Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Отмеспм, что четырехугольник АО~ЛХзЕ~ параллелограмм. Первый характеристический треугольник для множества ЛХсз это правильный треугольник АОьП, построснный вне многоугольника Р. Минимальная змея с правильной границей 161 Из леммы 3.1 вьчтокает, что второй характеристический треугольник для Мод совпадает с треугольником ПМзП2. По следствию 3.3, этот треугольник есть не что иное, как третий характеристический треугольник У2Мд Уд для множества М. Поэтому, Н = Нд. Таким образом, доказана Лемма 3.5 Вершина Уд чпрстьсго;гарокчпсрччпппчсч кого треугольника Е12МзПд 1оаччадаст с асрчииной П праьильного трсугочьнико АО1Е1, построенного анс,иногоцгочьника Р, гчзс 01 точка на „чупс АМ1, прпчси ! 1О1! = ! 1Мч )+ )М Мз!.
'!аким образом, 3-ая характеристическая дуга Нз ч Ф! вырезается ич окружности Нд, описанной вокруг треугольника Н2МдНд, углом М2МзЛ14. 1 Лемма 3.6 Оч,руэкноапь Нзч проводит через точку Рз. Ноэтону, пересечение ьнутрснноснги луча ЛХдМ2 ч. Окружноспчью Нзд соьпадаспч с точкой 12. Доказательство. Яч но, что прямые Ард н АНд совпадачот.
Далее, легко видеть, что угол АР. ЛХд равен язч3, поэтому и угол ПдР2ЛХз так же равен 71 3 ч 1 О и дОкд Зывйс 1 принадч1сжнОч 1ь 1 Очки Рз ОИ1эз жнОч 1и Нз -1 Пусть Рз точка пересечения внутренности луча ЛХзЛХ4 с окрчжно- СТЬЮ .'чд. .1 Лемма 3.7 'Гочка Рд лежит на пряиой Н2.1, ччозпчолчу сектор АРд очпк.чоняется от оси абсцисс на угол г)6. Поэчпожу, а чач тносчт, пряжьче АЕэ~ и АРд совпадают. Доказательство. ОчевнДпо, Угол УрАНа Равен кчч3+ о. Угол Рэй|зРз равен о и вписан в окружность Нз, поэтому мепыпая дуга окружности Нд между Рз и Рд равна 2о. С дручой стороны, меньшая дуга этой жс окружности между Нз и Нд равна 2я!3. П1зовсдем прямую П2А, и пусть Х точка ес пересечения с окружностью Нзч, отличная от Нч.
Так как прямыс Н2Х и Нзр образуют вертикальный Угол величины кччбч+ о, то величина меньшей ДУги мслчДУ Рз и Х равна 2о, т.е. точка Х совпадает с Рд. Таким образом, Рд лежит на прямой Уз А. Поступая н дальше аналогичным образом, т.е. для последовательных множеств ЛР делая четную рсдукцию для четного 1, и нечетную редукцию для нечетного 1, мы построим все ч-ые характеристические дуги и 1-ыс характсристчччсскнс треугольники. В с.чсдуюшсм предложении подводятся итоги проведенного выше исслелования геометрии характеристических дуг и треугольников в случае правильного многоугольника Р. Обозначим луч АМ1 через гпо.
а луч АН1 через нчн. '!акже обозначим лучи АН1 и г1Н2 через Ьо н Ьн соответственно. Лучи, полученные продолжением Ьо н Ьи за вершину А внутрь окружности Н обозначим через ио н ип соответственно. Минимальная змея с правильной границей 162 ~ь ,Н е Ьа "-.. .по Рис. З.б: Геометрия характеристических дуг Предложение 3.5 В сдслонньлх вьиие прсдпояожснияпс, г-ыс харатнеристическис трсугояьники Н! !МьН; устпроены и!ак. 1иаждая вершина Пзя я с нечтпным номером лежит аа,!у че Ьо на расстоянии 2 ', ! ),АХз Мз от, точки А = ЛХс, а каждан вор!пина Вал с ттным номерок;!ежит на 'ь луче !ььи на расстоянии 2,', диХзу !ЯХзу! от ге!очки А.
з=! Да!сс, ь-ая характеристическая дуга 17,(Ф) = Хз, !1~, высскастся из окружности,$, огшсанной вокруг г-го харакпгеристическоео треугольника, углом велпчпшл л !!3+с! .вежду „ьучс!ми лучалт ио и ии. Вроне гпо !о, дуга Р! !Р; лежшп в вертикальнол! угле всличиньл о, ограниченном пря.нь!ми М, ! М, и !11оУХ,м!. 1';гловах ве;!и шна шпой дУги Равна 2о, пози!о.ЯУ, в чпстноспш, угол 1', ! ХХ„Х!, раьен а. Описонныс- здесь построения приведены на расс .'1.6. Определение. Внутренность угла величины к!!3+ о между лучами ио и ии назовем характсристичссьин углоя правильного многоугольника ГХ с вершиной в А и обозначим через Н(Л, Ф).
