Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Вновь обозначим через ЛХ множество М || )Л), через Н = (|ч) сонапрщзленное с К ограничение дождя 11 нз М, распространякяцееся в направлении |ьф); через Ф допустимый угол, соответствующий множеству ЛХ п содержащий дождь 11, через Ь|!Л, 11) ручеек, ориентированный от точки Л. через Ло = 1:Л|,Лч последовательные вершины !||чайка Ь|(21, Н).
Пусть ЛХ|,..., ЛХо последовательные элементы множества ЛХ в порядке, порожденном дождем Н. Предположим, что Ф это тот Н-допустимый угол, существование которого предполагается в условии предложения. Пусть П, |М,Н, |-ый характеристический треугольник. 1ак кяк, по условию. база вполне характеристической дуги О~(Ф) не пуста, то все |-ые ха!зактсристическис треугольники, за исключением, быть может, главного, певырождены. Если главный характеристический треугольник невы- рожден, то в ка |естве до|кдя Я выберем такой до|кдь из Ф, для которого А„= М„. По условию предло|кения, 11(Ф) Е 1Хн!Ф), поэтому такой дождь Н содержится в базе вполне характсристичсской ду|и.
Если .ке главный характеристический треугольник вырождсп, то выбсреы в качестве Н произвольный дождь из базы вполне характеристической луги. Нам осталось показать, что углы Л| |Л|ЛХ;, | = 1,..., п, равны 2я13. Рвссыотрим угол при вершине А|. По условию, точка А| лежит на |лавной дуге окружности Н|, описанной вокруг характеристического треугольника ЛМ| Н|. Следовательно, угол х1Л| М| равен 2к/3. Поэтому то |ка ЛХ| следует зя Л|, и, зна |ит, главная вершина Н| этого треугольника лежит относительно г| в той же полуплоскостн, что и точка А. Далее, рассматриваем Аз и проводим в точности такие же рассуждеш|я.
Перебирая последовательно точки 1;, убеждаемся, что угол Л; |А|ЛХ| прн кал|дой из них раасн 2х(3 и точка Н, лежит в той же относитсльяо прямой г„полуплоскости, что и то ща А. Доказательство предложения закончено. Минимальнан эмся с правильной границей 3 Существование правильной минимальной ре- ализации змеи Пель настоящего параграфа применить ргкзработанггукз выше технику к доказательству слсдугощего предложения. Предложение 3.4 Луяожестео еергиин каждого праеильноео,ннг>гоугольника можно затянуть единстесннойц с точностью до деиженил, мини.иальноа гзмееа, с.н. рис. з.1, слева.
Мы начнем этот параграф с описания устройства 1-ых характеристических дуг гл г-ых характеристических треугольников для множества вершин правильного многоугольника. 3.1 Характеристические дуги и треугольники Пусть Р правильный п-угольник, а ~ГХ хлножсство его вершин. Будем считать, что ьгпогоутольггик Р вписан в окружность з' слили'шого радиуса с центром в начале стандартной системы координат. Пусть Л произвольная вершина многоугольника Р, и ЛХ, как и выше, гиножество ЛХ у ~~Л). Мы покажеьц что иэ точки Л можно выпустить зъюо.
Так как Л1 выпуклое ' ъшожсство, а точка Л явлистся крайней точкой для Р, то у хлножсства ЛХ имсстси Л-допустимый утол. Более внимательное рассмотрение показывает, что у ЛХ имеется двс пары противоположных А-допустимых углов: если, в комплексной записи, А = егт, то одна пара углов имеет вид: ( р + х/2, р + зг/2 + о) и (р + Зх/2, р + Зл./2 + о), а другая пара имеет вид (р+ х/2 — о, гр+ л/2) и (р+ Зх/2 — о, р+ Зл/2), где о = и/гь Здесь мы записываем углы как интервалы на единичной окрул ности направлений. 1 сомстрически эти углы образованы касательной к окру кностп Б, проведенной через точку Л, и двумя секущими, каждая из которых проходит через точку Л и соседшого с ней верппшу многоугольника Р. /для определенности, выберем многоугольник так, чтобы точка.4 имела координаты ( — 1, 0), а в качестве А-допустимого угла Ф угол вида (я/2— о.
х/2), заключенный между касательным в точке А к окружности о лучом. направлегшым в верхнюю полуплоскость, и лучонг, идугпггег нз точки Л Здесь мы д гя удобства будем называть емпукегм.ке хиножсства, лсжашие на гранипах своих вынукльгх оболочек. '!асто такие множества называют зкстремаеькыхеи. Минимальная змея с правильной границей 159 в соседнюю с А вершину многоугольника Р, лсжа|цую в верхней полуплоскосги. Пусть Й произвольный дождь из Ф, и ХХ его ограничение на М.
Выберем направление распространения дождей Л и В равнзям вектору, имеющему положительную проекцию на вектор с коордцнатами ~0, 1), т.с. будем считать, что эти дожди распространяются внутрь многоугольника. '1'огра ца множестве М возникает каноническая нумерация. Пусть ЛХ = (ЛХы..., ЛХо 1). Отметим, что, в силу выбора Ф, то пси ЛХз, 1 с нечетными номерами, за исключением последней, сели и чстно, лежат в верхней полуплоскости, а точки Мз с четными номерами, в нижней полуплоскостп. !!ногда, длл удобства, точку А мы будем обозначать через Мо. Проведем построения предыдущего параграфа для определения того, как выглядят 1-ые характеристические дуги для угла Ф.
