Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 43
Текст из файла (страница 43)
С точностью ло поворота, можно считать, что аг нечетно. '!огда из = 2/«. а,=2/; — 1, Остальные случаи разби!>аются аналогично. Результаты вычислений при- всдены в таблице 3.2. Проверим теперь, в каких из этих 20 случаев скелет .'/ в действительности имеет Игу/-рсализацию. Для этого восполгзусмся прсллогкеппем 3.10. Фиксируем некоторое правильное граничное отображение В. !3 соответствии с этим прсллогкепием, необходимо вначале построить остов Я' скелета Я. Ясно, что в каждом из 20 случаев остов,5' состоит из единственной ячейки вствления, каждое ребро которой является отме сонным.
Скелеты с тремя концевыми линейными участками Хл и, Я г П к~, лкКз Н„ Рис. 3.11: Геометрия лучей ОК; и ХГ;П; После этого, нужно построить соответствующий скелету Н остов ЛХ' множества вершин ЛХ правильного многоугольника Р. Остов ЛР, очевидно, представляет собой вершины треугольника Н«НзНз и состоит из главньгх вершин П; трех главных характеристических треугольников концевых липсипых участков-змей Кг скелета Н. Далее, если вершины треугольника ЛХ' затягиваются нсвыро.кдснной минимальной сетью Г' (гэна, очевидно, эквивалентна двойственному графу остова Н'), то нужно проверить, лежат ли ребра этой сети в Н-допустиъгых углах концевых линейных участков-змей Хю, и попадает ли единственная то гка !Птейгге!га сети Г' в характеристическую область !!'!о).
Обозначим через К; те вершины и-угольншса Р, которые соответствуют концевым ребрам контура скелета Н при граничном отображении 11. Предположим, как всегда, что правильный многоугольник вписан в единичную окружность Нг, центр которой обозначим через О. Лемма 3.12 Пусть к«г орпснтироаанпый уео.г между луча,н ОК« н лучом К;11ь Тогда, если скелет Н и«испг ЯЛ1-рсализаггию, пго асс сь; однова згггакаг т.с. «ггуг ш К«У, поаернупгы относитсгьпо «упсу ОК, а одну и ту же сторону (сж. рис.
д211). Доказательство. Предположим противное. ! огда, как легко видеть, найдутся такие двс вершины К; и К, что лучи К,Н; и ХГ«П лежат внутри угла Е,ОЕ,. Пусть гго вели тина угла К,ОК, По определению правильного скелета, на меньшей дуге между вершинами К, и К«расположено не более чем !ггЯ + 1 сторон многоугольника Р, поэтому гд ( (~гггг3«) + 1)2о, где а, как обычно, равен нХп. Обозначим через Х точку пересечения отличных от П,Е; и Н, Е, сторон П-допустимых углов змей л; и л .
см. рис. 3.!2, и пусть Н величина угла Н,ХП«. Пусть Г точка П!тейнера минимальпои сети Г', затягивающей вершины треугольника Пг!1«Уз. По предло«кению 3.!О, лучи Н;У и Н !«лежат соответственно в углах Х У,Е, и Х У, К величины о. Поэтому, Скелеты с трсмн концевыми линейными участками 132 ун,,' /' !О .э~ Рис. 3. 12: До к аз югельст во леммы 3. 12 ,9 ) 2л/3. С другой стороны, 3 = р — уч ~ — ~оп~ + 2о. Так как р; > г(0, имеем: — <бр О~ ( — ~)2— откуда п ( 2+ '6п(3', что невозможно при и > 3.
Лемма докатана. ЕЗычислим теперь расстояния 1, = )К,Н,!. Из предложения 3.3 с помощью непосредственных вычислений получается следующая лемма. Лемма 3.13 11ушпь зися 7; состоит из 6 л тгк. Тогдо 2 а1пз ро ири 6 = 2р — 1, в1п о 2 оп ро в1п(р + 1 ) о ешо Пусть. для определенности, окружность У ориентирована против часовой стрелки, концевые.щнсйные участки К; занумерованы в соответствие с этой ориентацией, и углы лч положительны.
Построим вне треугольника Н~ Нз Нз правильные треугольники Н„Н, Рь, ! де индексы 1, 1 и й попарно различны. Лля существования ЛМ-реализации скелета Ь' необходимо, чтобы отрезки НьРа, нз которых лежат ребра сети Г', лежали кюкдый ннут1эв своего допустимых угла с ве1)шиной в 1Ха. Если зто так, то,как лагко понять, 1ПьРа,11а1хь) О, и !1КРюО „(НьКьЯ ( О, тле через 1а, 6~ об~означена ориентированная плошадь парал.делос рамма, натянутого на пару векторов (а, 6), а через б поворот на угол о. Обозначим через р, величину угла КэОКь, где г, 1' и 6 попарно различны. Для удобства, воспользуемся комплексной записью. Будем, как и Скелеты с тремя концевыми линейнььми участками выше, предполагать, что индексы, принадлежашие множеству (1, 2, 3), меняются шлклически, т.е., например, 3+ ! = !.
