Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

имеют положительную проекцяк> па прямук> 1, ььоэьому ломаная й проектируется на 1 однозначно. Обратное утверждение очевидно. Пто и требовалось доказать. Таким образом, для доказательства предложения 2.! достаточно показать, что число вршцсния оси линейного участка скелета из И7~~ нс превосходит 3, В следуя>щсм разделе мы определим осевой граф, который позволит пам наглядно представить связь между числом врагцспия линейного скелета )участка) и его оси. 4.5 Осевой граф Пусть 1. произвольный линейный скелет или линейный участок некоторого деревянного скелета, и пусть Вр!.

его ось. В си.ьу лиььейноспл, каждая ячейка из 1 имеет ровно олпу ось. Рассмотрим в каждой ячейке то сс ребро, которое параллельно содержащейся в ней оси, и соединим середину этого ребра с середщ|ой осн отрезком. Такие отрезки будем называть отростками. Рассмотрим объединение оси Вр 1. с отростками я зададим па пем структуру сети следующим образом.

Вершинами сети будут два конца ломаной Вр!, и все концы отросгков (дьья каждого отростка его "то ька крепления' к оси, т.с. середина оси ячейки, и соответствующая середина стороны ячейки), Так построенную сеть будем называть осевым граь1>о„я и обозначать через Гяр.

Следующее утверждение очевидно. Паркеты и их свойства УтвеРжцение 2г4 Осевой гРаф линейного оке.нта (Участка) эквивалеге тен двойсптснному ерафу этого скеявта (участка). Поэвпому, в частносп~и, их числа вращения сотшдавт. Отметим, что не все ребра осевого графа являются отрезками. Реора из Гвр, нс являюшиеся отрезками, называются ребрами поворота. Ребра осевого графа, не являющиеся ребрами поворота и отросткачпн называются прямььии ребрами. Ребро осевого графа называется кониевмн, если оно инцидентно концу оси. Отметим, что концевое ребро всегда прямое.

Итак, у осевого графа нме|отся: прямые ребра (концевые и неко|щевряс), ребра поворота и отростки. 4.6 Связь между числом вращения линейного деревянного скелета и его оси Пель настоящего раздела доказать следующее предложение и следствия из него. Предложоние 2.5 Пусть Е линейный скелет, состоящий не „явнее чем из трех ячеек, и Ир1 его о(ь. Тогда Ьи Г =!ибрГ+ 3.

Если экв паркет 1, сосьаоит .ивнев чем из т1тх ячеек, то уибер 1, = О. Доказательство. Идея доказателтства состоит в следующем. Рассмотрим осевой граф Гьр скелета А. Сначала мы цокая,см, что число вращения оси достигается на звеш,ях а и 6, состоящих пе менее ~ем из двух осей ячеек. Последнее означает, что к звеньям а н 6 крепятся отростки с обоих сторон каждор о звена. Далее, будет доказано, что число вращения осевого графа достигается па некоторых отростках.

Затем мы покажем, 1то число вращения между отростками осевого графа отличается от числа вртпения между звеньями а и 6 оси, к которым зти отростки крепятся, не более чем на 3, и равно полному углу поворота при движении по пути в Гхр от первого отростка ко второму. Этот угол может быть легко вычислен. Он равен хх12+ (к13) Ьи(а, Ь) х к12 (в силу того, что отростки крепятся к оси под углом в я1'2). Тот факт, что звенья а и 6, на которых достигается число вращения, состоят нс менее чем из двух осей ячеек, позволяет выбрать в последнем соотношении знаки плюс, что и завершает доказательство предложения. Перейдем к подробностям. Лемма 2.1 Пусть а и 6 зьенья оси 6РГ, токио что 1и(а,6) = ьи ИрА.

Тогда каэкдое иэ звеньев о, и 6 состоит нс,ивисе чс.н иэ двух осей ячеек. Паркеты и их свойства Рис. 2.6: Взаимное расположение трех последовательных осей ячеек Доказательство. Для определенности, будем доказывать лемму для ребра а. Если а крайнее звено ло ланой Вр й, то а, по определению оси скелета, состоит не менее чем из двух осей ячеек. Пусть теперь звено а не является крайним. Предположим противное, т.е.

а состоит из оси ровно одной ячейки. Рассьютриьл две оси ячеек, смежныс с а (такие существуют, так как а нс крайнее звено). Па рис. 2.6 приведены все возможные случаи взаимного расположения трех последовательно идущих осей ячеек. Случаи (а) и (б), очевидно, нс подходят, так как тогда а состоит более чем из о,шо!л оси ячейки. Рассмотрим случай (в). !орда, очевидно, число вращение между одним из двух смежных с а звеном ломаной Вр Т и звеном о бо.льшс, чем 1и (а, й), и, значит, чем ьиЯр1. Полученное противоречие завершает доказательство леллмы. Лемма 2.2 Пусть х и у ребра осевого графа Гв „длл которыя выво °- ннется 1и(х, у) = ии Гчр.