Для этого удобней всего воспользоваться следствием 3.3. Х(ля построения 1-ой характеристической дуги построим на стороне АЛХ1 вне многоугольника Р правильный треугольник АЛХ~ Вы являющийся 1-ым характеристическим треугольником. Легко видеть, что 1-ая характеристическая дута Р1(Ф) высскается углом АЛХ~ Мз из окружности Вю описанной вокруг треугольника АЛ11ХХь. 1 Пусть Х'1 точка пересечения внутренности луча МыМз с окружностью Вю Простое гсомстрическос наблюдение показывает, что луч АР1 откло! нястся от оси абсцисс !диаметра окружности В, проведенного через точку А), на уь ол яХ6.
Построим теперь 2-ую характеристическую дугу Х>з(Ф). /1ля этого воспользуемся четной редукпиеи множества ЛХз = (А, Мы ЛХз). Пусть Фз допустимый уьоп для ЛХ", содержащий Ф. Тогда множество ЛХи состоит 2 2 из трех точек А, Еь — Е(Фз) и Мз — В(Фз). Определим, где расположена точка Еь По определения> четной редукции, Е1 = А + М1Мз, поэтому Е~ лежит на луче, касательном к окружности У в точке:1, направленном в яилсщою полуплоскость. При этом рАЕ1 ~ = ~Л|1ЛХз~. Отметим, что четырехугольник АЛХ1ЛХзЕь параллелограмм. Первый характеристический треугольник для мнозкества М", это правильпьп1 треугольник А Г1 ХХ, построенный вне многоугольника Р. '!тобы понять, как устроен второй характеристический треугольник, сформулируем следующее очевидное планиметрическое утверждение.
Лемма 3.1 Пусть АВСХХ параллелограмм, о праоольныс трсугозьооно АВЕ о С!1!с потпросны оно АВСР. Тогда треугольник ЕГР также праоильныаз Из леммы 3.1 вытекает, что второй характеристический треугольник для Мй совпадает с треугольником ПЛХзПь По следствию 3.3, от~от треугольник есть пс что иное, как второй характеристический треугольник ХП МзПз для мцоькества М.
Поэтому, П = Пз. Таким образом, доказана Минимальная змея с правильной границей 160 .Лемма 3.2 Першина Нэ атарово характеристического треугольника НьМэНь совпадаспь с асришной Н правильного треугольника АЕзН, построенного вне многоугольника Р,. где Е~ точка на касатвльноль луче к Н' в точке 4, идущем в нижнюю полуплоскость, причс и (АЕ~ ! = (ЛХ~ЛХэ!. Таким образом, 2-ая характеристическая дута Р (Ф) вырезается из окружности Яз, описанной вокруг треугольника Н~ЛХэНэ, углом МьМэЛ1з. Лемма З.З Окружность Й проходшп через и~очку Рь.
Поэтому, пересечение внутренности луча М ЛХь с окружностью Н, совпадает с точкой Рь. Доказательство. Отметим, что прямыс А1з~ и л!Нэ совпадают в силу того, что вектор АРь отклоняется от оси абсцисс на к/!!, а вектор АПэ на — 2к/3. Далее, легко видеть, что угол АРьЛХз равен к/3, поэтому и угол НзР, Ъ|э также равен лХЗ, что и доказывает принадлежпосю, тычки 1 ь ок!зужностн '~>2 ' Пусть Рз точка пересечения внутренности луча МэЛ1з с окружностью Е,. Лемма Зг4 То ~ка Рз лсисит на прямой НзА, поэтому вектор л!Рэ от- клоняется от оси абсцисс на угол — кХ6 — о. Доказательство. Очевидно, угол Ны!Нэ равен яХЗ + о. Угол 16 ЛХэрэ равен о и вписан в окружность Яю псовому меньшая ду~ а окружности 1 между Рь и Рэ равна 2о.
С другой стороны, меньшая дуга этой же 1 окружности между Н~ и Нэ равна 2к/3. Проведем прямук~ ИьА, и пусть Х точка ее пересечения с окружностью Яэ, отличная от Нь Так как прямыс Н~Х и НэР~ образуют вер- -1 тикальный угол величины яД!+ о, то величина ьленьшей дуги между Рь и Х равна 2о, т.е. точка Х совпадает с Рэ. Таким образом, Рз лежит на прямой П~А. Оставось вспомнить, что угол между АРз и направлением оси абсцисс равен к16. Выясним теперь, как выглядит дуга Рз(Ф). Для этого воспользуемся нечетной редукцией,прцмененной к множеству Мз. Пусть Фз допустимый угол лля Л1з, содержащий Ф. '!огда множество ЛХ~~ состоит из трех точек А, Оь = 0(Фв) и Л1з = В(Фз). Определим, где расположена точка Оз. По определению нечетной редукции, Оь = А+ АЛХз + ЛХэь!1з, поэтому, так как АМз и МьЛХз сонаправлсны, Оь лежит на луче АМю При этом (АО~! = )АЛХ~)+ )ЛХэЛХз!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
