Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Предложение 2.10 г йюбой скелет пз И)Ро, пл)еюин)й узел вынвяения, состоящии' более чс))ь из ог)но)) ячейки, можс)п быть получен рсдукциси' и-го типа из скс.,ьепьа, также принадлежащего И)Рз, и.ноющего на один узе.) ветвлсная боль)ае. В частпоспн), каждый скелет из И)Рз поау тется. нос)ьег!оватегььним примы)ением операции редукции П-го типо из принадьежо щего И)Рз скеле)па, каждый узел ветвления которого соси)оппь ровно из одной я )ейки. Следствие 2св Любой оке,ьет ьщ ИЩ моэнтт быть получен посьедоватсльнььм примснснисл) операции редукции к некоторо.ну скелету из И)Рз, и.мсюиье.ну 6 концевьи:,зинейных участков и узлы ветвления, калгдый из которых согтоит ровно из одной я )гйкп.
Определение. Скелеты из ИЩ, имеющие 6 концевых линейных участков и узлы ветвления, каждый из которых состоит ровно из одной яче)ькьл, назовем невырожденными б-скелепьами. Итак, описание скелетов из И)Рз свелось к описанию нсвыро)кдснных б-скелетов. 8.5 Направления концевых линейных участков скелетов из И'ф Пусть 5 деревянный скелет, и Т произвольный его концевой линейный у )веток. Ориентируем ось 5р! участка 1. так. чтобы концевое звено оси было последним. Определение.
Направленил,ми концевого линейного уча)инка 1 назовем направления векторов-звеньев его оси вр 1., ориентпроващьой как описано вьппс. Предлыжьзнно 2.11 11а)ьраь.)ения концевьп линейньм учаспьков преп)гзвозьь- ного скелеп)а из И)гз )ьопарыО различны. Доказательство. Предположим противное, т.е. пусть ншплась пара концевых линейных участков 1) и Ц скелета .5, множества направлений которых пересекаются.
Это означает, что некоторые звенья, скал)ем 1„и 1,, их ориентированных осей сопаправлены. Рассклотрьльь наименьший подпаркет Теорема классификации скелетов из ИЩ 116 Рис. 2.19: Коды невырождснных 6-скслетов Р в с1, содержщпвй конпевые линейные участки 1., и 6 . Легко видеть, что Р линейный паркет, причем звенья 1„и 1, ого оси имеют противоположные направления, т.е. РаР ) 6. Противоречие. 8л6 Коды невырожденных 6-скелетов Выше, в разделе "Ось ' настоящей главы, были определены коды деревянных скелетов.
Ясно, что кол невырожденного 6-скелета представляет собой плоское бинарное дерево с шестью вершинами степени 1. Таких дс1эевьев, с то ьностыо до эквивалентности, ровно трн (рис. 2.19). Не представляет труда построить примеры невырожденных б-скелетов, коды которых эквивалентны каждому из этих трех деревьев соотвстстненно. Вудем называть коды певырожденных 6-скелетов кодами 1-со, О-со и У1-го типа в соответствии с рис.
2.19. Итак, доказано следующее предложение. Предложение 2.12 16оды нсвыролсдгнныг, 6-скелетов представляют собой вссвозжоакные илогкис бннорныг- деревья с шестью вери~она.ни степени 1. Поскольку каясдый скелет из И7~~ может быть получен редукцией из некоторого нгвырожденного б-скелета, а операция редукции пе увеличивает ~псла ко1щевых линейных участков и может уменьшать число узлов ветвлении, игиееч место слсг1Ующег УчвеРждение.
Следствие 2г9 16оды скелетов нз ЮР~ прсдстс~вллюяп собой вссьокножныс плоские деревья с нс более ~с,и и~сетью всрнсина.,ии стгпгни 1. 8.7 Завершение доказательства теоремы 2.2 Для завершения доказательства теоремы 2.2 главное, что нам осталось сдслатьч это разобраться с тс л, какими могут быть линейные участки не- вырожденных 6-скелетов. Для этого разобьем ребра кодов пе1пярохсденных Теорема классификации скелетов из Изгнз П1з 6-скелетов на уровни, отнеся к перь ам у уроьню все ребра, ипцидентные вершинам кода степени 1, ко вглорольу уровню те из оставшихся ребер, которые смежны с ребрами первого уровня, и, наконец, к тььрстьслу уровню все оставшиеся ребра (есльь они есть). Таким образом, у кодов 1-го и П-го типа !ьсм.
