Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 23
Текст из файла (страница 23)
так как при добавлении к паркету ячеек его число вращения может только увеличиться, то, используя предложение 2.5, получаем утверждение следствия. Следствия 2.2 и 2.3 непосредствевшо вытекают из предложения 2.5. Следствие 2.2 Число орошения линейного скелета пе прсвосходшп пяти тогди и оьолько тогда., когда число вращения его оси нс превосходит двух. Следствие 2.3 Писло ьраилснил оси линейного участка скелета из ИЯ не прсвосходшп двух,. Следствие 2гй Ось линейного скелсп~а из ИЗ1~ однознстно проькпьируьтся на нскоторую направля<ощую паркета плоскости. Доказательство. Достаточно воспользоваться утверждением 2.3 и следствием 2.2. Следствие 2.5 Ось линейного учасьпка скелета из Ий~ однозначно просктирустсл.
на нскотор|ро направллншвуьз паркета плоскости. Доказательство. Достаточно воспользоваться утверждением 2.3 и следствием 2.3. 5 Структурные элементы скелетов иэ ЮРд Выше мы построили разбиение произвольно~ о деревянного скелета на узлы ветвления и линейные участки. Настоящий раздел посвящен описанию узлов ветвления деревянных скелетов и линейных участков скелетов с числом вращения, не превосходящим 5. Структурные элементы скелетов из ИЯ 02 /,;,а д Рис. 2.!О: Узлы ветвления деревянных паркетов 5.1 згзлы ветвления деревянных скелетов Оказывается, в деревянных скелетах, в независимости от их числа вращения, может астре нзться всего пять типов узлов ветвления, а именно, имеет место следующее предложение.
Предложение 2.6 Узлы ветьясния деревянных пврнетоь жогут быть лишь следующих пяти типов, приведенных нв рис. 2.10. Доказательство. Доказательство предложения проведем в несколько ша- гов. Лемма 2.6 Контур узла ветвления дсреояоноео паркета представляет собои' выпуклый л~ногоугольнин. Доказатольство. Предположим противное. '! огда контур узла ветвления содержит два соседних ребра, скажем а и 5, внешний угол между которыми равен или 120' или 60'.
Поскольку узел ветвления состоит из внутренних ячеек, к ребрам а и 6 неосбходимо крепятся ячейки паркета. Легко видеть, что объединение этих ячеек и узла ветвления содсрисит цикл, что противоречит деревянности паркета. Лемма доказана. Итак, контур узла ветвления выпуклый и-угольник с уылами, равными 120' или 60'. '1акие многоугольники существуют лишь для небольших и,, а именно.
Лемма 2.7 Пусть и висло сторон ьыпуняого многоугольники с угли.ни, ровныжо 60' или !20'. Глогдо 3 < и, < 6. Более то о, кооидый токой иуговьшла содерхсит, ровно 6 — и углов по 60'. Доказательство. Пусть й и ! количества углов в 60' и 120' соответственно. 'Ищла и 2п пГп — 2) = х(у+ 1 — 2) = — 1. + 3 3 Структурные элементы скелетов из И!!о '', а! у, ай .' .аз 1 Рис.
2.11: Длина звена контура узла ветвление нс больше 2 поэтому 2й+ ! = й+ п = 6. "1сперь утвсрзкдение леммы следует из нсотрицательности !ч Лемма 2.8 1'оеидое зшъо кашпура узла вспшлснил д~ рсвлнноео паркета состпоисп не более зе.и иэ двух ребер. Доказательство. Предположим противное, т.е. существует звено контура узла ветвления, состоящее из трех или более ребер. Пусть оы аз и аз три подряд идущих ребра этот о звена, К ка.кдому а; обязан крепиться подпаркет Вь состоящий не менее чем иэ двух ячеек (напомним, что узлы ветвления паркета определяются для его скелета, т.е.
паркета без наростов). Пусть Ь; ячейка из В;, смежная с рассматриваемым узлом ветвления, и Ь некоторая ячейка из 13з, смежная с сзз. Легко видеть, сто паркет, составленный из рассматриваемого узла ветвления, ячеек !з; и ячейки !з, не является деревянным (сзь рис. 2.1! ). Полученное противоречие и завершает доказательство леммы.
