Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Поэтому, концевой линейный участок, выходящий с ребра е, затягивает ровно одну вершину мнос оугольника, что невозможно. Из предложения 3.9, 3.6 и 3.7 непосредственно получаем. Следствие 3.6 Скелеты, ноправлснил концевых линеиныт участков ьоторьш п1эиведены на рис. л.8, не инеюгп ЛМ-реализации. 11 чистности, среди скслстоь с тремя концевыми лпнсбныжи участкажц ЛМ-реализацию ,могут иметь только те, у которыт углы „нсзв*ду направаснилжи концевых линеиных участков попарно равны и раьны 120'. Следствие 3.7 Пупт Я сксзет, и мсюи1ий Ю1-ресхьизссцикь Тогда его ьонцевьяе линейные учасспки з яеи, и, в завива,,ности от их направлениа, боковины скелета б',могут бычьи одного из следугощиг 43 типот приосс1еннььх в таблице 31.1. Скелеты и правильные пгугольники Таблица 3.1 (/с, А — 1, /с — Ц !к+ ! (/с, /с, ! — Ц (2/с — 1, / — 1, й — 1, 2/с — 1) (2/с — 1, й, /с — 1, 2/с — Ц (2/с, /с — 1, /с — !, 2/с — Ц 6/с+ 1 [2! — 1, /с, 1 — !, 2/с) !2/с, ! — 1, ! — 1, 2/с) (2/с, 16 /с — 1, 2/с) (2/с + 1, / — 1, /с, 2/с) 12/с, !., !3 2й) (2! + 1, /с, й — 1, 21+ Ц (2й + 1, /;, /с, 21) (/с — 1, 2/с — 1, /с — 1, 2! — Ц !/с, 2/с — 1, !с — 1, 2! — Ц !/с — 1, 2Й, /с — !, 2й — Ц 6!с+ 1 (/с,2А.
— 1, й,2/ — Ц ф — 1, 2/с, /с — 1, 2/с) 6/с+ 3 (/с — 1,2/с+ 1, /с — 1,2/с+ Ц (/с, 2/с, !ц 2/с) (И+4 <1,21+ 1,/с — 1, 2!+ Ц ~/с, Ы, !32/с+ Ц '!/с — 1, 1: — 1, ! — 1, А: — 1,2/с — Ц 1/с, /с — 1, й — 1, /с — 1, 2/с — Ц (/с — 1, /п /с — !, /с — 1. 2/с — Ц (1 — 1, /с — 1, / — 1, /с — 1, 2 1) (й — 1,1 — 1. Е /с — 1,2/с) (/с, /с — 1, /с — 1, й, 2й — Ц 6/+2 (/с, 1 — 1, й, /с — 1, 21] (/с — 1, к, /о /с — 1, 2к + Ц 1/с, й — 1, /; — 1.
й, 2/с) 6/+4 (/с, /с, /с, /с — 1, 2/ + ! ) 1/с, /с, /с — 1, й, 21 + Ц (/с, /с, /с, к, 2/с) (й — 1, /с — 1, ! — 1, й — 1, /с — 1, /с — Ц (/с, ! — 1, /с — 1, й — 1, 1 — 1, 1 — Ц 61+1 (А, А. — 1, / — Ц 13 /с — 1, / — Ц (к,к — 1,/,/с — 1,й,й — Ц 1/с — 1, й, 1, й — 1, /с, /с) 6!+4 (/с — 1, /с, А., /с, /с, /с) бй+ 5 Боковины скелетов, допуекаюспих //М-реализнцспо 172 лгЛХ-рс>ьлизацня нелинейных скелетов Рис.
3.8: Скелеты с такими направлениями концевых линейных участков нс имеют ЛЛХ-реал>>задки Определение. Скелет из ИЕЕЭ, все концевые лннейныс участки которого змеи, а боковины относятся к одному из 43 типов. приведенных в таблице 3.1, на>овсм прав ильнь>ль 5 Критерий существования ЛЛХ-реализации для нелинейных скелетов В настоящем параграфе приводится критерий существования ЛЛХ-реализации нелинейных скелетов из ИЕЕз на множестве вершин Л>Е правильно> о многоугольника. (11апомниьц что для линейных скелетов такой критерий получен выше, см. предло>кение 3.8.) В соответствии с этим критерием, проверка существования ЕХЛХ-реализации скелета о сводится к построению минимальной реализации скелета Еч остова скелеи>а,'ь', полученного и> Еэ' отрезанием всех его концевых линейных участков, на некотором множестве ЛХ', полученном из ЛХ каноническим образом.
Скелет Я цмсст ЛЛХ- реализацию если и только если минимальная реализация остова о' скелета 5 ца множестве ЛХ> существует н обладает спеппальнымн свойствамн. Пусть сначала Я произвольный паркет из Ю:Эс. Обозначим через п количество ребер контура паркета >од Рассмотрим произвольный и-угольник Р, вписанный в еднничнук> окру»пюсп, У с центром в начале координат, и пусть М, как обычно, множество его вершин. Ориснтирусм окружность ос н контур паркета Я по часовой стрелке. Ота орнептапия задаст цам циклические порядки как на множестве ЛХ вершин многоугольника Р, так и на множестве всех ребер контура паркета Я.
