Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 44
Текст из файла (страница 44)
'1 6 ~ ° если 1пс!(о, о') Ясно, что индекс пары концевых змей ложет принимать липп* три значения: — 1, О и 1. В первом случае говорит, что концевые линеипые участки смотрят нарузц, во втором что концевые линсйныс участки смопсрта е одну сторону, н в третьем что концевые линейные участки смотрят инутрь. Пусть (го И') упорядочепнан пара концевых змей скелета зц 5'гло,и огп И к лр назовем величину дуги единичной окружности направлений, движение по которой от направления первого концевого линейного участка У к направлешлю второго концевого линейного участка К' происходит против часовой стрелки, тя. в положительном направлении.
Также, длн упорндочсннои пары (Е~, К') вершин правильного многоугольника под числом сторон от К г 1Р будем понимать количество сторон в той из двух компонент между К и К', движснис по которой от К к К' порожласт обхол многоугольника против часовой стрелки. Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 187 Пусть Л скелет, а В произвольная его боковиььа. Так как мы пред- пола~ аем (см.
выше), "по скелет Л це является линейным, то существует ровно два концевых линейных участка, о и У', пересекающиеся с боковиной Л. Более того, легко видеть, что Вйгб и ВОЯ' связные фрагменты ломаной В, содержащие граничные для В ребра. Будем говорить, что боковина В поролсдсна гониевы.ни,шнейны.ни участка„яи гб и гп, а пересечения Л й гг и В й Л' будем называть соответственно Л- и Л'-частяжи боковины Л. Палее, пусть, для определенности, при движении по границе скелета В против часовой стрелки мы проходим боковину В,начиная с ее гб-части и заканчивая на ес гб'-части.
Опродмяенио. Л сделанных выше предположениях, индекс ~пс1(го Л') пазььвастся индекса,н боков ины В и обозначается через 1пд(В). Угол от концевого линейного участка гб к концевому линейному участку гр называется раствором боковины В и обозна|ается апя!В). Слодствио Зз8 !!успп Л произвольный скелет из И!го, и пусть и длина его гранииьь Прсдполоакит что Л обладает ЛМ-рва ливадией. Пусть В произвольная боковина скслепьа Ь', 6 сс длина, и апфВ) = к!/3 ес расгавор. !'огда ° если ~ш(1(В) = — 1, то п! не делится на 6, и 6 = ~ — ~ — 1; ° если 1шЦ!л) = О, то остаток г от деления п! на 6 не равен 3.
и !и!1 — если О < ~ < 2, то 6 = ~, ~ — 1; 1 и!1 — ссли4<г<5, то6= ~ ~7ь!1 ° если 'шд(В) = 1, то гд не деянтся на 6, и 6 = ~ — ~. и! ХХныжи словами. сели п! = Ор+ г, еде р = [ ), а О < г < 5, то 6 ° при г = О индекс боковины Л всегда равен О, при г = 3 индекс боковины В нико~да нс равен О, а при оспьс~вшится г индекс боковины В жалеет быть равен как О, так и ж1; ° при любом г > О, если шд(В) = — 1, то 6 = р — 1; сели шс1(В) = 1, то 6 = р; Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками ° ес,щ псс1(В) = О, то при О < г < 2 имеем 6 = р — 1; при 4 <с <й илсеелсб=р.
Пусть е и е' два концевых ребра скелета В. Тогда ломаные, полу сенные при замыкании свнзных компонент, на которые распадается граница скелета В после выбрасывании этих концевых рсбер, называется суссербоковиной. Пусть лб и З,"с концевые линейные у састки скелета В, такие что е С О н е' С Я'. Пулем говорить, что супербоковипа В порождена концевыми линейньслси участками х' и Я', а пересечения В О Е и В й йу будем называть соотвстствснно о- и Т-часлслми супербоковиньс В.
