Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Таким образом, множество всех дождей, проходящих через ЛХ, пахолится во взаимно одиозна шом соответствии с точками окружности направлений. В дальнейшем, мы часто будем отождествлять ориентированный дождь, проходящий через фиксированное множество ЛХ, с соответствующей направлсшпо этого дождя точкой округкпости направлений. Змеи на произвольном множестве 146 Ясно, что,лля каждого фнксироваш«ого конечного множества ЛХ точек плоскости существует лишь конечное число проходящих через М осооых дождей. Подмножество окружности направ.лений, состоящее из направлений всех особых дождей, проходящих через М, обозначим через зэшд1ЛХ), а дополнительное до «ошфЛХ) подмноэкество окруясностн нш«равлсннй, которос, очевидно, соответствует направлениям регулярных дож,чей, проходящих через ЛХ, обозна «им через Ке««(ЛХ ) . Так как каждый ориентированный дождь Й, проходящий через ЛХ, и дождь — Л, противополоэкног«э направления, такэке проходящий через ЛХ, одновременно или регулярны, или особы, множества 1««пд(И) и Кеь'(ЛХ) центрально симметричны относительно центра окружности направлений.
Опроделенно. Связные компоненты множества КефМ) и«июнем доэ««усп«««- .иыяи узлами, соответствующими множеству Л1. Пснтрально симметричные допу«этимыс углы назовем противо««оь«олс««ь«.ии. Замечание. В дальней«пем, под допустимым углом мы часто будем понимать множество регулярных долсдей, соответствукяцих направлениям из этого у«ла. Пусть 11 регулярный доэкдь, проходящий через ЛХ. Точки из ЛХ, лежащие на границе полосы дождя Я, назовем крайии„ии. Предположим те«п*р«п «то «зыб1эано напра«злепие «««Ръ) распростран«ния дшкдя П. Тогда порожденная ««(11) каноническая нумерация переносится на:элемент««множества ЛХ. В этом случае мы всегда будем предполагать, что множество М занумеровано именно таким образом и называть эту нумсрапию киионич«юлой. Первая точка из М в канонической нумерации бу лет называться иичи.«ьиой, последняя конечной точками мноэксства М (по отношению к Я), Очевидно, что начальная и коне «ная точки являютсл крайними.
Ясно также, что изменение направления дождя Л в пределах допустимого угла, которому ХХ принадлежит, не меняет канонического порядка на ЛХ, а, значит,начальной и конечной точек. 2 Минимальная реализация змеи на произволь- ном множестве Пусть ЛХ произвольное конечное множество точек плоскости, и У линейный паркет, являю«цийся змоей. Пусть Л произвольная точка из М. Если существует минимал«,ная сеть Ям, «жвивалецтпая двойственному графу паркета У, затягивающая множество М, такая что А инцидснтна концевому ребру иэ эХлг, то будем говорить, что из точки А жоэкио вьтусп«ить зжь и о, а сеть Ум будем называть зиссй типо У, выпущенной из Л. Змеи на произвольном множествс И7 Пель настоящего параграфа состоит в построении эффективного критерия, позволяющего понять, можно ли нз данной точки фиксированного множества выпустить змею данного типа. Прежде всего, отметим следующее простое свойство минимальных змей.
атверждение 3.1 йлонцсаьлл ьлршины произьольной линила.льной элеи.лежат на. границе выпуклой оболонки лножгстаа граничных аерлаин этой з.иси. Из утверждения 3.1 вытекает, что необходимым условием существования мннимальнои змеи, выпущенной из данной точки А множества М, является принадлежность точки А границе выпуклой оболочки множества лРХ.
Определение. Допустимый угол Ф называется А-допустилыл, если точка А множества М является краиней точкой в М по отношению к дождям из Ф. Утверждение 3.2 Если ил точки А,иножггтаа 31 лолсно выпустить з нею, то лножестао ассх Л-дон успли.яых углоа нг пусто. 2.1 Характеристическая дуга Пусть льХ произвольное конечное множество точек плоскости, н Л точка из М, лежащая на границе выпуклой оболочки множества М.
Пусть Ф некоторый Л-допустимый угол, и А произвольный ориентированный регулярный дождь из Ф. Будем Предполагать, что множество лГХ состоит не менее чем из трех точек. Выберем направление лл(Я( распространения дождя 11 так, чтобы Л стала начальной точкой. Конечную точку мне;ксгтва М обозначим чсрсз Л(Ф). Обозначим через М множество М ~ (АХ, и пусть 17 ограничение дождя А па множество 31, сонаправлснное с А. Ясно, что содержащий Л допустимый угол, солл ветствунипий множеству 31, вк:по тет Ф. Выберем направление распространения дождя К совпадающим с гл(Й). Тогда Л = (гл1," г Выпустим из Л ручеек ллг(Л, Л), и пусть Л(17) точка пересечения этого ручейка с последней прямой г„дождя Л.