'! огда, как легко видеть, Н, = Ку+(2Кзе'Ф, Р =Н +(Н з — П з)с ~™=Н; зс~™+Н зс ™. Позтому, Н1Лз = Н, зсу™+ Н, ~е-~™ — Н Н,К~ = Е., — Н,. Выразим К з и К ез = К з через К и подставим полученные выражения в формулы для Н, Л, и Н,1', Имссзп К = К е-'и -', з ~ л ' К, з=Кгю=Кзе' ' ' Н =11 (+(ею, Н =К ~е 'и' '+( с(к' Н. = К: (е'"" ' + ( с'(и' 'ет' '(), 1 — з— з †з- откуда, Н р К- ( ~(и,-~-ьл/3) ( — ~М,-г!туз) ! ( (, ~(и,-~-ь~',— г+~Р) ( - (и,,— а,,!-, (з; ( и(,) Н,;К; = — (;1т.;с'~'. Воспользуемся теперь хорошо известным фактом, что ориентированная плоШадь параллелограмма, натянутого на пару векторов (а, 6), в комплексной форме может быть записана так: (а, 5] = !ш(а5), где через а обозначается комплексное число, сопряженное с а.
В результате неравенство (Н1Л1, Н1К;~ ~ О примет вил: ~Ц, — К,— — л/,()+ .)ьО+„-.1 с+к,(3) — .: Р, + (1 еш((Л; — 'д; з — оу з — яЯ+(, ~вш(ну+у; з — р; с+г('() < О. Обозначи л левую часть последнего неравенства чсрсз 1с,. диалогично, неравенство ~НьРл, О е(11лКл) ) < О переписывается так: е(п(ьз — (с ~ — а — я((!) + в(п(6 + ~р з — а + и/3)— в(п(рд — о) — Л в(п(о) +( за(п(о, —:р, ~ — Ы, з — о — н/3) + ( з вш(Р~О + гз з — лО з — о+ л13) ) О. Обозначим левую часть последнего неравенства через (1 .
Приведем в таблице 3.3 значения функции Сз. Скелеты с тремя концевыми линейными участками 184 Таблица 3.3 1ип и Функция Сд 0 — 1 3 (сов (тг/3 — о ) — 1/2) 1/2 — соя(о) — 2 сов(о/3) соя(н/3 + 2о/3) — соя(тг/3 — а/3) — 2 яп(о/3] вш(тг/3 — гг/3) +2 вш(тг/б — о/6) вгп(тг/б + 5о/6) бв+ 1 — 2 сов(о/3) соя(л /3 — о/3) — соя(л/3 — 4о/3) — 2 яп(тг/6 — о/6) яп(тг/6 — 5о/6) + 2 япв(тг/б + 5о/6) — 2 сов(о/3) соя(л/3 — о,'3) — сов(л/3 + 2о/3) +2 вггфг/б — о/6) вш(л /6 + о/2) + 2 вш (и/6 — о/6) — 2 соя(о/3) соя(л /3 — о/3) — соя(л /3 + 2о/3) +2 яп (тг/6 + 5о/6) яп(тг/6 + о/6) + 2 яп (н/6 — 7о/6) Тип П Функция бгя бд + о — 2 сов(2о/3) сов(л/3 + о/3) — сов(л/3 + о/3) +2 вш(о/3) вш(тг/3 + о/3) +2яп(тг/6 — со/6) яп(тгтб+ о/6) — 2 сов(2о/3) сов(тг/3 — 2гг/3) — сов(тг/3 — 2гг/3) — 2 вгп(тг/6 + о/6) ябп(н/б + 5о/6) + 2 вгпв(л/6 — 5гг/6) — 2 соя(о/3) сов(тг,тЗ+ о/3) — сов(тг/3 — 2о/3) +2 яп(л /6 + о/6) вш(л /6 — о/2) + 2 япгв(л/6 + о/6) — 2 сов(о/3) сов(л/3 + о/3) — соя(л/3 — 2о/3) +2 яп(тг/6 — 5о/6) яп(тг/6 — о/6) + 2 яп (тг/6 + 7о/6) — 2 сов(2о/3) соя(л/3 — 2о/3) — соя(н/3 — 2о/3] +2 яп(о/3) впфг/3 + о/3) + 2 вше(тг/б — о/3) бв+ 2 — 2 сов(2о/3) сов(л/3 + о/3) — соя(л/3 + о/3) + ягп(тг/6 — о/3) + 2 яш(тг/6 — а/3) яш(тг/6 + 2о/3) — 2 сов(2о/3) соя(л/3 + о/3) — соя(л/3 + о/3) + соя(тг/3 + гг) + 2 яш(л/б — !гг/3) яш(л/б — о/3) — 2 сов(о) соя(л,тЗ + 2о,тЗ) + сов(о/3) — 2 соя(о/3) соя(н 3 + о/3) — соя(н 3 — 2о/3) +2 вш(2о/3) вш(тг/3 — 2о/3) + 2 яп (тг/б + 2о/3) — 2 соя(о/3) сов(л/3 + 2о/3) — сов(л/3 — о/3) + яп(н/6 + о/3) + 2 яп(тг/6 — 2о/3) яп(тг/б + о/3) — 2 сов(о /3) соя(н/3 + 2о/3) — сов(л/3 — о/3) + соя(л/3 — о) + 2 яш(л/6+ 4а/3) вш(л/6+ о/3) — 2 соя(о) сов(тг/3 — 2о/3) + соя(о/3) — 2 сов(о/3) сов(л/3 — о/3) — сов(тг/3+ 2о/3) — 2 вш(2о/3) вгп(тг/3+ 2о/3) + 2 вш (тг/6 — 2о/3) 67 + 4 — 2 сов(о/3) соя(л/3 — о/3) — соя(л/3 — 4о/3) — 2 яп( ъ/3) вгп(т /3 — о/3) + 2 яп ( т/6 + о/3) Сколоты с четырьмя концовыми линейными участками Непосредственно проверяется, что для всех случаев, кроме п = бр+ 3, случай (а), функция (.з неположительна пря п > 9, поэтому соответствующие скелеты нс имеют ЛМ-реализации.