Далее. пусть, для определенности, при движении по границе скелета В против часовой стрелки мы проходим супербоковвну В., на синая с ее Я- части, и заканчивая на се о'-части. Определение. В сделанных выше предположсниях, индекс шс!(У, 22) называется илдскюом супербоковины В и обозначается через !пс!(В). Угол от ссош1евос о линейного участка Я к кошСевому линейному участку Я' называется раствора.я суссербоковины В и обозначается апц(В). Следствие 3.9 Утверждения слсдсспвил 3.8 и.яеют .кесто и длл супср- боковин.
Перейдем теперь к доказательству предложения 3.13. Доказательство продложопия 3.13. Пусть !' — некоторая 11М-реассизацня сна лета В на правильном и-угольнике* ЯХ. Поддерсвья в Г, являющиеся реализациями концевых змей Я и Я', обозначим теми же буквами. Пусть О центр окружности э', описанной вокруг н-уголышка ЛХ. Обозначим через 1 и 1' лучи, выходящие из О и псрпснднкулярныс отросткам змей Л и сб' соотнетственно. Пусть Л и 1' точки пересечения лучей 1 и 1' с окружностью с1'. „1епсо видеть, что угловое расстояние ме кду 1, и Хс, так жс, как и угловос расстояние между 12 я К', отлично от нуля н строго меньше о = к)сс. Обозначим эти угловые расстояния, деленные на т)п, через б н б' соответственно.
Ясно, что О < б < 1 н О < б' < 1. Отметим, что сели 1пс!(лб) = 1, то двилссние от 1. к 1Г по мспыпсй дуге между ними происходит в положите,п,ном паправлеяии, а если шс1(Я) = — 1 то в отрицательном. Ана.лосичные рассуждения верны и для второго концевого линейного участка Я'. Поэтому, имеет место следующее соотношение: 2к н и — 'й = —,'1+ -~б'!пд(Я') — б д(~)), и 3 п откуда й — + п1 (б' 1пс!(22) — б шс1(Я)) 2 Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 189 Положим 6 = 1У>пс1(У>) — д >пс(1У))('2. Ясно, что значения ф>увкпии 6 лежат на интервале 10,1), если >пс(1У, У') = 1, на интервале ( — 1('2,1(2), если шс((У, Ус) = О, и, наконец, на интервале ! — 1, 0), если >пс1(У, Ус) = — 1. Поэтому 6 ложно представить в виде ш>11Л, лс)>2+ а, где — 1(>2 < а < 1>>2.
и! 2!егко видеть, что 6 о.шозначно опреде,>яется условием (л): — + Ь является 6 целым числом. Поэтому а такхсс определяется однозначно. Таким образом. доказана первая часть предложе>пля. ()ля доказательства второй части, заметим. что если пн1(У, У') = ш1, н и! делится нацело на 6. то 6 лежит в пределах между 0 и шс(!се, Ус), и, п! поэтому, число — + Ь не может быть целым.
Если же и! = бр+ г, 0 < г < б>, б и остаток г отличен от нуля, то 6 = 1 — г(сб при шс11У, У') = 1, и 6 = — г(сб при '>псЦсю и') = — 1 удовлетворяют условию 1*). 3ти два решения можно записать в общем ви>1е: 6 = >пс(!го Яс)(2+ 1(2 — г('6, т.е. а = 1('2 — г('6. В обоих сличаях имеем: и! 1, ! г 6 = —, + — п>АУ, Ус) +— б 2 ' 2 6 1, 1 > !п(1 1 + >пс(1(о Яс) =,+-+и '(;.-,)+---= ~ ~~+ 6 2 ' 2 6 16~ 2 ! п(1 ! п(1 что равно — + 1 при шс1(У, лу) = 1, и ~ — ~ при шс1(У, У') = — 1. Пусть теперь шсЦУ, Ус) = О. Теперь 6 может меняться в пределах от — 1(>2,ло 1(с2. Ясно, что если, как и вылив, положить и( = бр+ г, то при и! г = 3 не существует Ь, при котором — + Ь пелое.