Угол Я ьН;Р! величины о будем называть допусти„иы,.н у. ю.н с вери!иной Н,. Рассмотрим произвольный дождь Н из А-допустимого угла Ф, проходящий через М, н пусть Лс = Л, Л!,..., Л„! последовательные вершины ручейка Ьь(А, Н). Тогда, по определению, точка Ль ! > О, лежит на !-ой характеристической дуге !Э„(Ф). Пусть Н, !ЛХ„Н! — ь-ый характеристический треугольник.
Рассмотрим луч Н;Аь Тогда, непосредственно из построения вытекает следующее утверждение. Утверхкденио 3.5 лууч Н,А,,!соки!и внутри дошустимого угла с вер!пинай в Н,. Вершина А,м!, !' < и — 2, лежит, на пересечетш луча Н,А, с (! + 1)-ой характерисп!ичсской дугой Рье!(Ф). В частности, о!нрсзок А,А,м! лежня на луче Н,А,. Предложение 3.5 непосредственно влечет справедливость следующего утверждения.
Минимальная змея с правильной границей !33 Следствие. 3.5 Хйаокдыи Л-допуспшаый угол Ф для правильного многоу ольника являтпгв Я-допустимым. 1:роза того, главный:сарактгрисошческий п~реугольиик невыроькдегй поэто,иу существует единтпвенньи! дождь Я Е Ф, такой что ручеек Ьг(Л, Я), начинающийся в Л, приходит в Ип = В(Ф). Итак, нам осталось показаччн что порожденная дождем Я из следствия !!.5 бесконечная эмся ограничивается до минимальной змеи, затягивающей множество гИ. 3.2 Доказательство существования минимальной реализации змеи Для завершения доказательства существования минимальной змеи, выпущенной из Л, можно было бы воспользоваться техникой вполне характеристических дуг. Однако, в данном случае имеется еще более простое доказатеггьство, основанное нл понятие характеристическо~ о конуса. Пусть Я Е Ф тот дождь, для которого ручеек Ьг(А, Я) проходит через точку 3Хп ы и пусть А = Ас, Аы...,Ап 1 = йХп ~ его последовательные вершины.
По построению, если Л; лежит внутри окружности У, то угол Аг гЛг."гХг равен 2к/3, поэтому отросток бесконечной змеи Я(Л, Я), выходящий из такой точки Лб содерл ит точку ЯХ„. Поэтому, для завершения доказательства существования мини лальной змсп, выпущенной из Л, достаточно проверить, что все вершины Ль г, = П..., п — 2 ле кат внутри окружности Я . Важное замечание. В этом месте мы существенно пользуемся выбором допустимого угла Ф.
Отметим, что если вместо Ф взять противоположный ему допустимый угол Ф', то ни один отросток бесконсчнои змеи, соответствующей единственному дождю Я' Е Ф', для которого ручеек Ьг(Л, Я') приходит в 3Х„г, нс содержит соответствующих вершин ЛХь Поэтому пз каждой пары противоположных допустимых углов липп один подходит для построения минимальной змеи. Такой А-допустимьш угол будем называть хорошим. Итак, для произвольной вершины г! правильного ъшогоугольника существует ровно два хороших А-допустимых угла Фг п Ф . Пусть Я; произвольный ориентированный дождь из Ф„, направление распространения которого выбрано внутрь многоугольника Р.
Чогда, если т, вектор направления дождя Я„то базисы (п(Я!), тг) и (п(Яз), пгз) задают на плоскости противоположные ориентации. Напомним, что замыкание характеристического конуса ь'(Л, Я) содержит ручеек Ьг(А, Я). Из определения характерисгического конуса и свойств характеристического угла непосредственно вытекает следующая лемма.
Скелеты и правильные и-угольники Лемма Ззв Зал~ыкание харашиеристического конуса С(.А, Н) произвольного дождя Л Е Ф содсржшпся, за исключс-ниея входящей в него точки Л. в харакспгригтичесно«угле 11(Л, Ф). Поэтому,,чосгато шо показать, что пересечение характеристических Углов 1г(гА, Ф) и 1Х~ЛХа ы Ф) содеРжитса внУтРи окРУжности У. Легко видеть, что имеет место следующая лемма. Лемма 3.9 Пересечение хорактерщтических углоа 1Х(Л, Ф) и Г(Мо ы Ф) содгрясится внутри окружности,'~' при и, > 6. Таким образом, показано, что при и > 6 нз любой вершины Л правильного и-угольника можно выпустить лве минимальных змеи. В случае и ( 6 соответствующие змсп могут быть построены непосредственно с использованием алгоритма Мслзака, см. выше.
