Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 33
Текст из файла (страница 33)
о ) я»3. Выпустим из точки С! луч под углом я13 к 1! до пересечения в точке Г с прямой 1». Ясно, что !С»Г~ целиком лежит вне трапеции ѻѻ»Вы поэтому отрезок ѻà пересекается с сетью Р лишь по Сы Из точки Л, лежащей внутри отрезка ѻ» и достаточно близкой к С», провечем прямую, перпендикулярную первому звену оси Яр Ь!. Ота прямая отсекает треугольник ВЕГ с прямым углом В. При это л точку Л можно выбрать настолько близкой к Сз, чтобы треугольник ВЕГ нс годер»кал грани шых вершин графа Г, отли шых от С».
Па рис. 2.28 приведены !»се !зозможные случаи распо.южения треугольника ВЕГ. Отметим, что ребро ~' сети Г пересекает сторону ВЕ треугольника ВЕГ по некоторой внутренней точке. Мы находи лся в условиях предложения 2.18, что дает нам возможность реализовать лестницу Ц в некотором четырехугольнике, полученном отсечением от треугольника ВГГ некоторого остроугольного треугольника Г1Л'.
Легко видеть. что и в этом случае углы 1У !л !' треугольника Г12!' больп»е я»б и меньше я/2. Чтобы реализовать концевой линейный участок С„!», отссчем от трапеции С! ѻ»В! мали| треугольник Т' с вершиной в Сы проведя прямую 1 перпендикулярно оси концевой змеи 1„!!. Вернемся к рассмотрению введенных выше двух случаев. В первом случае, т.с. когда о < я,»3, продолжим отрезок ГА за точку Л до пересечения с прямой 1! в некоторой точке С. Далос, за летим, что примул» ! можно провести стол, близко от Сы чтобы опа пересекла прямую ГС по некоторой внутренней точке отрезка ЛС.
Проведем одну и» таких прямых. В результате от трапеции СГВзВ! будет отсечен некоторый треугольник с вер!ниной в С, вторая вершина которого лежит внутри отрезка АС, а третья располагается на отрезке С»В! вблизи вершины Сы Полученный треугольник обозначи л через '1'.
Бо втором с.»! час, т.с. когда и ) я/3, через Т обозначим сам треугольник Т'. Отметим, что в обоих случаях в треугольнике Т угол, противолежащий прямой 1, равен ! 20'. 137 30еорема реализации сс, с,=с !' ! г Сз Рис. 2.29: Реализация концевого линейного участка 1~~ Рис. 2.30: Реализация концевых линсиных хчастков Щ и 1зз Воспользоваипись следствием 2.12, реализуем концевой линейный участок Г) ~ в треугольнике Т 1сы. рис. 2.201. Реализуем теперь конпевые линейные участки 1„1з и Оз. Для этого, как и выпзе, отссче л от четырехугольника, в котором была реализована лестница Ьы маленькие треугольники Т' и Т" с всршинамп в Г и 1' соответственно, проведя прямыс У,' и Х" перпендикулярно осям соответствующих конпсвых линейных участков.
Далее, через подходящую вершину 1У или Г про1зедем такую примусе щ, чтооги от треугольника г771~ оыл отсечен ггравильпый треугольник. Ясно, что так отсеченный треуе ольник пересекается с построенной минимальнои сетью не более чем по нерп|пнем 12 и 1' (>з случае общего положения лишь по одной из них~. Легко видеть, что прямые Р и 1" мо.кно выбрать проходящими столь близко от (У и Р соответственно, чтобы треугольники, высеченные этими прямыми из усе 1ешкн о прямой т угла 1, не пересекались.