Определение. Множество всех точек Л(17) по всем дождям Л иэ допустимого угла Ф называется гарактгригтп лгской дугой для ъпюжгства 1Х, соответствующей допустимому углу Ф, и обозначается чсрсэ Р(Ф). Опроделение. Допустимый угол Ф называется Л-допустильлл, если Л(Ф) Е Р(Ф). Зьэеи на произвольном множествс Рассмотрим произвольную минимальную змею Г, и пусть А некоторая ее концевая вершина.
Рассмотрим отросток а из Г, смежный с концевым ээсбром, инцилентным А, и ориентирусм его в направлении от точки Гптейпср, из которой оп выходит. Рассмотрим доэкдь змеи Г, и дополним сто до большего дождя, добавив к нему прямыс, проходящие через концевые вершины из Г. Ориснтирусм полученный дождь в направлении отростка а. Определение. Построенный только что ориентированный дождь назовем расширенным долсдем з,иеи Г, вьи:одяиьей из А. гстверждеиие 3.3 Если из точки А миолсества М можно вьиэуспщть з.иею сз то сйтуспэимьт угол, содерисащий расши1эенээья дождь построенной миии.калькой змь и, ив<водящей из 4, является одиовре.асино А-допуспэээ.~ььи и В-доээусээээьяььи.
Понятие характеристической дуги оказывается чрезвычайно полезным для исследования возможности выпускания змеи из точки произвольного множестээа, а также для построения правильной минимальной реализации деревянных скелетов. Оказывается, имеет место следующее предложение. Предложение 3.1 Характеристи юскоя дуга является или ду, ой нелоторой окружности, или вырозкдоется в одну точку. Если характеристическая дуга невыролсслэиа, то ее угловая величина равна удооенной величине соотиспщтвующсго допустимого угла.
Доказательство. Будем отоэкдсствлять точки плоскости с соответствующими комплексными числами. Пусть М = (Мэ)эч с, Мс = А, и пусть е'' = н(Л) направление рзспространсния дождя Л,. Рассмотрим ручеек 1эг(А, Л) и ориснтирусм его от точки 4. Обозначим уное звено ручейка Ьг(А, Л) через 6 . Тогда, как легко видеть, 6 получается из вектора (Мэ — М,, п(Л))п(Л) поворотом на угол т гДэ' и растяжением в 2/чг3 3раз, тле знак "плюс' выбирается для нечетных э', и знак "минус" для четных э. В комплексном виде зто можно записать так: 6 = Ке~( М вЂ” ЛХ. )е 'г]сев ~ 3 Правукэ часть:этого равенства можно злементарпыми преобразованиями привести к виду из+ и;е ье, ь дс и, и и, коьшлексныс числа, не зависящие от р.
Далее, точка В(Л) имеет вид: В(Л) = А+ ~~ 6; = и+ пез'~, э=1 Змеи нз произвольном множествс )Л9 где и и е комплсксныс числа, нс зависящие от )о. Теперь ясно, что если с ф О, то, пря изменении )о в пределах допустимого угла, точка В) Х)) заметает дугу окружности, угловая величина которой равна удвоенной величине допустимого угла. Если >ке е = О, то характеристи>еская дуга вырождается в точку. Предложение доказано.
Следствие 3.1 Пусть Ф некоторый В-доаустижыб угол. Тогда. либо суи)сстеуст сдшт>лает>ый доэкдь Н б Ф, для которого В)ХХ) = В)Ф) ~гарики>сриспьическс>я дуга нсаь>рохкдсна). либо В(В) = В(Ф) для любого Яб Ф. Из сказанного выше вытекает: если у нас имеется Л-допустимый угол Ф, то для того, чтооы проверить, является ли о~ В-допустимым, нужно построить характсристическук> ду> у, и посмотреть, попала ли точка В)Ф) на эту дугу. Ниже мы покажем, как можно построить характеристическую дугу геометрически.
2.2 Характеристическая дуга в случае трех тачек Пусть М = ~А, Мы Мз), К = )сы гз), и )>г)А, Н) ручеек, ориентированный от точки А, 6> его звенья, а Ая его вершины. Отметим, что Ле = Л, и Лз = В(Н). Будем прелполщ атть что мпожепп>о М находитсн в общем положении. Последнее означает следующее. В процессе проводимого ниже построения кпя будем расширять множество ЛХ, добавляя к уже имеющимся точкам новые. При этом мы будем достраивать некоторые пары полученных ранее точек до правильных треугольников. Так вот, будем предполагать, что поные то тки не попадают па пря лыс дождя Н. Как будет видно непосредственно из построения, почти для всех множеств ЛХ это условие выполняется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
