Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 26
Текст из файла (страница 26)
а также 6 и д), имеет место следукппее соотношение: 2к = — !ит(а, 6) + к — — !и[к, у) + к, 3 ' 3 1Еоковины н нх свойства 155 Рис. 2.15; Числа вращения оси и боковины равны откУДа ъъъэ1а, Ь) = (ъъ" 1х, У), и, поэтомУ, $и ВР Е < Ьи В. '!тобы получить обра гное неравенство, рассмотрим часть В' боковины В, соединяющую тс ребра х и у боковины В, на которых достигается число вращения для В. Пусть гз и Ли ячейки из Ео имеющие соответственно х и у своиъш ребрами.
Обозначим через Е.' наименьший связный подпаркгт в Е, содеРжащий Ячейки Гъя н (ъи, 11спо, что Е. линейный скелет. Пусть 7 пересечение оси брЛ скелета Л с паркетом П. Очевидно, соответствующие концевые звснья ломаных В' и 7 параллельны между собой. Поэтому мнгц оугольник Р, составленньш нз ЕЕ', 7 и половинок и н и ребер паркета Е', дополнякяцнх В'Ыу до многоугольника, обладает тгэл жс свойством, что и вьппе.
Л именно, прн обходе многоугольника Р против часовой стре:пси во время перехода через ребра и и и мы поворачиваемся на г. Записав условие равенства 2к полного угла поворота при обходе против часовой стрелки многоугольника Р, найдем, что Ьъъэ(а, Ь) =!ъъ(х, у), н, поэтому, 1и (эр Е ) (и В.
Доказательство утверждения закончено. Следствие 2.7 Пусть Л линейный деревянный скелет, согтояи(ий нс ленге че,н иэ трех ячеек, и В произвольная ега боковина. Тогда Если паркгт (7 состоит лгнгг чс,н иэ трех ячеек, то (лъ В = О. Перейдем теперь к главной цели настоящего раздела, а именно, покажем, как условно принадлежности деревянного паркета классу ИЬгаь может быть сформулировано в терминах боковин этого паркета. Предложение 2.7 Пусть Р = ВН 1гЛ() деревянный паркгпц и )ВЕ) лнагиество всех его боковин. Тогда Р Е И((а гели и только если ° ~игла врач(ения каакдой боковины В нг превосходит 2: 1ъъь Р < 5) е=". 1(ъь ВЕ < 2 для всех (). 1!оковины и их свойства 106 Доказательство.
Пусть Р паркет из И7ш а Л произвольная его боковина. Обозначим через У. подпаркет в В, составленный иэ всех ячеек паркета Р, имеющих непустос пересечение с боковиной В. Ясно, что А линейный скелет, принадлежащий И7)г Поэтому, в силу следствия 2.7, либо 1п В равно нулю, сели 6, состоит монсе чем из трех ячеек, либо, в противном случае, !и В = 1и !. — 3 < 2. Тем самым предложение доказано в одну сторону. Ооратно, предоо.южим, гго гисло вращения каждой ооковины Лз не превосходит 2. Пусть Еб контур паркета Р. В силу утверждения 2.11, ,достаточно показать, сто число вращения лзобой пары ребер контура пе больше 2 и не меныпе — 8.
Пусть а и 6 пара произвольных ребер контура К. Как и выше, ориентируем К по часовой стрелке, и обозначим через ; тот из двух путей в контуре. соединяющих а и 6, для которого а первое, а 6 последнее ребро в выбранной ориентации. Если путь з целиком лежит в одной боковине, то ш копая оценка на 1п(а, .6) выполнена по прсдположснннь Пусть теперь; не лежит в одной боковине. Концевые ребра и концевые вершины контура, попавшие нз путь у, разбивают этот путь на участки уб калсдый из которых является связной частью некоторой боковины. Обозначим через о, число вращения между первым и последним ребрами пути ~;, а через,З; число вращения между последним ребром пути ~; и начальным ребром пути ~,е~. Отметим, что э, равно ( — 2п/3)/(л,~3) = — 2, если д стыкуется с ";ге~ по концевой вс!зшинс, и ( — т)/)я/3) = — 3 в случае, когда эти пути стыкуются по концевому ребру.
Оценим сверху число вра|цения между ребрами а и 6: 1ъ(а,6)<~ о;+~ ~А<26 — 2(Й вЂ” 1)=2. Чтобы получить оценку снизу, заметим, что Ри(а, 6) + 1и (6, а) = — б, поэтому 1п(а, 6) > — б — !п(6, а) > — б — 2 = — 8. Доказательство предложения закончено. Замечание. Вообще ! оворя, из о~ раничещнн:ти числа вращения боковин деревянное о паркета не следует ограниченность числа вращения самого паркета. На рис. 2.16 приведен пример "спирального паркета"' с числом вращения, равным О, у которого число вращения каж,чой боковины не превосходит 3,'1егко видеть, что, увеличивая ' шсло витков', можно получить спиральный паркет со сколь угодно большим числом вращения, боковины которого имеют числа вращсния, не превосходящие,'1.
