Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Тем самым, доказательство предлозксния закопчено. Из предложения 2.15 вытекает, что теорему реализации в слу гас скелетов достато шо доказать для скелетов с шестью концевыми линейшями участкамн. Такан реализация будет построена в нссколько этапов. 10.2 Реализация змеи Пснтральпьги попятив л, позволяющем строить ралли шые минимальные реализации скелетов, является понятие дождя, к определению которого мы и переходим. Определение. Произвольную конечную совокупность различных взаимно параллельных прямых на плоскости назовем дожде.я.

Две прямые дождя называются ~ оссднилш, с< ли между- нп ли пс содерлсится друтих прямых этого дождя. Объединение полос, ограниченных соседними прнмыми дождя, назовем полосой дождя. Пусть Л = (г,'1~' 1 некоторьп1 дождгн где г, его прямые. 1',ели соседние прямые дождя занумерованы последовательными числами г, то такую нумерацию назовем канонпчсской.

Отмети л, что для каждого дождя существует ровно две канонические нумерации. '1тобы различать две возможные канонические нумерации, полезно ввести направления распространения дождя. А именно, пусть Л, канонически занумерованный дождь. Рассмотрим единичный вектор и, перпендикулярный прямым дождя Л. Тогда ориентированная прямая 1 направления и задает на прнмых дождя Л естественный порядок, порожденный порядком точек пересечения прямых дождя с прямой 1. Если так определенный порядок совпадает с порядком, заданным канонической нумерацией дождя, то вектор п ньюовем направлением роспространенкя долсдл Л и обозначим через п(Л).

Теорема реализации Пусть т единичный вектор, параллельный прямым дождя. Вектор гп задает на этих прямых некоторую ориентацию, называемую ориентацией дождя. При этом дождь, на прямых которого задана такая ориентация, назовем гзригнтироввнным. Вектор пз называется нвправлышем ориентированноло долгдя. Отмсти л, что каждый дождь можно ориентировать ровно двумя спосооами. Если Л лождзь ориентированный вектором т„то дождь, ориентированный вектором — т, будем обозначать через — Л,. Два ориентированных дождя назовем сонвправлснными, если их направления созна дают.

Дожди естественным образом появляются в теории мяпимальшях сетей. Пример 2.1 11угть !и гдвойстввнный граф некогпорой змеи 6, или некоторая его .пинимальная реализация. Проведена через нсконисвыг граничные ребра рафа Гя пряные,,инозкегтво которыя обозники,п через Л. Ясно, ~то Л является доза дгм, который назьтагтся дождем з леи гб. Пусть Л дождь, ориентированный единичным вектором т, и Л некоторая точка плоскости, лсжашая вне полосы дождя Л,.

Выберем направление п(Л) распространения дождя Л так, чтобы ближайшая к Л прямая дождя оыла бы первой в канонической нумерации, порожденной п(Л). Теперь дождь Л имеет вид: гы..., гл. Ориентируем плоскость с помошью ортонормального репера (п(Л), т). Выпустим из Л луч ты повернутый относительно п(Л) на угол тг/1Ь и пусть А~ точка пересечения луча ггц с прямой гы Далее, выпустим пз точки Лз лу г пзз под углом — я~зб к п(Л). Из то пои Аз пересечения луча тз с прямой гз (если такая прямая сушсствуст, т.е. если к. ) 1), выпустим луч тз снова под уг:пзм луб к п(Л). Продолжим этот пропссс до тех пор, пока нс оудгт игчерпапо множество всех пря лых дождя. Определение.

Объединение ломаной Ла = А, Ль,; Ль с лучом тлзл назовем выпушснным из точки А ручсйкоя, порожденным ориентированным дождем Л. Такие ручейки будем обозначать через Ьг(А, Л). Ручеек ра.вбивает каждую прямую дождя на два луча: один нз лучей сонаправлен с пц а другой с — т. Первый из этих лучей назовем положите.,льным. а второй отрш1отвльным. Рассмотрим 1-ую прямую дождя. Если з' нсчстпо, то выкинем из 1-ой прямой внутрснносп отрицательного луча. Если же 1 четно, то выкинем из 1-ой прямой внутренность положительного луча. Оставшиеся после проделанной операции положительные и отрипатсльныс лучи назовем отрос~икали. Определение. Объединение ручейка Ьг(Л, Л) и отростков назовем выпушенной из точки Л (бесконгчной) зяггй, пороз~сденной ориснтировпннььн дождем Л.

Такие змеи будут обозначаться через Я(Л, Л). Вершины Лы..., Аь ручейка Ьг(А, Л) назовем то ~качи Штейнсра змеи Я(у1, К). Отметим, что мы измеряем углы в репере (п(П), т), что определяет знаки углов. 126 'Георема реализации Отметим, что углы в каждой точке !!!тейнера змеи х (Л, Я) равны между собой и, значит, равны 120'. Кроме тгшо, изменение ориентации долкдя Я приводит к змее л'(Л, — Л), зеркально симметричной с Я(Л, Л). Пример 2.2 Рассмотрим сеть Гя из орилшро 2.1 и продолжим все ее грииичиые ребра, кроме одного коицсоого ребра с, за иициг)ситиыс им граипчиьш вершины, до бесконечности. Если 1 граничная вгришиа ргбро е, и дождь Я ориентирован в направлении с.иг жио о с с грани гиого рг*бра ости Ги (мы предполагаем, что граничного ребра оршигпироваиы в сгпороиьг иицидситньгх им граничных гсршии), то так преобразованный граф Гк совпадает со змеей Б(А, Л). Пример 2.3 Пушпь Р некоторый вьгпуклый многоугольник, содержащий внутри себя всг.

