Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Б случае, если М находится нс в общем положении, пскоторыс из пора кдаемых нами правильных треугольников могут выра кдаться в точку. Однако, приводи лая ниже конструкпия также может быть без изменений перенесена в на этот случай с заменой секущих ш>с греги ныл шыке окружностей на их касательные в соответствующих точках. Итак, изучим, где может быть распо.южена точка 1ы Имеется три возможности.
(1.) Пусть точка >РХ> следует за точкой Л>, и ЛХ> ф Аы Тогда угол АА>ЛХ> определен и равен 2я>>3. (2.) Пусть М> предшествует А>, и ЛХ> ф Л>. Тогда угол ЛЛ>ЛХ> определен и равен я,>3. В любом случае, то тка '1> лежит па окружности, описанной вокруг правильного треугольника ЛЛХ>НБ построенного на отрезке АМ> так, чтобы Н> получалась из ЛХ> поворотом на к>>3 вокруг точки А. Прн:>том знак Зь»е»т на произвольном множествс 150 щ т»[н) Рнс. ЗЛ: Расположение точки А» угла поворота определяется в базисе (и(Л), тп), где т направление дождя Л (сьт. рис, 3.4). (3.) Пусть ХХ» = Л».
Тогда точка А» также лежит на окружности, оиисаииои вокру» то» о же правильного треут озьиика .43Х» Н», ирн этом прямая г» касается этой окружности в точке ЛХ» = Л». В силу тото, что мноя ество М находится в общем положении, П» ф т», поэтому П» ф 4». »1сгко видеть, что отрезки П»Л» и Л»Л« = 1«з лежат на одной прямой. Выясним теперь, где расположена точка Аз. В силу предположения, точка Н, не лежит на прямой гз. Возникает, как и выше, трн существенно разных случая. т»1.) Пусть точка ЛХ« следует аа точкой Аз, и 3»Хз ф Лз. То» да, сели П» лежит в той же полуплоскости относительно т«, тто и х», то угол Н» 4«йуз определен и равен я«»3.
1",сли же Н» и т» лежат в рж»»»ых иолуилоскостях относительно тз, то угол Н»АзМз определен и равен 2ят»3. (2.) Пусть точка 3Х« прсдшествуст Лч, и ЛХ« ф Лз. Тогда, сели П» лежит в тои же полуплоскости относительно гз, что и г», то угол П»Л«3Х« определен и равен 2лт»3. Если «ке Н» и г» лежат в разных полуплоскостях относительно ть«, то угол Н»Аз РХ определен и равен я/3. 1Ь»»К бЫ тО Нн бЫЛО, тОЧКа АЗ сс Вт»Л) ЛсжИт На ОКружНОСтп, ОПИСаН- ной вокруг правильного треуго,и,ннка Н, 51« Пз, построенного на отрезке Н» ЯХ» так, чтобы Нз получалась из ЛХ» поворотом па — тХ3 вокруг точки П». При этом знак угла поворота опять же опрсделястся в базисе (и(Л), тп) (см. рис. 3.5, слева).
т»3.) Пусть ЛХз = Аз. То»да точка Аз также лежит на окрулсности, описанной вокруг того же правильного трсугольника Н»Язйз, при этом »Если жо множество ВХ находится не в общем положении, то Н» может совпасть с Л». В »том случае секущая Н»А» выроди»ся в касатедьну»о к построенной окружно»ти, проходимую чером чочку Н». Ири»том отрезок Л» Лт = 6« буде» л жать на от»й »са лте»ьнои. Зьэеи на произвольном множестве 151 Н,,г(., «ОУ1, - --' ' М.
жйв э 1 й ' Л / — ы ' э '«)Р! :,у П 'е я М, ' Рис. 3.5: Расположение точки Аз прямая гз касается этой окружности в точке Мз = Аз = ЦЙ). з '! аким образом, всевсимолсные точки Л(Л) лежат на окружности Я'(Ф), описанной вокруг правильног о треугольника НРЛ)зНз, вырожденной в случае Мз = Лм см. сноску. Отметим, что построение мого треугольника не зависит от выбора направления дождя Л в пределах содержащего Л допустимого угла, поэтому, как мы вновь видим, характеристическая дуга является или дугой окружности, или точкой дугой выро.кдснной окружности. Окружность .5' (Ф], по определению, пересекается с прямой гз дождя Р Й, проходящей через точку Мз, по точке Мз. Если прямая гз нг касается окружности У (Ф) (в этом случае окружность, естественно, невырождена), то точка 11(11) совпадает с отличной от Мз точкой пересечения окружности ЯР(Ф) с прямой ээ. В противном случае, Л(Л) = Л1з единственная общая точка прямой гз и окружности,~' (Ф).
1 2.3 Характеристическая дуга в общем случае По аналогии с разделом 2.2, можно построить характеристическую дугу в случае произвольного количества то юк во множестве М. Д именно, если А = Ац, Аы..., А„последовательные вершины ручейка Ьг(4, Я), то вершина х1э лежит на окружности, описанной вокруг правильного треугольника АМэЬО ! де точка Нз получается из М~ поворотом на у1ол и13 вокруг точки Л. Напомним, что знак угла поворота определяется в базисе э Если же множесгво М находится не в обшем положе»ин, то Н~ моэкег попа( гь ва гт. В этом случае, очовидно, Аэ = Н~.
