Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Пусть, как и выше, В скелет, для которого существует ВЛХ-реализацззя 5м на правильном и-угольникс Р. Пусть !й некоторый концевой линейный участок скелета 5, и У концевая змея из с). Обозначим через Узг подсеть в 5м, соответствукзщую концевой змее о и пусть Л вершшза и;угольника, в которую приходит концевое ребро а змеи 1:и. 1'ассмотрим дождь В, порожденный змеей Узг, и ориснтирусм его в направлении отростка из Ум, смежного с а, предполагая, зто этот отросток ориентирован от точки 1!1тейнера.
Расширим дождь !! до сонапраззленного с ним дождя, проходящего через всс множество вершин многоутольника Р. Обозна зим через Фя содержащий этот расширенный дож,чь допустимый угол. Допустимый угол Фи и характеристический угол Г(А, Фх) будем называть соответственно допуспзи.ззььи уело.и и ясризсзперисзпи зсскил у хол кошЗссои з.иеи л. Предложение 3.7 Все. коииссыс линейные у заапки оке зстс В как лтзсяиыс участки. Доказательство. Пусть и < 5. Тогда предложение очевидно.
Если и = 6, то, очевидно, существует ровно два липеиных скелета, один из которых змея, а другой лестница, причем непосредственно проверяется, что лссттпща не имеет йлз-реализации. Поэтому всюду ниже будем предполагать, что п)7. 1(окажем предложение от противного.
Пусть существует такоз! коззцевой линейный участок )З, чья концевая змея у не совпадает со всем су. Пусть сузг и лбм подсети в .5м, соответствутоппзс ).,! и зб. Обозначим через А вершину и-уз ольника Р. в которую приходит конпеззое ребро из бм. !зудем, как и ~зьзше, считапь тго координаты вершины А равны ( — 1, 0), а допустимый угол Фи концевой змеи У такой жс, как и в доказательстве предложения ЗА. Отметим, что в этих предположениях, характеристический угол Г(Л, Фн) оз-)заничен лучами ин и ио. аргумент первого из которых равен яз'6, а второго равен — (я/6 + о). Пусть Ги и Го точки пересечения лучей ин и ио с В' соответспзенпо.
Пусть з смежная с Е ячейка из Я. Обозначим через с реализацию ечинствеззн(зз о граничного ребра из двойственного графа Рч, лежазпез о в ячейке Ь. Тогда, как легко ззядетзч с целиком содержится в характеристическом угле Г(Л, Фи) концевой змеи У. Пусть В вершина из Р, в которую приходит ребро )з. Обозначим через Б внутренность меньшей дуги окружности В между А и В. Ясно, что один из лучей, ограни пзвающих угол Г(Л, Фи), пересекает д. Скелеты и правильные и-угольники 167 Пусть этот луч луч ии. '1огда, как легко видеть, змея Ум затягивает все вершины многоу| о:п,яика Р, лежащие вне [открытого] угла Г[А, Фи]. Если же этот луч луч исэ, то зися Ум затягивает все вершины многоугольника Р, лежащие вне угла П[Л, Фя], кроме, б||ть может, одной. Петрудно проверить, что вне угла ос[А, Фи] лежит ровно 2[п,)3] вершин из Р.
!Лтак, ньлеет место следующая лсьлма. Лемма 3.10 В с|)еланньм ьы|ис прес)полоояеоияг, коня|соя змея Ям затя.- гиоасп| по красней лшрс 2[и/3] — 1 послсдооаьпельнь~л оср|ион многоугольника )л а канонической тйл|ерацац порождс|той дозсдяжо из Фи. Рассмотрим, гле может распола| аться соседний с 1ь) концевой линейный участок Я' скелета Я. По предложению 3.6, ко|шевое ребро из минимальной реализации Щ~ концевого линейного участка с)' приходит в вершину Л' многоу| ольника Р, такую что число сторон й многоугольника Р между А и Л' удовлетворяет неравенству [1 — |ь)/6[ < 1 для некоторого! = 1, 2, 3.