рис 2.19) встречаются ребра всех трех уровней, а у кода П1-го типа ребра только первого и второго уровня. И чальнейшем нам будет удобно придерживаться следукицей терминологии. 21инейпый участок, соответствуюьций ребру ь-го уровня кода пеьзырожденного б-скелета, будем также относить к ь-му уровню. Далее, упорядо ьим линейные у ьастки по их ьислам вращения.
Будем говорить, что линейный участок является не боясг чем го,.чанов з,мегй !.ьсстьььььзь й), если число ььрашения еь о оси ьье превосходьлт трех (дььух). Предложение 2.13 11усть Ь' произвольный невырождеаньш б-скачет. 1ьзгда гго линсйныс участки устроены, с,ьедуюьцпл образом,. 1.,1инсйныс участки первого уроьня концсвььс линейньк участки ске.ьета гз', яв,ьяюи1иегзя змеями. б ео„ь,чежду ььоправленаялш соседних понцсвььх злей равен я1ьЗ. !ь. Линейные участки второго уровня нс более чем лестницы, приьсл, сгьи ориентороаоть такой яинейньпь учатпок з сторону даух концеььи змей, на ьоторьье он разветвляется, то направления звеньго его оса будут содержаться среда.
направлений тпих концевых линейных учатпков. ;3. а7инейный участок 1 тпретьсго уровня (если он еспььс) нс бо.те че,.ч яо.чаная з.чея. При ьззььом, если орпентировапл 1. в сторону любого узла вепьь.лепил Г, пьо напраьлсния зьгньь.в оси Бр Л содержатся среди направлений тезз трез: ьонцсаьмь линейных участков ььксьета 5ь контры .ьежтп в той жг связнои' компочентье паркета Я ! 1., чинь и узья Г. Доказатольство. 11) Покажем спа зала, что линейные участки первого уровня суть змеи.
Предположим противное. '!огда среди нпправлезььльь различных концевых линейных учагтков скелета 5 есть совпадающие, ч го противоречит предложению 2.11. Вььчислим теперь углы мгл ду направлениями соседних концевых змей скелета Я. Ориентируем, как всегда, контур 1б скелета Я по часовой стрелке. Пусть Вь, ь' = 1ь..., 6, последовательные боковины скелета гзд и ооозначпм через а„н !з„соответстьзеььььо начальное и конечное ребра боковины Ль. Ясно, что направление ребра а, противоположно направлению годержащего его концевого линейного участка, а направление ребра оь совпадает с направлением концевого линейного участка, еь о содержащего. Искоььос утверждение вытекает теперь из следующей леммы.
!гарема кзласснфнкацни скеле'!'Ов из Исгсз 117 Лемма 2.13 Дяя любого ! им~ет место: 1лу(а,,6,) = 2. Доказательство. Очевидно, — б сс ~ ли(а, 6с) — 3 б,. поэтому, так как И! !аы 6л) < 2, то все ела! асмые !и!а!, 6;) равны 2. Лемма доказана. (2) Пусть Е линейный участок второго уровня.
С поъющью операции редукции 1-го типа отрежем от скелета 5 те концевые змеи, на которые разветвляется А. Теперь Е концевой линейный участок полученного редуцированного скелета. !1 силу предложения 2.11, направления звеньев оси йр 6 отличаются от направлений оставшихся четырех концевых линейных участков, поэтому обязаны содержаться среди направлений концевых линейных участков, которые были отрезаны, что и требава.лось. (3) Доказательство аналоги шо (2). Ориснтирусм контур К скелета .5 по часовой стрелке, и пусть Ь! концсвыслинейные участки скелета 5, занумерованные последовательно. Следствие 2.10 Каждый концевой сгаксйныи учаспьок схслспщ 5 из Иссзь имеет нс бо.лес трех различных направлений, прпчеи зти направления последовсстельссые.