Рассмотрим разбиение Р плоскости на параллельные полосы паркета. :дто разбиение порождает разбиение уэлл ветвления на подпарксты, называемые рлдали данного направления. Ряды, находящиеся в соседних полосах, паэовс л сжсжнььни. Пусть Д и В два смежных ряда узла ветвления, порожденные полосами паркета Х>л и 'Пв из разбиения Т>, а ! направляющая паркета плоскости, совпадающая с персее сеписм полос 2зл и Пн. '1огда, в силу выпуклости узла ветвления, пересечения рядов Л и В с прямой 1 являются ~отрезками и равны между собой.
Такие отрезки назовем отрезками склейки данного направления. Лемма 2.9 Наожоый отрезок склейки узла ветвления осревлнного наркома сосшоит не более чел иэ однова ребра. Доказатсеяьство. В противном случае, внутрь узла ветвления попадает вершина паркета, поэтому лвойствснный граф узла ветвления содержит цикл. СтРУктУРные элементы скелетов из ИЭ1аэ О Р.
(ь) Рис. 2.12: Узел ветвления является треугольником или четырехугольником Вернемся к доказательству предложения. Из леммы 2.10 вытекает, что узел ветвления П представляет собой п-угольник, где п < 6. 1. Пусть п = Уь По леммам 2.7 и 2.8, узел ветвления Г правильный треугольник со стороной, состоящей нс более чем из двух ребер. Оба эти узла приведены на рис. 2.12. 2. Пусть п = 1.
По лемме 2.7, узел ветвления П илц параллелограмм или трапеция. В первом случае стороны узла-параллелограмма могут состоять из одного или двух ребер, причем случай 2 х 2 не реализуется в силу леммы 2.Я. Во втором случае, 11 трапепия с основаниями, состоящими пз двух и одного ребра. Отсюда вьэтекает, что боковые стороны этой трапеции состоят из одного ребра. Все три возможных узла-четырехугольника приведены на рис. 2.12. 3. Пусть и = 5 или и = 6.
По лемме 2.7 у контура узла Г имеются два соседних угла вс.энчины 120', прилегакяцих к звену а контура. Пусть Л единственный содержащий и ряд направления а. Тогда П не совпадает с рядом А, поэтому у ряда А имеется отрезок склейки, состоящий не менее чем из двух ребер, это противоречит лемме 2.9. Доказательство предложения закопчено. 5.2 Линейные участки В настоящем разделе мы опишем линейные участки 1. паркетов пз И'ьш В силу следствия 2.5, оси Яр 1, таких линейных участков однозначно проектируются на нскоторыс направляющие паркета плоскости, называемые направляющими линейного участка. Поэтому в ориентированной оси Вр 1, ее вектора-звенья моэ уг быть лишь трех направлений.
Кремс того, такис бр А могут щэосктироваться на несколько непараллельных направляющих паркета плоскости. Для удобства изложения, пижс, направляющей будем также называть целый класс параллельности одной из таких прямых. Тсъе самым, имеет смысл говорить, что линейный скелет (участок) обладает одной, двумя или тремя направляющими. Структурные элементы скелетов из ИЛо Уус Опродсшопио. Линейный скелет (участок), имеющий три направляющих, называется зяссй. Такой скелет целиком находится в некоторой полосе паркета плоскости, и его ось отрезок прямой. Число вращение оси в этом случае равно 1. Линейный скелет (участок), имеющий две направляющих, называется лсстнипсй.
Ориентированная ось такого скелета (у светка) состоит из векторов-эвеш,ев двух направлений. Число врщцение оси равно 2. Линейный скелет (участок), имеющий одну направляющую, называется ломакой зяссй. Ориентированная ось таюл о скелета (участка) состоит из векторов-звеньев трех возможных направлений. '1исло врыпения оси равно 3. Паркет, состоящий не более чем из трех ячеек, всегда является змеей. Отметим еше раз, что линейный участок, являющийся змеей как паркет, может быть ломаной змеей как линейный участок.
Линейный участок из одной ячейки всегда змея, из двух ячеек змея или лестница, нз трех ячеек змея, лестница или ломаная змея, т.с. любой из воэмоькных типов. Для более наглядного геометрического представления линейного скелета (участка), разобьем его на подпарксты, каждый из которых состоит из ячеек, оси которых входят в данное звено оси. Ясно, что полученные подпарксты являются змеями, причем оси смежных змей имеют различныс направления. Утворждсзпио 2.5 Линсйныс скслсп~ы (уиаспьки) прес)сплавляют собой объединения послсдоьаиьсльно ис)утих зясй, причем послсдоваспсльныс змеи илсгюси раз ли оныс направления. Используя понятие направляющей линейного скелета из ууьт легко доказать следуюп1ее утверждение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
