Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

.яининальиос бинарное дерево с выпуклой Предложение 2.3 Пусть Г границей. 2вгда 1н(Г) < 5. Доказательство. Если Г состоит из одного ребра, то все очевидно. Пред- по.южим теперь, что Г содержит более одного ребра. Пусть (а, 6) произвольная пара граничных ребер дерева Г, и 2 путь в Г, соединяющии а с 6 и ориентированный от а к 6. Так как, по утверждению 2.

1, число вращения плоского бинарного дерева Г достигается на его граничных ребрах, достаточно показать, что $к)а, 6) С 5. Для этого, в силу минимальности дерева Г, достаточно проверить, ч го угол поваров а от ребра а к ребру 6 вдоль ломаной у строго меньше 2я. Обозначим через - этот угол поворота. Ясно, что = (г(К) !и !а, 6). Пусть М образ граничного отображения дГ, н И' граница выпуклой оболочки множества М.

Обошачнм через А и Л "гочки из М, в которые приходят ребра а и 6 соответственно. Точки А н Л разбивают замкнутую ломаную И' на двс ломаных И'1 и И'з. Ориснтирусм логяаную И' в положительно л направлении, а ломаные И'~ и И'з в соответствие с ориептапией .юманой И'. Обозначим через л, угол поворота от на шльного ребра ломаной И) к конечному ребру этой ломаной. Рассмотрим замкнутые контуры у,, = 1+;,, 0 ! н зададим на них положительную орисптапшо. Пусть о, и 3, соответствующие углы поворота при переходе с пути у па ломаную И", и обратно, с ломанои И', на путь во время обхода контура д в положительном направлении, ряс. 2.1.

Плоские опнарные деревья и диагональные триангуляции ат Рис. 2.1: Полный угол поворота пути у меньше 2я Поскольку полный угол поворота вектора-ребра при движении в положительном направлении по замкнутому контуру, ограничивающему область, равен 2я, имеют место следукяпие соотношения: я+ от +лт+Д = 2я — я+т1з+ те+ од = 2т, Отметим, что, в силу певыроткдеппости минимального бинарного дерева Г, ребра а и Ь не лежат на И'. поэтому углы о, и д, положительны и строго меньше тг. Кроме того, в силу выпуклости И', углы ит и лз нт отрицательны и их сумма равна 2я, поэтому каждый из них нс превосходит 2тг. Бтлчтсчт теперь из первого соотношения второе, вттразим из полученного уравнения и оценим его модуль.

!!меем: 1 ! ~-~ < —, Ц~из — ит ~ + ~оз — гтт + ~Зз —,Зт ~) < —, т!2Я + и + Я) = 2л, 2 2 что и т1эсбовалось доказать. Оказттвается, как мы в дальнейшем увидим, имеет место утверждение, обратное к ттреттттгвкеттито 2.3, л именно, каткдое плоское бинарное дерево с числом вращения, нс превосходящим бт, имеет выпуклую атинима.льную реализацию. 2 Плоские бинарные деревья и диагональные триангуляции гт!ття описания хтиттттматтьттьтх бинарных деревьев с выпуклыми граттипами удооно воспользоваться двойственным объектом, а именно, диагональными триангуляциями многоугольников. Плоские бинарные деревья и диагональные триангуляции 73> 2.1 Соответствие между плоскими бинарными деревьями и диагональными триангуляциями Пусть И' плоский п-угольник, и Т = 1гз,), некоторая его диагональная триангуляпия.

Ишями словами, многоугольник И' ра>бит па треугольники Ль каждый нз которых образован некоторой тройкой из сторон и диагоналей и-угольника И'. '1зким образом, И' = О,,Ь, и внутренности разных треугольников ьь> нс пересекаются; в частности, ка,кдый треугольник >з; принадлежит И' !вообще говоря, мы нс предполагаем, что и;угольник Иг выпуклый), "!рсугольпики триангуляции 7' будем называть ячейка.яи. Стороны и вершины ячеек триангуляции Т называются соответственно ребрами и вершинами триангуляпии Т: при этом, ребра триангуляции Т, являющиеся сторонами ть-угольника И', называются грани чиььяи, а все ос>гальные ребра анутргт>ими ребрами или диагоиоил ми.

По каждой диагональной триангуляции Т многоугольника И' можно построить плоское бинарное дерево, называемое двойственной сетью этой триаш уляции. Отметим внутри каждои ячейки гэ, по одной точке и„а также внутри каждого ь раничного ребра 6; (стороны и-угольника И') по одной точке щ,.

Каждую пару точек г, и и,, таких что ячейки >з, и Гз> смежны, соединим вложенной кривой;,>, лежащей внутри Ь,СЬ . !(ажлую пару точек г, и и „принапиежащих одной ячейке Ло также соединим ~>ложснной кривой бн, внутренность которой лежит внутри Ль 1(ривые 7; и д; щ>овсдсм так, чтобы внутренность каждой из них нс пересекала обьединение всех остальных кривых этого сгменства. !'ем самым мы получим вложенную сеть, ребра которой кривые;,> и Б,>, а гьртииы нонны этих кривых. Полученная сеть и называется доойьтоенной сетью триингдлль!ии Т и будет обозначаться черсз Гт. Рсбра 7>> двойственной сети Гт назывгн>тся виуп>7>гииияп, а Д„грпьщииььии.