Так как сь)' концевой линейный участок, он состоит по меньшей мере из двух ячеек. Поэтому внутри меньшей дуги между А и А' лежит по крайней мере одна вершина Х. затягиваемая концевым.п|нсйным участком Яхр Предположим, что ! равно 1. Тогда между л! и Л' содержится пс более чем [п,)6]+ ! сторон лногоугольника Р, поэтому между Л и Х не оолее [п/6] сторон. Но па меньшей ду| е между А и Пи все вершины, за исключением, воз|ложно, последней, затянуты концевой змеей Хм, поэтому между Л и последней затянутой Ум вершиной находится не менее [п,)3] — 1 сторон из Р. Далее, все верпшны из Р, лежа|цие на меньшей луге между А и !Уо, затянуты гбм, поэтому на этой дуге ыежду А и последней затянутой Ум в.рппшой находится также пе менее [п,)3] — ! сторон и,| Р.
Так как [п,)6] < [и/3] — 1 при и > 6, то вершина Х попадает во множество вершин, затянутых концевой змеей Ем. Противоречие. Поэтому ! > 1. Пусть теперь ! = 2. Тогда, между '1 и Х содержится пс болсс чсы [и)'3] сторон многоугольника Р. Поэтому, рассуждая так же, как в случае ! = 1, обнаружим, что между последней вершиной, затянутой лм, и А' может находиться нс более одной вершины Х, затянутой концевым линейным участком Я', Рассмотрим линейньш подпаркет 7 в Я, содержащий концевые ячейки участков |,) и Я'. Иэ сказкино~ о вылив вытекает, что это лестница, составленная из двух змеи: змеи У и змеи Г, причем л' состоит нс более чем из трех ячеек. Предположим, что скелет Ь имеет ячейки ветвления.
!огда одна из них должна, очевидно, содержаться в 7. Но в У она содержаться нс может по условию [напомниы, что Я концевая змея), с ячейкой |л она также пс может совпадать, так как иначе концевой линейный участок Я вЂ” змея. Поэтому, ячейка ветвления совпадает с одной из двух оставшихся, ячеек из У'.
Однаюэ, этого также нс мсокст быть, так как, с одной стороны, Скелеты и правильные п-угольникя Рис. 3.7: Этот скелет нс имеет ЛМ-реализации ячейка ветвления нс может быть крайней, а, с другой стороны, нс может примыкать к крайней ячейке [иначе зта крайняя ячейка нарост). Полученное противоречие показывает, что скелет о нс молсст содержать нчсск ветвления. Поэтому,5' линееп. 14так, показано, что при ! = 1 или 2 скелет о не может содержать ячеек ветвления.
Однако, если Ь' содержит ячейку ветвления, то у него существует концевой линейный участок Я', для которого ! < 3. !'аким образом, прсдлонсенис доказано для нелинейных скелетов,'з'. Пусть теперь Я линейный паркет. !'огда или ! = 2, и Ь' лестница, составленная яз двух змей, одна пз которых состоит не более чем из трех ячеек, или 1 = 3. 1зассмотриа первый случай. Выясним, при каких п такое возможно. По лемме 3.10, змея Ум затягивает не менее 2[п/3] — 1 вершин многоугольника, поэтому, оставшиеся и, — 2[п/3] + 1 вершин затягиваются не более чем четырьмя граничными ребрами змеи И'.
Следовательно, п— 2[п,!3]+ 1 < 1. При п > 6 решениями этого неравенспеа являются 7 и 9. Используя метод Мслзака, непосредственно проверяется, что эти лестницы также не пмекхг !ьМ-реализации. Нам осталось рассмотреть случай ! = 3. Поскольку оба концевых линейных участка яе являющегося змеек лянеияого скелета Я также не.являются змеями, их концевые змеи, по лемме 3.10, вместе затягивают по крайней мере 4[п/3] — 2 вершины многоугольника. Кроме того, из г еометрии линейных скелетов очевидно, что 5' имеет по крайней перс две ячейки, нс принадлежащие концевым змеям. Выясним, при каких и это возможно.
Из сказшшого выше вытекает следующее неравенство: 4[п/3] < п. При и > 6 это неравенство имеет единственное решение и = 8. С точностью до изометрии, сушествуст ровно олин такой линейный скелет (см. рис 3.7). Непосредственно проверяется, что он нс имеет 7!ЯХ-реализации. Предложение полностью доказано. Из предложения 3.7 и предложения 3.4 непосредственно вытекает полное описание всех линейных скелетов, имсюших 77е1Х-реализацию. Скелеты и правильные и-угольяики 169 Предложение Злв Линейный скелет имеет, ВМ-реаяссзацисо тогда и тоаь- ко тогдсь когда он является сьиссй.
