Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 21
Текст из файла (страница 21)
1егко видеть, что если у паркета имеется более четырех ячеек, то к каждой внутренней ячейке может крепиться не более двух наростов. Определение. Паркет, пс со,лержащий наростов, назовем скелсто.и. Как мы увидим ниже, скелеты имеют достаточно жесткую структуру, что позво ляет в некото1И !х случаях их полностыо описать. Паркеты и их свойства б2 Р! нвр внугр А нвр А внугреннне ячейки Рис. 2з1: Разложение паркета на скелет и наросты Пусть Р паркет.
Рассмотрим все его внутрсннис нчсйки, и для каждой такой ячейки вес крепящиеся к ней наросты. Если к данной внутреяней ячейке сг крепится ровно один нарост, выкинем его. Если же к гз крепится несколько наростов, выкинем любой из них. Проделаем эту операпию для всех внутренних ячеек. згтверждение 2.2 Получиьгиийся е рсзульпюпгс только что описанной операции паркет яс,яястся скслспгож. Доказательство.
Пусть Я получившийся паркет, а гл произвольная ячейка из П. Выясним, как ленястся тип ячейки г'.г при переходе от паркета Г) к паркету сг'. Имеем: ° если Л внутренняя ячейка из Гг, к которой не крепится нн одного нароста из Вг то сх внутренняя нчсйка в о 1ни одна смежная с гз ячейка из У пс выбрасывается); ° если гз внутренняя ячейка из 1)г к которой крепился хотя бы один нарост, то сх полукрайняя ячепка в ч' (так как мы выбрасываем ровно один нарост, крспящийся к з1; ° если ск полукрайняя ячешса из Г), то гз полукрайней ячейка и в о' (гги одна смежная с Л ячейка из 1) нс вьгбгрпсглвается); ° если ся крайняя ячейка в уз, пе являющаясл наростом, то Л крайняя ячейка в бг; ° если сх нарост. который пе выбрасывается, то Ь не является наростом в ггг так как единственная смсгкная с уз нчсйка из я) перестает быть внутренней (она становится полукрайпей, см.
вьппс); ° если гз нарост, который выбрасывается, то его, конечно, нет в ч. Паркеты и их свойства Мы рассмотрели все типы ячеек и обнаружили, что при переходе от 13 к 5 ии одна из ячеек не становится (не остается) наростом, поэтому,5' наростов не содержит. Доказатсзльство закончено. Пусть Р паркет, Ь„семейстззо вьюрошенных по только что описанному правилу наростов, .'з оставшийся скелет. Представление Р = 5' 'бЗ ~Л,~ называется разложением паркета Р ио скелет, и наросты, Отметим, что это раэлохпние о,аномза"шо зз том и только том случае, если у паркета Р нет концевых наростов, т.е.
нескольких наростов, крепящихся к одной внутренней ячейке. Чтобы подчеркнуть происхождение скелета .5', мы иногда будем называть сз о скелета.н гзарнста Р. В самом обзце и виде, план построения классификации паркетов из ИзЗзь состоит из двух птгов: сначала описываются зюе скелеты нз И'1~, а затем выясняется, каким образом к этим скелетам можно прикреплять наросты так, чтобы нс выйти за рамки класса ИЩ. В следующе и разделе мы начнем изучать устройство скелетов. 4.2 Разбиение деревянного скелета на узлы ветвления и линейные участки В настоящем разделе 5' обозначает произвольный деревянный скелет.
13ыберем из скелета 5' все ез о внутренние ячейки, и рассмотрим сззязные компоненты полученного паркета. Зтзз связные компоненты пазовом цэ за.ми еезззблбния. Рассззотрихз множество ячеек скелета 5, не являющихся внутренними. Связные компоненты полученного паркета ззаэовсм линейны,ии уиасизнтин. Итак, мы построили рзззяолсенззе, скелета на уэльз ветвления и линеяньт участки. 13 отличие от рю.,южепня паркета на скелет и наросты, это новое рюлозксние единственно..Четко видеть, что узлы ветвления скелета произвольного дерсвянноз о паркета не зависят от разложения этого паркета на скелет и наросты. Поэтому узлы ветвления скелета паркета 13 мы будем также пюывать узлами еетелезшя паркета Р.
Более того, если фиксировано рюложепне 5 'бЗ (зхз] паркета Р ва скелет и наросты, .или же если вид этого разложения не важен, то и линейные участки скелета о также будут называться .зинейньызи дчасткалзи пиркета Р. Как мы увидим пижс, узлы ветвления деревянных скелетов могут быть Ровно пЯти типов, пРичеьл У скелетов из ИЗРо все эти пать типов встРечаются. Зля линейных участков оз раннчснность пятеркой числа вращения приводит к появлснзпо у линейных участков вазкной геометрической характеристики, нюываемой направлякяцей линейного у цзстка. Неформально, направляющая линейного участка это направляющая паркета плоскости, вдоль ксззоройз "происходит распространение" рассматриваемого линейноз о участка.