1!ри этом, если Мэ И' !э, то, как и в случао общего положения, гочка Аэ = В(Н) = В~ лежит на окруэкносги, описанной вокруг правильного тРеУгоаьника К~Мэиэ, пос~Роенного на отРезке НэМэ так, чтобы Н полУчалась изМэ поворотомна — г)эвокругточкиПо Отметим, гтопрямая,проходяшая терезия, касается по< эроенш й окружности в точке Н~ = Аэ. Если же Мэ = А, то треугольник НэМэиг вырождаечсв в точку Мэ = Аг = Нэ = В(Н). Однако, снова леоэкно считать, что Аз лежит на (вырожденной) окру кностн, описанной вокруг (выролсденного) треугольника Н~Л1эНэ.
В этом замечательном случае все ручейки, выпуш нпыо из точки А для всех дождей Н б ьэ, приходят в одну и ту же точку Мэ = В(Н) (см. рис. З.э, справа). Змеи на произвольном множествс 152 1|л(Л), т), где гл(Л) направление распространения, а |и напраьмепие дождя Л. Дв.|ее, вершина Лз лежит на окружности, оппсапнои вокруг правильного треугольника П|М Пз, где точка Пз получается из точки Мз поворотом на угол — к(3 вокруг точки Н|. Вершина Лз лежит па окружности, описанной вокру| правильного треугольника ПзМзНз, причем Нз получается иэ ЛХз поворотом вокруг Нз снова на угол кл'3, и т..л.
Характеристическая дуга лежит на окружности В~(Ф), описанной вокруг послед- пего из это|л сер|ил правильного треугольника П„|М„П„. Онрллдолениль Прави.п,ный треугольник У, |Ы,У,, построеняьпл вылив, будем называтыкы.я характеристическим трсуео.лыс|ляса, а и-ый характеристический треу|ольник глаекыж. Прн каждом фиксированном |, геометрическое место точек А; для всех дождей Л к Ф, назовем л-ой ларпктсриспли леской дулей и обозначим через Р, '1Ф). Замечание.
Если л > 2, то |-ая характеристическая ду| а совпадает с огра- ни |ением характеристической дуги 'начального отрезка" М' = ) Л, Мл,..., ФХ|) мнолксства М на множество всех дождей Л нз Ф. Более формально, для множества М' существует допустимый угол Ф', содержащий Ф. Дуга Р,1Ф) состоит из тех и то.лько тех точек характеристической дуги Р1Ф'), которые соответствуют дождям из Ф. От летим, что если ъллложсство М находится пе в общем положении, то некоторые яз построенных характеристических треугольников У,, М, У, могут вьлролкдаться в точку.
При этом все ручейки, для всевозможных дождейл Л к Ф, проходят через точки, в которые треугольники Пл |й1|Пь выроллдаются. Если главный характеристический треугольник, Н„|М„У„, нсвырожден, то характеристическая дул а Р(Ф) также нсвырождсна и является дугой окружности В (Ф), при этом величина этой дуги вдвое больше, | чем Ф. Если же П„|йХ„П„выро|кдсн, то харак|сристичсская дуга является точкой, в которую приходят все ручейки для всех долкдсйл Л Е Ф. В этом замечательном случае В(Л) = В(Ф) для любого Л Е Ф, т.с. каждый такой допустимый угол Ф является В-допустик|ым.
Имеется еше один полезный способ построения характеристической дуги. Оказывается, м|эзлно так перестроить множество Я1, сведя его к трем точкам, чтобы характеристическая луга перестроенного множества содеркала характеристическую дугу множества Л|. Пусть 6л, как и выше, обозначает вектор-весно Лл |Ал ориентирован- пего от точки Л = Лс ручейка Ьг( 1, Л). Обозначим через 1, вектор ЛХ| | М,. Полож|лм: Змеи на произвольном множествс !1усть Яо ориентированный дождь, проходящий через множество (0(Ф), Е3(Ф)) н сонаправлсьшый г доькдсм Л, а Лн ориентированный дождь, проходящий через (Л(Ф), Л(Ф)) и имеющий противоположное дождю Л нап!пьвьгснйс.
Выберем наврав.пнин гэаспространевия дождей Ло и Лн совпадакицими с п(Л). Утверждение 3.4 Дожди Ло и Ян рсгуллрньп и, кролнс того, В(Ло) = Л(Ян) = В(Я). Доказательство. Пусть п(Л) направление распространения дождя Л. Так как Я регулярный дождь, а Л его ограничение, то ортогональные проекции векторов!; па вектор п(Я) пололгительны. С другой стороны, В(Ф) = г!+~ 1; = г!+~ 1зу г+~ 1зу = 0(Ф)+~ 1з1 = Е(Ф)+~ 1зу В силу сделанного вьнпе замечания, все суммы в последней формуле, равны векторам, имеющим положительную проекцию на вектор п(Л). Так как прямыс дождсйг Ло и Лн перпендикулярны п(Л), то прямые в каждом из этих дождей различны.
Таким образом, дожди Яо и Ян регулярны. Далее, положи л: и Л(Л) = А + ~ 6з,. 0(Л) =у!+~6„Ь Заметим, что проекции векторов ~; 6з; г и ~; 6з; на вектор п(Л) совпадают соответственно с проекциями на п(Л) вскторов Е '„, 1з, ~ и ), 1м. ! !озтому, точка 0(Л) лежит на первой прямой дождя Ло, а точка В(Л) на первой прямой дождя Л(Л). Кроме того, все векторы, вхоляшие в сумму Е ', 6з, ь, сонапРавлены и имеют то же папРавление, гго и начальное звено ручейка Ьг(А, Яо), поэтому точка 0(Л) является вершиной этого ручейка. Точно так же проверяется, гто точка В(Я) является вершиной ручейка Ьг(А, Ян).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