Выберем некоторые из таких прямых, и, воспользовавшись следствием 2. 12, в полученных треугольниках реализуем концсвыс линейные участки Цз и Цз (см. рис. 2.30). Отметим, что углы этих треугольников, противолежащие прячпгл Р и 1" соответственно, равны ! 20'. 'Георема реализации диалогично, построим реализацию оставшейся части скелета, примыкающей к ячейке ветвления г.'гз. Итак, реализация скелетов, полученных 1эсдукцией из классифицирующих скелетов 1-го или П-го типа, в шестиугольнике с углами по 120о построена.
Пусть теперь 1э скелет нз ИЭгэьс шестью концевыми лннсйнымп участкаээи, полученный редукцией из класгифипируюшсго скелета бч Ш-го типа, и пусть 1., его линейные участки, соответствующие лестницам паркета ,сэ', стыкующиеся в ячейке ветвления ьх.
Ориентируем участки 1о в сторону от эа, и пусть лн отличная от эа ячейка ветвления паркета!э, примыкаютпая к участку э'о. Обозна эим через 1., 'линейные паркеты, получепньэе из 1ч добавлением ячеек Ь,. Рассмотрим правильный треугольник ЛэЛздз, у которого стороны угла А; параллельны направлякэщим линейного участка Гл паркета 1э, соответствующего участку 1о.
Отметим, что, с точностью ло растяжений и параллельного переноса, существует два таких треугольника. Если ориентировать стороны угла Л.; к его вершине, то у одного из:этих трс*угольников напраээления сторон совпадут с направлениями соответствующих звеньев оси участка Г; (участок Г; "входит в угол А '), а у другого будут противоположны (участок 1, 'выходит из угла А,в). Выберем первый из этих двух треугольников. Реализуем в тээсугольникс ЛэАзАз двойственный граф Га ячейки ветвления сх так, чтобы полученная минимальная сеть Г'н' была параллельна Гло выходила на стороны треугольника АэЛзЛз, и сс точка Штсйнера С совпадала бы с центрохг треугольника ЛэЛзЛз. Отметим, что такая сеть Га™ получается после сое,пшення центра С треугольника Лэ АзАз или с его вершинами, или с серединами его сторон. Рассмотрим первый случаи.
От каждой вершины А, отсечем достаточно малый прямоугольный треуго.эьник, проведя прямую, перпендикулярную перно лу звену оси участка 1,„. ' Ясно, что ребро СЛ, перегекает большии катет отсеченного треугольника по некоторой его внутреннеи точке Хб см. рис. 2.31. Так жс, как и выше, реа.шзуем участок Гл вместе с конпеээыми линейными участками, на которые оп разветвляется, в подходящем усечения соответствующего отсеченного треугольника. Тем самым, искомая реализация построена в первом случае.
Во втором случае снтуапия более жесткая в том смысле, это углы между направлениями первых звеньев осей линейных участков Гл равны 2я~Ъ. Поэтому, можно, по аналогии с первым случаем, отсечь от треугольника ЛэЛзАз непересекающиеся прямоугольные треугольники, большие катеты которых перпендикулярны первым звеньям ось соответствующих участков 1,, а гипотенузы содержат соответствуэоппэг граничные вершины сети Г',"ю, см. рис. 2.32.
В усечениях этих треугольников и реализукэтся участки "'Если линейный участок йо пуст, то отссчсм треугольник прямой любого из двух вс з ложных нвпрввл~ ний. '1еорема реализации 130 г,Аз з 1.3, ,<д„й ь, 1.', Х, А', А„ Рис. 2.31: Реализация скелетов П1-его типа, первьш случай 3 Х.', ,' Х, Х, А, А, Рис. 2.32: 1'сализация скелетов Ш-его типа, второй случай 1„вместе с концевыми линейными участками, на которые они разветвля- ются. Предложение полностью доказано. 10.6 Завершение доказательства теоремы реализации Для завершения доказательства теоремы 2А нам осталось научиться строить выпуклую минимальную реалнзапию паркета из И7?~, обладающего наростами, по выпуклой минимальной реализации некоторого его скелета. Мзя на шем со следующего небзольшого замечания.