Если же 0 < г < 2, то б 6 = — г(6, а если 4 < г < б>, то 6 = 1 — г(б. Таким образом. при 0 < г < 2 писем При 4 < г < 5 полу гаем + — +1 — — = +1. Предложение полностькэ доказано. 7.2 Перегородки второго уровня В настоящем параграфе мы усилим предложение 3.7, распространив его на перегородки некоторого специального вида.
Так как скелеты из 1Лш линейные или с тремя концевыми линейными у >ветками, обладающие ((М- реализацией, полностью описаны (сзл. вьппе), в дальнейшем, если не оговорено противное, предполагается, что все рассматриваемые скелеты имеют не менее четырех концевых линейных участков. Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 190 Пусть В скеле э из ИЭ1ээ, обладающий В 01-реализапиев.
Пусть эп и Иэ два его концевых линейных участка-змеи, инпидентные внутреннеэ1 ячейке Ь скелета Я. Предположим, что направления концевых линейных участков Яэ и Иэ составляют угол в 60'. В настоящем параграфе мы докажем следующий розу эьгаээ Предложение 3.14 В сдс.ьанныл вылив предположениях, скелет В не инстп инциденпэнай Ь перееорвдка. Вныяи словами, вээутрснняя я:тика эл спидитп в соспэс~в некоторого уз.эа ветвления, сосгээояи!его нс яснее чсэи из двут ячеек.
Прежде чем приступить к доказательству предложения 3.14, опишем некоторые полезные свойства концевых линейных участков пргнэильиых минимальных реализаций скелетов из Иэлэ. Пусть Я скелет из Инсат и Г минимальное бинарнос де!эсво, являющееся правильной минимальной реализшэпсй скелета В. В соответствии с щэедложением 3.7, .все концевые линейные участки дерева Г змеи.
Пусть гб произвольный концевой линейный участок — змея из !'. Обозначим черсз й концевое ребро, принадлежащее л, а через й' ребро крепления этого концевого линейного участка (!эебром крепления концевого линейного участка скелета называется внутрсннсс ребро скелета, по которому концевой линейный участок пересекается с инцидснтпой съэу внутрснясй ячеикой; осталось воспользоваться соответствием между внутренними ребрами скелета и внутренними ребрами двойственной ости!.
Пусть у — путь в Г, соединяющий в и ьэ. Ясно, что все то эки 1Птсйнсра змеи Я леясат на у, поэтому их можно линейно упорядочить. Ориентируем путь ", от к к У,', и обозначим последовательные то экп П!эейнера змеи Я через ьэ,..., вр. Отметим, что р > 2, твк как В скелет. Пусть кэ отросток из Г. и~цилентный вершине вь Отметим, что все отростки й, параллельны между собой. Пусть 1, прямая, проходящая через отросток Ль '1огда, длн каждого ! < э < р отросток 13 лежит в полосе мехсду прямыми 1; э и!эвэ. В частности, если т; обозначает точку из М, в которую приходит отросток Лэ, то для ! < э < р точка т, так жс лсжпт в полосе между прямыми 1„э и 1еьэ.
Пусть тэ концевая вершина из ЛХ, в которую приходит концевое ребро Е и 1э прямая, проходяшая через тв и параллельная отросткам 16. Ясно, что как Аэ, так и эпэ, лежат в полосе между 1э и 1з. Из приведенных выше рассуждений вытекает следующее утвержденна. Ъ'тво!эждопио 3.10 В сделанныг выше вбвзэшченаяэ, на кази:дой пря„нвй 1;, 0 < э < р, лажиш ровно одна точка из жножеслэва М. Для каждого 0 < э < р, в открытой полосе, нежду пряжыжи1, ~ и!, ~ лежит ровно одни точга из.иножсства Л1, при эсж эта точка являет~я грани эной верипэной сети Г, инцидентной отростку Й, змеи У. Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 191 Пусть П замкнутая полуплоскостзч ограниченная прямой !л, такая что тс Е !!. Утверждение 3.11 Л сделанных выик: предло аозкеннях, все всрзивны из ЛХ, .шисаи!ие в полуплоскоспга П, инцидентны грани шыж ребраи дерева Г, принадлсоиащилз з.исс о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