Определение направляющей линейного участка удобно Паркеты и их свойства давать в тер линах осей, построение которых описывается в следующем разлеле. 4.3 Ось Пусть,э' произвольный (связный) скелет, состоящий из в ячеек. Осью Вр э' скелешо,'э' называется плоский граф, получаквпийся следующим образом. Если п = 1, то бр 5' зто произвольная средняя линия единственной ячейки из о'. В этом случае ось можно построить тремя различцымц способами. 1',ели п = 2, то бр Я состоит из двух параллельных средних линий, выходящих из середины общей стороны двух ячеек, состав.лающих В. На сей раз ось можно выбрать двумя способами.
1",ели п, > 3, то ВрЯ строится одиозна|но следующим образом. В каждой нек!эайней ячейке соединим отрезками середины тех сторон, которые лежат внутри скелета л. В силу отсутствия наростов, каждая крайняя ячейка примыкает к ячейке, нс являющейся внутренней, т.е. к ячейке, в которой проведена единственная средняя линия. Построим в крайней ячейке ту среднюю линию, которая параллельна единственной средней линии в примыкающей к ней ячейке.
Все принадлежащие бр Я средние линии называются осями соошеешстеуяпциг яяеек из эд Удобно объединить последовательно идущие взаимно параллельные оси ячеек из В в ребра осп Вр.5'. Поэтому вершины графа Вр В это, во-первых, середины тех ребер контура, в которые приходит ось, во-вторых, все середины ребер внутренних ячеек, и. в-третьих, середины тех внутренних ребер скелета,э, к которым примыкают полу- крайние ячейки с непараллельными осями. Пусть скелет,э' деревянный. Тогда все циклы его оси Вро' нахо,лятся во внутренних ячейках. Профакторизовав по этим циклам, получим, очевидно, дерево.
В построенном дереве объединим последовательно плущис ребра, соединяющиеся в вершинах степени 2, в одно ребро. Получим дерево К без верпшн степени 2. Определение. Дерево К, только что построенное, называется кодов гкг- легло В. Как мы увидим ниже, коды скелетов нз ИЯ легко описать: они представляют собой всевозможные плоские деревья с нс более чем шестью вершинами степени 1. Пусть Ь' деревянный скелет, а й его линейный участок. Осью Вр Л кпнейного у шсшка Г назовем пересечение оси Врой' скелета Ь' с линейным участком йл Вр й = Враг! й.
Паркеты и их свойства 85 р, д,, х д д Рис. 2.5: Ось линейного ~частка Важное замечание. Ось линейного участка существенно зависит от способа крепления стого участка к оставшейся части скелета. Это приводит к тому, что ось линейного у ~ветка Г. и его же ось как парке иа могут, вообще говоря, отличаться дГэу~ от друга. Соответствующие примеры приведены на рис. 2.5. 'Герсвянный скелет назовем линейны,и, если его ось ломанал линия. 51сно, что деревянный скелет линсен тогда и только тогда, когда он нс содержит узлов ветвления.
Очевидно, каждый линейный участок является линейным скелетом. ГГля описания линейных участков скелетов из ИгГЗГ оси оказываются чрезвычайно полезными. А именно, имеет место следующее предложение. Продложенио 2.4 Ось лкпбоео линейного йчосгпка скелета из ИЗго однозначно проектируется но некоторую напраеляюиГую паркета плоскости. Прямые, обладающие своиством из предложения 2Л, называются напраоляютияи рассматриваемого линейного участка.
Перед тем, как перейти к доказательству предложения 2.4, полезно определить число вращения ломаной линии и установить связь между числом вртпення линейного участка и его оси. 4.4 клисло вращения ломаной В разделе 1 настоящей главы для каждой упорядоченной пары (а, 6) звеньев ло лапой й мы определили угол поворота оГа, 6) от ребра о, к ребру 6. Определение.
суп<лот вращения Ги(а,й) упорядоченной пары загнись [а,6) ломаной Г, называется угол поворота п (о, 6) от ребра а к ребру Ь, деленный 3 Гх~ Га, 6) = — о 1 а, 6). Паркеты н их свойства с1ььсььо.ьь гращгььия ломаноьь 1, называется наибольпьее из чисел вра>пения между ее эвецьямн: !и А = шах !и )а, 1>). (а Ь! Отметим, что число вращения,>омаяой пе обязано бьггь пелым числом. '!ем не менее, число вращения оси линейного участка всегда целое.
,Чегко показывается следукпцее утверждение. Ъ'твер>кденне 2.3 Лольаная й однозначно ььросхтиругьпся на ньконьоррю пряльут 1 тогда и только тогда, когда ьи 1, строго меньше 3. Доказательство. Орпснтирусм ломаную А. То>да звенья этой ломаной можно рассматривать как вектора. Для наглядности отложим последовательные вектора-звенья ломаной 1. от одной фиксированной точки. Так как ь>у Г. ( 3, то множество отложенных векторов заключено в некотором угле ьр, вели тина которого строго меньше к, Пусть п направляющий вектор биссектрисы угла ьр, и 1 произвольная прямая, параллельная и и ориентированная в направлении н. Очевидно, все всктора-звенья ломаной 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