то гкп 1Птгйигра некоторой змеи Я(Л, Я). Прг дположим, чпго точка Л лежит па границе многоугольника Р. Тогда пересечение змеи а(А, Я) с Р являстгя минимальной сгтмо типо з.,ися, затяеивающсй вор шииьг, гголучающисся при ггсрсссчсиви змеи х)Л, Л) с границей мпоеоугольиика Р. Полученная .япиималшлая сеть является ььтуклой .,япипмольпой реализацией некоторой змеи У. Пусть Л некоторыи дождь, и пусть Л и Л два произвольных подмножества плоскости.

Будем говорить, что дождь Й лежит, мелгду А и Л, если множества Л и Л находятся в разных открытых полуплоскостях, на которые распадается плоскость после выорасывания полосы дождя Я. Про такис мно.ксства Л и Л мы будем также говорить, что они отделены дожде„я Л. Пусть А фиксированная точка, и Л некоторос подмножество плоскости. Пусть Л, некоторый ориентированный дождь, лежащий между Л и И, Пусть Х произвольная точка множества Л, Будем говорить, что змея х!гА, Л) приходит в точку Х, если Л принадлежит пересечению 'змеи Я(.1, Л) с множеством В.

Рассмотрим хлнолссство всех сонаправленных с Л ориентированных дождей Л, также лежащих между Л и И. Возникает следующая задача. Зада ла Описать множество точек из Л, в коплорьгс приходят, змеи Я(л1, Я„). Решение этой задачи может быть получено в терминах так называемого характеристического конуса. Определение. Внутренность угла величины к,гЗ с вершинои в точке А, ,зля которого луч с вершиной в А направления гл(Л, Й) яв.ляется биссектрисой, называется хороктерисгиическии конусов, ориентированного г)олсдя Й с вершиной в А, Такой характеристический конус будем обозначать через С(Л, .Я).

!27 'Георема реализации Пусть Я дождь, и Л точка плогкости, не лежащая в полосе дождя. Проведем через А прямую 1, параллельную прямым дождя Я. '1'огда все параллсльныс Я дожди, находящиеся в той же полуплоскости относительно 1, что н Я. имеют совпадающие характеристические конусы с всрппшой в Л.

1Лз вышескязшшого непосредственно вытекает следующий результат. Предложение 2.16 Пусть, как и выше, точка Л и множсстпгго В отдглгны нгкоторыи ориснтаровояны,ч дождеч Й,, и пусть Я„вгевоз,ножные сонаправлгнные с Я дожд1д также лежатие мезн:д11 Л и В.

Тогда ,нножгство веет точсьс из В, в которые притог)лт, всгвозчолгныг зчги л(А, Яп), г:овпадаст с пересечение,ч множества В и яирактеристпического конуг а С(А, Я). Болье того, асс ручейки!эг(т1, Я ) лсжапь в зачыкании конуса С(А, Я). Пусть Х некоторый паркет-змея. 1 х гго двойственный граф, Аг кош!свая вершина графа Гя, т.е. о,ша из двух граничных вершин, н~- цидснтпых концевым ребрам.

Пусть 1' — произвольный выпуклый многоугольник, Л точка на его грашше, е его сторона. Предположим, что существует отделяющий Л и с дождь Я,', такой что внутрснность стороны е псресекаст оба луча. образующих границу характеристического конуса С(г1, Я'). Пусть Х произвольная точка из С(т1, Я') С е.

Следствие 2.11 В сдгланньн только что предположениях, суи!ьсптььушп дождь Я, параллельный Я', также отделл~тций Л от е, такой что пе.- ресечение з,неи м(у1, Я) г: .,мноеоугольниго,м Р является зквивалгтпной Гг минимальной остью типа змея с выпуклой границей, причем Х концевая вершина этой сьпьи. Следствие 2.12 11устпь АВС произьольный треугольник, и Х тобол внутренняя то ти отрезка ВС.

11усть Х некшпорый паркет-змея, Ги двойспььснный грагб элеи У. Тогда суилествуст минильальная сеть Г, эквпволентная Гк, токая что всг граничные вгрилины ггти Г лсясат на сгпороная треугольника АВС (а, значит, Г содержится в треугольнике АВС), пра:тм ребро из Ги, соотьетгттвугои!ее концевому ребру змеи Х, вытодипг из точка Х. а ргализации всея отростков элеи У параллельны опгрезку ВС. Разработанная в настоящем раз,леле техника будет существенно использоваться в дальнейшем прн построении минимальных реализаций.

Характеристики

Список файлов диссертации