Тогда х и у отростки. Доказательство. Напомним, что шсло вращения плоского бинарного дерева достигается пя его граничных ребрах. Поэтому осталось показать, что:ь и у нс концевые ребра. В силу определения оси паркета, каждое концевое звено оси состоит не менее чем из двух осей ячеек (напомним, что паркет предполагается состоящим не менее чем из трех ячеек). Поэтому к каждоьлу копцевоълу звену крепятся отростки с обоих сторон относительно этого звена. !'.ели, скажем, х концевое ребро осевого л рафа, то, очевидно, можно заменить х на один из двух последовательно идущих отростков, крепящихся к звену оси, содержащему л, я получить пару ребер осевого графа, числа вращения между которыми больше М Гвр 1см. рис.

2.7). Лемма 2.3 Пусть л, и у нара произвольньлх оялростков осевого графа Гьр. Обозначизл через Гяр~х, у) единственный путь о Гяр, совдинлюи1ий х и у. Тогда число вращения гиг,'!хь у) ратло полноту углу поваров~а нри Паркеты и их свойства г Рис. 2. ы Ннс.ш врашопня осового графа лоск гп аотся па отростках Рис. 2.8: (еформация ломаных движении от х к у по пути Гьр[х,у] в Гвр, деленному на к/3, оье. щслу вращения между х и у каь звеньев ломаной Гя [х, у] о этой ломанои'. Доказатгщьство. Пусть ря и ри граничные ребра двоистве~ного графа Г скелета Л, содержащиеся соответственно и:г, и у.

Пусть Г[дя,у„] путь в Г, соединяющий дя и уи. Рассмотрим деформацию ломаной Г[дя, ри] на ломаную Гяр[х, у], изобраокенную па рис. 2.8. Ясно, что в процессе деформации направление концевых звеньев ломаных не меняется. Следующая лемма очевидна. Лемма 2А Пусть;, непрерывная деформация (вложенной) ломанои ус в классе (вложенных) ломаных, нс меняющая направления кониеоых звеньев ломаной ус. Говда число враиления лтжду капиевыми звеньями в процессе эпсой деформации остаятся неизменным.

Из леммы 2Л вытекает, что тига„~ям) (зо У) = Гладя,яЯ(гт; Уи) В силу геометрического смысла числа вращения в двойственном графе, сир~я„з„„1(ия, ци) = еяиг(уя, .ри). Паркеты и их свойства 90 Ввиду эквивалентности двойственного графа и осевого графа, !пг(р„р,) =1пгч,(г:у); что и требовалось. Лемма 2.5 Пуси>ь а и 6 проазеольнь>е зее>сья осц о и и у отростнц крепнисиесл к а и Ь соотееп>с>пес>с>со.

Тогда, ° если и и у лежат по одну сторону оси, то !ъ(гб у) = !ж(а, 6) ж 3, где знак плюс или минус выбирается е зооисижомни о>п того, по каку>о спщрону от оси лежат отростки сс и у; ° если и н у лежат, по разные стороны оси, то !ж!л, у) = 1п(а, 6). Доказательство. Это непосредственно вытекает из леммы 2.3. Вернемся к доказательству предложения. Пусть а и Ь звенья оси бр 1, на которых достигается число вращения оси.

Тогда, по лемме 2.1, эти звенья состоят пс лленсе чем из двух осей ячеек. Поэтому, как к а, так и к 6 крепятся отростки, расположенныс с обоих сторон оси. По лемме 2.5, из этих отростков можно выбрать такис отростки г и у, крепящиеся к а и 6 соответственно, что М(г, у) = Сж(а, Й+ 3 = Уи Вр 1, + 3. Поэтому Ря Гв„) 1и бр 1. + 3. Далее, пусть и и у обозначают теперь те отростки, на которых достигается число вращения осевос о графа (такие отростки существуют в силу леммы 2.2~, и пусть а и 6 звенья оси, к которым крепятся эти отростки. Тогда, по лемме 2.5. !и1са, 6) > !и!с;с, у) — 3, или, Ьи Гвр — — 1и (и, у) < 1и! а, 6! + 3, откуда !пи Гяс, < си бр 1, + 3.

Доказательство предложения закончено. Из предложения 2.5 вытекает полый ряд важных следствий. Следствие 2.1 Пусось 1 лине.йный участок, бр 1 его ось. Тогда 1,июб < ьпВрй+3. Структурные злемевты скелетов из ИЯ д Рис. 2.9; Расширение линсйноь о участка Доказательство. Пусть 1 линейный у ьасток скелета Я. Добавим к Г. ячейки из Я, к которым участок 5 крепится. Легко видеть, что ось полученного паркета отличаечся от оси линейного участка только длиной концевых звсш св (см. рис. 2.9). Позтому числа пршцсния зтнх двух осей равны между гобои.

Характеристики

Список файлов диссертации