В разделе 8 было дано определение концевых линейных участков деревянного скелета,'>. Оказывается, число концевых линейных участков ске- лета произвольного деревянного паркета пе зависит от разложения этого паркета на скелет и наросты. Действительно, по определению этого разложения, число наростов, выбрасываеззых из паркета чтобы получить скелет, не зависит от выбора конкретных наростов. С другой стороны, число концевых линейных участков скелета равно числу его крайних ячеек, а при выбрасывании наростов дополизп ельных крайних ячеек не появлззется.
Поэтому, можно говорить о числе концевых линейных участков деревянного паркета. Ио 'Георема реализации Пусть Р паркет с шестью концевыми линейными участками, лежащий в Илсзь, и сл' некоторый его скелет. Рассмотрим выпуклую миниълазьную реализацию Г скелета г>' в шестиугольнике Р с углами по 120', построенную в прелы>1ушем разделе.
л!ы хотим перестроить сеть Г в некоторую минимальную сеть !'. эквивалентную двойственному графу паркета Р и такую, что все ее граничные вершины также лежат на грапипе шестяул-ольпика Р. Легко заметить, по минимальная сеть Г обладает следуклшим замечательным свойством: каждое граничное ребро е сети Г, соответствующее граничному ребру скелета .'>', к которому крепится нарост паркета Р, перпендикулярно стороне лллсстиугольника 1', на которую с выходит. Пусть А граяи шая вершина, инпидентная реору е.
Укоротим ребро е до ребра е', отрезав от е достаточно мгклснький отрезок АХ, содержащий граничную вершину А. Выпустллм из точки Х пару лучей, направления которых составлялот с направлением вектора ХА углы в жкЛг3, до пересе гения с границей юг стиугольннка Р. Пару полученных таким образом обргзков назовем, как и вылив, усами.
'1'очку Х ълохлно выбрать настолько близко к А, чтобы построенные усы выходили на одну и ту же сторону шестиугольника Р. Более того, точки Х могут быть выбраны столь близко к соответствующим граничным вершинам А, чтобы перестроенная ьлинимальпая сеть Г оказалась вложенной. Голл самым, доказано следующее предложение. Предложение 2.20 г!ля каждого паркета Р Е Игглль с шестью концевыми линю>пыжи учоспгашжи сущег>твует типажа.льноя сеть Г, г>кол>вале>лен>газ двойственному графу паркглпа. Р, и такая, чггло вш ес граничньш вершины леясалп на гратгвс.
некоторого лллсспгиугольлгика с углами по 120'. Чтобы реализовать произвольный паркет из ИГРз, докажем следующес обобщение предложения 2.0. Продложение 2.21 Для любого паркета из И7?;, шсло концевьлл линейныл учоспгкоо копгорого жень шс 6, сущсшпьуеол содгржащои' его паркет из И>рв ияеющий на ог1лгн концевой линсйньш у госток Г>оль икс В частности, всякий парктп из Иггсзь злоиест бьпаь расширен до паркета из И>1з с вестью концевыми лтгейныл яи участкажи. Доказательство. Пусть Р произвольный паркет из И>сгьл, разложенный на скелет с> и наросты. Прежде всего, отметим, что имеет место аналог утверждения 2.13 об уд>шнснии концевых линейных участков произвольного скелета из Иг1ш Определим удлинение концевого линейного участка паркета Р как удлинение соответствующего концевого линейного участка скелета Я. Поскольку удлинение концевого линейного участка паркета Р пс меняет типов боковин его скелета Ь', то, в соотвстствлп| с теоремой 2.3 о расположении наростов, удлинс;нис концевых линейных участков паркета !Э не выводит за пределы класса И7ш Поэтому можно предполагать, что Теорема реализации как первое и второе,так предпоследнее и последнее ребра боковин скелета В сонаправлены и свободны от наростов паркета Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