и, яаконеп, отметим, что для любой пары вершин правильного и-угольника, существует ровно лва движения плоскости, сохраняющее многоугольник и переводящее одну из этих вершин в другую. Одно пз пих сохраняет ориентацию, а другое нет. Оти движения и переводят пару минимальных змей, выпущенных из одной вершины этого правильного п-угольника, в пару мгп1ямальпых змей, выходящих из другой его вершины.
1доказательство предложения З.А закончено. 4 Общие свойства скелетов, имеющих правиль- ную минимальную реализацию В настоящем параграфе мы получим некоторыс необходимые условия существования минимальной реализации па правильных многоугольниках двойс гвенных графов скелетов нз И7т напомним, что такие минимальные реализации мы сокращенно называем Хь.РХ-рсалпзациями. 4.1 Расположение концевых линейных участков ПУсть 1э' скелет из Иггю имеющий ПАХ-Реализацию Клг на пРавильном и-у~ ольнике Р, вшлсагп1ом в единичную окружность У с центром в начале координат.
Пусть К; тс вершины из Р, в которые приходят концевые ребра в из Ки Предложение 3.6 Пусть в.,игньин е число сторон п-увольнико Р, заключенных яежду двусия несовпадающи.«и веришни«и К, и К,. уоеда существует и единственно исдо~ пошжитгльное чснло 1, не превосходящее: Под кониовымн ребрами нз УМ мы ноннмаом те грани шыо ребра графа,5М, которые соответствуют концовым ребрам двойственного графа скелета Я. Скелеты и правильные и-угольники 165 3, такое тш 7ани.ч образом, есми пд делится нацело на 6, то й = п1,16; в аротивчо,и случае, й равно или Чзй/6~, или !нЦ6'+ 1, где [г~ обозначает целую чосняь ~игла г.
Доказатольство. Ясли и = 3, то вершины Е, находятся в вершинах правильного треугольника, и предложение верно. Пусть теперь и ) 3. Предположим, что скелет Я и его правильная минимальная реализация бм расположены на одной плоскости так, что двойственный граф Гя скелета Я параллелен минимальнои сети Яяг. Пусть У концевая змея скелета Я, и Ум соответствующая У подсеть в .Чм. Тогда, по определению, Л состоит пс монсе чем из двух ячеек. Пусть а — концевое ребро из Ян, о и с отростки из Ям, соответствуюпзиг отросткам двойственная о графа гксл~ та Ч, лежащим в концевой и смежнои с ней ячейках соответственно.
Пусть А, В и С граничные вершины сети зм, инцидентныс ребрам а, б и с соответствеяно. Продолжим отросток 6 за ппцидентную ему точку 1!1тейнера. Очевидно, зто продолжение пересекает окружность У в некоторой внутренней точке 1? мепыпей дуги между А и С. !!впустим пз центра О окружности Ь' луч (, перпендикулярный хорде ВП и ег пересея какпций. По определению, направление луча ! совпадает с направлением концевой змеи Я. Пусть Е точка пересечения луча ! с окружностью У. Ясно, гго величина меньшей дуги между А и Е строго мепыпе о, где а, как и выше, равно я/п.
Пусть У, и Я концевые змеи скелета Я, а К, и Е вершины и- угольника Р, в которые приходят концевые ребра из Ям, соответствующие концевым ребрам из ло и У,. Тогда угол между направлениями концевых змей гл и У, кратен х(3. Пусть меньший из углов между направлениями У, и У равен !г!3. Тогда, из сказанного выше следует, что угловое !эасстояннс между К и Е отличается от 1яД! меныпе чем на 2а. Иными словами, й — — ! — <2 —, п 3 и откуда, сокращая на 2я/п, завершаем доказательство предложения. Замечание. Па ~ еометрическом языке, предложение 3.6 может бьгть сформулироваяа так: концевые вершинья правильной минимальной реализации скелета нз И7~ отстоят от вершин некоторого правильного шестиугольника, вписанного в окружность Я, на угловое расстояние, строго меньшее Скелеты и правильные п-угольники 166 4.2 устройство концевых линейных участков Оказывается, из условия существования правильной минималызой реализации двойственного графа скелета В из Ичгзь вытекает, что концевые линейные участки скелета В устроены наиболее простым обраюм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