4.3 Устройство боковин Отметим, что предложения 3.6 и 3.7 задают определенные ограничения на длины боковин скелетов, имеющих ВМ-реализацию. В дальнейшем, нам понадобится следующее несложное утверждение. Утверждение 3.6 Вость 1. линсйньсй скелет, концевые з„иеи ьоторого пара.тельны, и ссуссссь Вс и Вз его боковины. Тогда число ребер контура с;коссто 1., входящих и Вс, отличается от числа ребер, входящих с Вз, нс более чем но. 1. 1Лз утверждения 3.6 вытекает следующее предложение.
Предложение 3.9 11сусть В произвольный сквлвсп из Из)сь илсгющий хоигя бьс одну ячейку ветвления. Пусднолохкил, что среди концевьсх злси' скелета В ихясготся две, скаяселс, сы и 2з, проспивополоокного направления. Пусть В сшиейный пос)пиркеис в,с7, содерясащий т~ и Кз. 71редпологко,н, что одна из боковин паркета А является боковиной скелета В. Тогс1а В нс илгстп 77А1 -реализации. Доказательство. Предполо.ким противное, и пусть Г произво.льная Я37-рсализассия скелета В на правильном и-угольнике Р, вписаннохс в единичную окружность В'. Пусть 7с~ и Кз те вершины мнос оугольника Р, из которых выходят реализации концевых змей ос и оз соответственно, н пусть а, концевое ребро контура скелета В, принадлежащее гбс,.
Выбросим из контура скелета В ребра аь При этом контур распадется на две компоненты, одна из которых, скажем В, совпадает с боковиной линейного паркета В. Вторую компоненту ооозначнм через С. Обозначим такясс через В' боковину паркета Ь, отличную от В. Из предложения 3.6 вытекает, что количества верпшп многоугольника Р, лежащих на дугах окружности В, высекаемых вершинами Кс и Кз, отличаются друг от друга нс более чем на 1.
Поэтому, не более чем на 1 отличаются и количества ребер ломаных В и С. Далее, в силу утверждения 3.6, количества ребер в боковинах линейного паркета 1 отличаются друг от друга не более чем ца 1. С другой стороны, так как каждый концевой линейный участок содержит нс монсе трех граничных ребер, то в ломаной С содержится нс менее чем на 217с — 2) ребер больше, чем в ломаной В', где ь'. число концевых линейных участков скелета В. Поэтому, ломаная С содержит по крайней мере на 271 — 2) — 1 ребер больше, чем ломаная В. Таким образом, 21к — 2) — 1 < 1. откуда й < 3. Осталось рассмотреть случай й = 3.
По предложению 3.7, концевые линейные участки скелета В являются змеями, поэтому, очевидно, паркет Скелеты и правильные и-угольники 170 1 является змеей. Пусть з единственная ячейка ветвления скелета Л, и е то ребро ячеики сз, которое лежит на контуре скелета 1,. Обозначим через еь и ез смежные с е ребра контура скелета Е. Ясно, что сы с и сз лежат на одной боковине скелета й. Обозначим через Л~ и Ез тс вершины многоутольника Р, в которые приходят реализации отростков, соотвстствуюших ребрам еь и гз.
Обозначим через Ь| и сьз ячейки из 1, примыкающие к сь, и пусть Е~ и ребра этих я )еек, лежащие на контуре паркета Л. Очевидно, что Еь и 1з соседние ребра боковины паркета Гь Обозначим через Г, и Гз тс верьтпзны многоугольника Р, в которые приходят реализации отростков, соответствующих ребрам Е~ и Ез. Кроме того, пусть Вь соседняя с Гь вершина многоугольника Р, отличная от Гз, а Лз соседняя с!гз вершина из Р, отличная от Г,. Рассмотрим дождь, порожденный реализацией концевой змеи 3о и расшири и его до дождя Й„, проходящего через множество всех вершин мпогоу~ ольника Р. О и видно, что Ль совпадает с Лз. Ооозначим этот до,кдь через Л,. Пыберем одно из двух направлений распространения дождя Л,, и пусть Л = ~г;).
Ясно, что прямыс дождя Л, проходящие через точки Лб Е, и Г,, имеют последовательные поаера. Полее того, вершины Гь н Ез многоугольника Р являются соседними вершинами, и ни одна из них не является концевой вершиной для реализации змеи Г. Поэтому, между прямыми дождя Л, проходящими через Гь и Гз, лежит ровно одна прямая дождя Л. Отсюда вытекает, что на меньшей дуге окружности Лы ограниченной точками Гм и Лз, лежит ровно одна вершина из Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
