52я + 1, 21+ 1, 21) 12й — 1, 2й+ 3,21) а.
с. с5. 52к+ 1, 2й — 1,2к — Ц (2Е 2й, 2й — Ц 5М+ 2, 2й — 2,2й — Ц (253 2й — 2, 2й + 1) а. 61г+2 Ь. 52/с+ 1,2к — 1,2й+ Ц 12к, 2к, 2й+ Ц (21+2,2й — 2,2й+ Ц (2Е 2й — 1, 2й + 2) а. 65г+4 й„= ~а„/2] + ~а (2] + е(а, ), где е5а,) равно О, если а; четное, и 1 в противном случае. Воспользовавшись очевидным соотношением а; = 2~а;1'2] + е5а;), выразим а; через Ауы Для этого достаточно сложить два из приведенных только что уравнений Доказательство. Без ограничения общности, можно считать, что из двух симметричных скелетов, приведенных на рнс. 3.10, скелет У7 имеет внд первого из них. Пусть аь 1 = 1,...,3 длина 1-го концевого линейного участка 5л скелета у7, т.е.
число ячеек, входящих в этот конценои лннекнын участок. Будем считать, что концевые линейные участки занумерованы по часовой стрелке, и нумерация концевых линейных участков циклическая, т.е. утверждение "г и у последовательные числа" означает, по пара 16 у) может бьггь одной нз следующих трех пар: (1, 2), (2, 3) нлн 53, Ц. Булсм называть длиной бокоенны скелета Б число ребер контура этого скелета, входящих в данную боковину. Обозначим через 52 длину боковины, пересекающейся с послсдоватсльнымн концевыми лннсйнымп у тасткамн уо н У, '1огдз, как легко проверить, Сколоты с трсмя концевыми линейными участками 180 Рис. 3.! 0: Двя тнпя симметричных скелетов в тремя концевы ли линейными участками-змеями и вычссть из полученной суммы трстьс. В рсэультатс, имеем: а~ = йзг + йгг — йгз — с(аз) + с(аг), аг : /гг + йгз — язг — с(аг) + с!аз), аз: йгз + йз1 — / чг — с (аг) + с(а 1) .
Из таблицы 3.1 видно, что и моется три варианта длин 13/ боковин скслета Я в зависимости от числа п. Разберем, для примера, случай и = 6/с. Тогда, из таблицы 3.1 вытскаст, что всс 13/ равны мсжду собой и равны 2А — 1. Имеем: а1 = 2я — ! — е(аз) + с(аг), аг — 2Й вЂ” ! — е(а~ ) + е(аз), аз = 2/с — 1 — е(аг) + с(а~). Рассмотрим теперь разные случаи четности капиевых линейных участков. Заметим, что аг+аг+аз = бй — 3, т.с. нечетное число, поэтому из трех концевых линейных участков или один, или всс три имек1т нечетную длину. Пусть сначала длины всех трех концевых линейных участков почетны. '!'огла а, = 2Й вЂ” !. Пусть теперь длина одного концевого линейного участка нечетна, а длины двух других четны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