Обратно, пусть Г плоское оинарнос и:рево, граница которого состоит из п вершин. У!ы хотим построил, триангуляцию 7' некоторого гяногоуь ольника И', такую что сс двойственная сеть Гт эквива.лснтна ости Г. Отбрасывая тривиальный случай, когда !" состоит из одного ребра, будем предполагать, что и > 3. Если и = З,то выбсрем в кгчествс И' произвольный треугольник, а в качестве Т единственную триангуляцию треугольника И, состоящую из одной ячейки И'. Ясно, что Гт и Г эквивалентны. Пусть теперь и ) 3.

Обойде л дерево Г в положительном направлении, и пусть еь,...,ьь > последовательные 1 раничные ребра и> Г. Пусть И' произвольный выпуклый п-угольник. Орнснтирусм Иг в положительном направлении, и пусть Ьг>...,ь>ь > последовательные стороны из И'. Для удобства изложения, индексы ! в с; и 6; мы будем рассматривать как элементы из группы пь. рассмотрим естественное взаимно однозначное соответствие и между граничными рес>рами дерева Г и сторонами многоугольника И', определен- Угу Плоские опнарные деревья и диагональные трнаш уляпип пое так: и: е, е-У 6г По лемме 1.1, деРево !' сореРжит пекотоРые Усы 5е, Г).

Ясно, 1то усы 5е, Г) имеют вид 5ея. ел<.1) для некоторого Й Е 7$,г Стороны 6ь = и!еж) и 6ь+л = и(еллл) многоугольника И' соседние, поэтому существует единственная диаголлаль 6ььлл многоугольника И", образулощая вместе со сторонамп 6ь и 6ьлл некоторый треугольник лзл. Пусть ел лил ребро из Г, смежное одновременно с ребрами еь и сьлз. Отрежем от дерева Г усы !ел, еял.л), и обозначим полученное бинарное дерево через Г'.

Одновременно отрежем от мнол оу1 ольника И' треугольник Ль и полученньш выпуклый мнол оугольник обозначим через И' . Зададим взаимно однозначное соответствие и между граничными ребрами дерева Г и сторонами )и — !)-угольника И', положив его равны л и для всех гра- 1 ничных ребер из !', отли шых от ельч.л, и определив его на ребре еьяжл 1 единственно возможным способом: и: сь ь.ьл е-у 6ььлл. К вновь полученной тройке 5Г, 5И, и~) применим вышеописанную операцию. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока многоугольник И' яе превратится в нскоторыи трсул ольник лп Обозначим через ллзб ! = 1,..., и —,'5, треугсыьпик, отрезанный от перестроенного хлно~ оугольника И' на вом шаге, а через лх„з треугольник лп В результате мы получаем триангуляпию '1 = (лз„) многоугольника И', у которой двойственная сеть Гт эквивалентна Г.

Опишем теперь пскоторыс структурные элементы триангуляций, которые будут пам полезны в дальнейшем. 2.2 Структурные элементы диагональных триангуляций Пусть Т = (Л;) некоторая диагональная трианлуляция произвольного многоугольника И'. В соответствии со сделанным выше соглашением, все граничные вершины двойственной сети Гт принадлежат грани шым ребрам трцзнгуляпии Т и, обратно, калсдое граничное ребро из Т содсржллт !ювао одну вершину двойственное сети 1'г, и эта вершина являе:1 си и!>аничной лля Гт. В частности, каждое граничное ребро сети Гт пересекает ровно одно ребро триангуляции Т и это ребро из Т является граничным; обратно, калсдос граничное ребро триангуляции пересекается с единственным граничным ребром ости 1т. Далее, каждое внулрсннсе ребро двоиственной сети Гт пересекает единственную диагональ триангуляции Т, и обратно, каждая диагональ трцангуляции Т пересекается с единственным внутрспнихл ребром сети Гт.

Таким образом, мы описали следующие естественные взаимлло одпозиач- 77 Паркетная реализация ные соответствия: (г1эаничныс ребра Т) (граничные ребра Т) (диагонали Т) (ячейки 7 ) — (граничные вершины Гт) — (гранпчпгяе ребра Гг) е — ь (внутренние ребра Гт) — (шьутрепние вершяшл Гт) 3 Паркетная реализация бинарных деревьев с не превосходящим пяти числом вращения Рассмотрим каноническое разбиение плоскости на кон1 рузнтныс правильные треугольники..'Это разбиение можно получить так. Разобьем плоскость на полосы одинаковой ширины семейством параллельных прямых. 11мснно описанные только что соо гвстствня н будут иметься в виду в дииьнейтсм.

Если двойственная сеть диагональной триангуляции '( обладает некоторым свойством, то мы, в дальнейшем, буде л говорить, что сама триангуляция '1' обладает;ним свойством. Так, например, совокупность ячеек из Т называется связной, если пересечение двойственной соти Гт с этими ячейками связно. Или, скаькем, число вращения сети Гт будем назьпзать англо„и араьценцл трцанецляццц 7'. Далее, будем говорить, что диагональная триангуляция 7' имеет минц„яальярю реализоцию (соответственно, ьь~прк.цдо .минимальную реолцзацию, прпапаьнцм .минимальную реп ьцзиццм), если такой реализацией обладает сс двойственная сеть.

Характеристики

Список файлов диссертации