Множество напраьлессий, совтьетшпвуюи!см любьсм дву.н различным концевым линейным учасспкал! из 52 нс пересекаются.. Если ориентироваспь границу сскелепьа,5', околеем, против сасовои' тпреслки, что задасст цпклаческии порядст на множестве кот!свых,линейньлх сс спакжс сс!сиен!в!урсс апсь лпс с!пи!угольник нас!рак.,ленив прон!с!в часовой стрелкпц ппо задаст циклический порядок на ссмслссппе „нножссть нассраьлсний концсоьм линейных учиспсков, псо оба возникших порядка будуп! сссг,сасоааны: послсдовагпсльныс концевые. лииейиыс сясастки будут имсспь последовсстельньсс множества направлений. 11снользуя предложение 2.13, а также технику врезання змеи, примененную в разделе "Врсзапис змеи" для расщепления узлов ветвления, состоящих ! Х! жду кони ными чинейнызли участками скелета н концевыми ребрами го контура с ушес гвуез взаимно днозначцос с оссгветствие.
Ориептапив контура сзпредесше с цир д с онцс вых ребер, а, з ,х зинеивс сх Г шс "с к!зв с хе 1\'тв. Каж лому ваправвенпш ест естес нны з образс м с оотвечс саус т точка нв единичной окружности. Ориентация контура задает ориентаишо окружности !в нашем случао окружность ориентирована в отрицательном направлении), и, поэтому, пиклический норад ск й. Оамстим, тго в нашем с:лучае имев .ь, р, . ! ! скружнос гь правильного шестиугольника. Расположение наростов в паркетах из Итгсгт более чем нз очной ячейки, лы очевидным образонт можем преобразовать каждый линейный участок невырожденпого б-скеттета так, чтобы превратить этот скс.лет в классифипируюший.
Итак, первое утверждение теоремы 2.2 полностью доказано. Обратное утверждение вытекает из того, что классифицируюшис скелеты принадлежат ИУш Последнее легко проверяется с помощью предложения 2.7. Доказательство закончено. 9 Расположение наростов в паркетах, принадлежащих И)'Рд, на их скелетах 1т настоящем разделе будет тток матти теорема, описывюощая располозкеиие наростов паркетов из Итуо на их скелетах. Прежде вгсго, покажем, что боковины паркета независимы в гледующеът смысле. Предложение 2.14 (О независимости боковин) Пусть В гкс.лмн из Итггш о В, его боковтты.
Пусть Т), деревянный парлет, скелет которого (для нскотпорого разлоткттч) совпадает с Я, причем мнозкество Л, всех наростов паркета Р, крепится ь- одной боковине В,. Прсдположттм, апо казитдый паркепт Р, принодлеисит ИЯ. Тогда паркет Р, полученный из В присогдииснием вссх наростов из мнозкесптва Нлт, тикже принадлелсит, ИтВт;. Доказательство. Поскольку присоединение нароста к боковннс меняет только эту ооковнпу, предложение следует из предложения 2.7. Из предложения 2.14 вытекает, что достаточно описать возможное расположение наростов на одной ооковипе скелета пз И'тот.
Теорема 2.3 (О расположении наростов) Пусть Р паркет из Ит)ш и Р = В 1) ттЛ,) его разлонсетт1те иа гкглгт и наросты. Пусть В некоторая боковина скететтта В. Ориснтпируем В в соответствии с обходоч контури сколоти В тто часовой стрелке. Тогда наросты ииркгти Р .чогут располагаться на В по с.,тедтутоттттт,тт правилам (с„ч. рис. 2.20). (1) Если В змея, на расиолозкснис наростоь на В никаких ограничений нет.
(2) Пусть В леспттттта. Вудгм двигаться по В в соответсттт с ориентацттй. Тогда встречатощиеся ттаростттьт сначала рогполозкены произвольным образом на звеиьят ог)ттого и тото лгс ттаправлсния, а зать,м, ничиноя с некоторого момента, лишь на звеньях другого направлгния, состпавляютигго с первым угол — тт,тЗ (если, конечно, звенья токого иаправлтгия сутдтттпвункит). Расположение наростов в паркетах из И7о лестн ц ломаная змея Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