ореорема классификации скелетов из Ичпз 107 Рис. 2.!6: Спиральный паркет 7.4 Терминологические замечания Как было показано выше, числа вращения осей линейных скелетов из Из;З, линейных участков паркетов из И'Рз, а такясс боковин паркетов из Изуш пс превосходят 2, т.с., будучи расклассифицированы своим числом вращения, могут быть ровно трех типов, так же, как и лзлззейньзе скелеты (участкзл паркетов) из Изрш Удобно перенести на ось и боковины названия тех линейных скелетов, оси 1боковиназззз) которых онн являются. зз именно, ось (боковину) А назовем з„неен', если ел А = О, .зеепззпзуьзз, если рк А = 1, и ла.наной змеем, если ззя А = 2.
8 Теорема классификации скелетов из И2Рд Выше мы построили код скелета з', являющийся плоским графом и описывакиций топологию скелета Я. Оз1пако код не отражает геометрических особенностей скелета 1з', таких как, скажем, взаимного расположения направляющих линейных участков, входящих в 11. Позтому для описания геометрии скелетов построим схему ске.зета о', закодировав каждый узел ззетвлення кружочком, л кюкдый линейпыи участок 1, набором черточек по следующему правилу: если 1, змея, то поставим ему в соответствие одну черточку, параллельную оси участка 1,; если 1, ззеспззица, то постюзим ему в соответствие пару пересекающихся зерточск, каждая нз которых параллельна одной из двух направляющих участка 1; если жс 1 ломаная змея, то поставим в соответствие 1 три параллельные между собой черточки и параллсльныс единственной направляющей участка 1,.
Теперь все готово для того, чтобы сформулировать и доказать первую основную теорему из настоящей главы теорему классификации скелетов из Изьзз. Тьзорсзма 2.2 (О классификации синклитов) Пуезпь з дереелнньзц екь:зет с шело„н ерагпенпя, нс прееосводлгпнм 5. '1'оеда он .ззоззсет, быть получен поеледоаательныа прнлз пением оперения редукпип и некоторому '1еорема кзшсспфикации скелетов из И'зпз 108 ~и Ш Рис.
О.1Х Схс.яы клззссизрицируюиЗих скелетов скелету одного из трет канонических типов, схслы которых азобралсвззьз на рззс..! У. Обратио, кавсдып скезет, получениыи' последовазоелвиыя прижеиепиея операций редукции к проззззвольнону сксагту одного из трет канани тских, типов, приладлехюит Излз. Опродоленио. Скеле пи из Изсп с пзестькз концевыми .зипейными участками.
схемы которых приведены на рис. 2.!7, называются кззассивзицируюизижи скелета„яи 1-го, П-го или Ш-го типов в соответствии с ри вской цифрой, приписанной колу на этом рисунке. ,з[оказззтеззьсзззо теоремы 2.2 проведем в несколысо шаз ов. Сначала отметим, что для линейных деревянных скелетов теорема тривиальна, поэтому будем предполш ать, что скелет сз' содержит по крайней мере один узел ветвления. У таких скелетов удобзззо выделить некоторыс линснные участки, которые мы назовем козззЗеззьзззи. Он1зодолсзнизь,з1инейззз,зи участок скелета,Я, содержащий крайнюю ячеику, называется концовы,н. Скелет сз, содержащий й концевых линейных участков, будем называть й-скелетом.
Отметим, что у лззнейноз о деревяшки о скелета имеется два совпадающих концевых линейных участка (фактззчсскзз, под концевым линейным участком деревянного скелета мы понимаеъз пару, состоящую из крайней ячейки и содержащего сс линейного участка). Прежде всего, мы докажем, по число конпевых линейных участков скелета .з нс превосходит 6. Затем, с помощью операций антиредукпии, мы научимся достраивать произвольный скелет из Из7~ до б-скелета, также лежащего в И 1оз' и имеющего лишь такие узлы ветвления, которые состоят ровно из одной, ячейки. Так как операции редукции и антиредукции нзаззмно обратны, нам останется раскззассифипир~звать полученные б-скелеты, что п завершит доказательство теоремы.
'теорема классификации скелетов из И2п 168 Перейдем теперь к реализации очерченного плана. 8.1 кхисло концевых линейных участков скелета из И'Т3 Пель настоящеь о раздела доказать следующее предложение о числе концевых ляпеиных участков скелетов яз И1ш Предложение 2эв '1исло калиевых.лияеияых риасошоь ароизьольшскю ске- лета и из И11о ие превосходит шести. Доказательство. Отметим. что число концевых линейных участков скелета с1 равно числу концевых реоер его контура 1С Напомним, что концевые ребра разбивают контур па боковины В„число 1с которых также совгьадает с числом копце1плх линейных участков.
По предложению 2.7, число вращения каждой из боковин 11, не превосходит 2. Ориентпруеьз контур 11 по часовой стрелке. Тоь да, число вращсния между последним ребром произвольпоя боковины и первым ребром боковины, следующей за ней, равно, очевидно, — 3. Поэтому, условие равенства — 2я полного угла поворота при обходе контура 11 по часовой стрелке, ласт следующую оценку на ь': — 6 = ~ ~1н Л, + ( — 3) й < 21 — 3й = — 1, откуда ь < 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