При и = бр+ 3, случай !а), имеем: С:1 = С = Оз = 3(соь(л/3 — и) — 1/2) > О. ГЧ = Гэ = Гз = -1,С2 < 6. Далее, в этом случае, как легко видеть, треугольник НсНзНз правильный, и ого центр совпадает с точкой О. Поэтому, точка П!тсйнсра сети Г' совпадает с точкой О и, тем самым, лежит в характеристической области. Предложение доказано. 7 Не существование правильной минимальной реализации у скелетов с четырьмя концевыми линейными участками Н данном разделе мы покажем, что для 4-скелетов нс существует правильной минимальной рса:пмации.
Для этого мы разовьем идеи, описанные выше, в частности, мы усилим предложения 3.7 и 3.6. Итак, цель данного раздела доказать следующее предложение. Предложение 3.12 Пусть Н сколот, у коичорого число концссых линсйньсс учисткоь равно чсть раль тогда Я нс ияссги привольно минимальной усолиэоции. 7.1 Длины боковин В настоящем параграфе мы усилим предложение 3,6. Па протя кении вссго параграфа будем прсдполагатьч что все рассматриваемые дгрсвяпныс скелеты не являются лонгиными, т.с. имеют по крайней мере одну внутреннюю ячейку, и, значит, нс монсе трех концевых линейных участков.
Пусть Н сколот из Юсгз, обладающий Лги-реализацией, и Г = Гн его двойственная сеть. Обозначим терез с и о, концевое ребро и смежный с ннм отросток бинарного дерева Г, соотвстствуюп!ис некоторому кояцсвому линейному участку-змее гб скелста Л. 1!удсм рассматривать с и а как вектора, выходящие пз обшей для них внутренней точки ости Г. Считая, что плоскость канонически ориентирована, дадим слсдукяпсс определение. Определение. Индьксож 1пс!!У) конисього линсйного утшиька У назовем число, равное 1, осли репер !а, с) полохситсльно ориентирован, н — ! в противном случае.
Пусть гб и гб' конпсвые змеи скелета Н. Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 186 Опродсхлонио. Индексом шс1(го И') упорядоченнои' пары 1го И') пазывастая полуразность — ~1пс1(Я') — 1пс1(У)]. 2 Предложение 3.13 !!усть К про1теол~ тяй скелет из ИХ!т имети!ий ЙЛРХ-!зсалцзацих~ на прахам ном и-угот никс ЛХ. ЕЕус:ть (К, К') упорядоченная пара гонцсеыг аерьиин из М, соотеетстгухгхяая упорядоченной паре концевыл з„ней (г, Я') скелета К.
Обозначим через й число сторон и-угольника ЛХ от К к К'. 1!усть угол от концевого линейного участка Я к концевому линейному учатаку У' равен к!/3. '!седа сущесптует и п! единстеенно такое число а из ингпсреала ( — 1!2, 1~2), что число —, + 6 1 — шсЦУ, о') + а целое. ЕЕри тном 2 и! 1 Л = —" ,+ — шс1(У, У') + а. 6 2 Таким образом, !и!) — 1, то п1 не делится нацг.,яо но 6, и я = ° если 1пс1(В', РУ) ° емли п1с1(Ео Я') О, то остаток ! от деления п! на 6 не равен 3, и если О < г < если 4 < г < ]и!1 1, то п! не делится ноцсяо на 6, и й = ~ — ~ + 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