Фиксируем некоторое взаимно однозначное соответствие,д между этими двумя множествами, сохраняк>шнс циклические порядки. Каждое такое соответствие будем называть проьильныж гра>тянь>л> отобрпиненцезь Ясно, что каждая минимальная реализация паркета Я на >инолсссгве ЛХ, если таковая существует, задает нскоторос правильное граничное отобра- ЛЛХ-реализация нелинейных скелетов 173 жение д. Вудом говорить.
что такая реализация уааэкаст правильное граничное отображение д. Кроме того, очевидно, если для некоторого правильного граничноэ о отображения существует уважающая его ЛМ- реализация паркета Ь', то такая реализация существует и для любого правильного э раничного отобра кения, заданн~эь о на ребрах контура паркета Н. Пусть теперь Л нелинейный скелет из И77ш и И е~ о кение~зал змея.
Пусть Ги двойственный граф змеи И, а Л вершина из Гя, соответствуя>шая концевоээу ребру л скелета Н. Обозначим через Л лоэкдь, порожденный Ги, и выберем направление ая = ээ771) распространения дождя Л от точки Х. Ориентпруем дождь Л в сторону первого отростка змеи Гя, н пусть мэи направление дождя Л. Фиксируем некоторос правильное граничное отображение множества ребер контура скелета Н на множество ~И, и пусть А та вершина из эРХ, которая соответствует концевому ребру л контура скелета Н. Обозначим через М множество ЛХ ~, (э1).
Как было отмочено выше, для множества .17 сугпествуст ровно два хороших Д-допустимых угла. Выберем из них такой угол Фи, что для произвольного долсдя Л Е Фи, направление распространения которого направлено внутрь эшогоугольника Р, а направление задается вектором т, бязясы (п(К), ш) и (пя, тя) задщот на плоскости одинаковые ориентации. Итак, если фиксировано нскоторос правильное граничное отображение, то для каждой концевой змеи У скелета Л каноническим образом строится допустимьяй угол Фя. Допустимый угол Фя будем называть допустимы.и уелои,э,яеи Я, а соответствуюшни характеристический угол 1г(.4, Фи) характеристическим угла.н змеи У. Обозначим через ь'.
количество ячеек в змее И. Назовем гласник .гаракэнсриснэическим треугольника.н змеи У опрсдслснньш выше йзый характеристический треугольник Ня ИИьНь для Л-допустимого угла Фх, н лаХэаэепэерээсти эескаэй дугой змеи Я й-ую характе1энстическщо дугу Рь(Фх) = Ря эРя. Допустимый угол Ря эНьРу с вершиной в Нь назовем Н-данустияым угнан змеи И (сьь рис. 3.9), а вершину Нь главной есртиной гауакнпристического яэрсугольника Нь ьМуНю Для дальнейшего нам попадооится следующее утверждение. з'твоРжДонио 3.7 НУсгиь Л нРоиэаольныи нелинеиный скелет из 1477эа, инеющий ЛМ -реализаито на правильно н и-угальнике Хэ. Тогда каэкдьоЪ его концевой линейный участок змея И затмгиаает лиэиь те ье1эээцээнн, коэно1эьэс льээяннл, ьнс характеристического угла зяси У.
Доказательство. Введем па множестве М канонический поря лак, заданный на множестве ЛХ дождями из Фк, и пусть, как обычно, ЛХ = )Ме = 4, ЛХы..., э17„э ) . 174 ЛйЕ-реьшизация нелинейных скелетов 11о о ч:3 '-..' !'Рз,- ", Ф,»'-' .~. 4 Н,,-с.--" 1те 1-о Рис. 3.9: ЕЕ-допустимые углы '!ак как скелет э' нелинеен, то для любого его концевого линейного участка 9 существует соседний с нп л концевой линейный участок Л', составляющий с 9 угол меньший или равньп1 120'. Пусть Ей и Еы те вершины многоугольника Р, в которые приходят концевые ребра реализаций змей Я и лй' соответственно. Но предложению 3.6, на меньшей дуге о между Ей и Ей' лежит пе более [п/3[ вершин из Р. С другой стороны, так как у ~асток я," состоит не менее чем нз двух ячеек, то на дуге Б расположено не менее одной вершины, .затянутой у ~ветхом я ', и, значит.
не более [пЯ вЂ” 1 вершин, затянутых участком л. Поэтому, концевой линейный участок яй затягивает нс более чем 2[в/3' последовательных всрппщ из Р, номер последней из которых нс превосходит 2[пЯ вЂ” 1. /[ля завершения доказательства утверждения осталось вспомнить, что, как было показано вышс, первая вершина мноо оугольника Р, лежащая внутри характеристического угла, имеет номер 2[п/3] в порожденной Фя канонической нумерации.
Пусть Я нелинейный скелет из ИГЕщ имеющий ЕыРЕ-реализацию на правильном п-угольцике Р, и 3' некоторый его концевой линейный участок зися. Тогда иэ утверждения 3.7 непосредственно вытекает, что змея л состоит не более чем пз 2[п/3~ — 1 ячеек. Опродоленио.
Нелинейныи скелет из ИЯ, все концевые линейные участки которого суть змеи, состоящие не более чем иэ 2[п/3~ — 1 ячеек, где и число ребер контура скелета Я, назовем ресуяярны,и скелетом. Таким образом, скелеты из ИЕЕ~, имсюшнс ЛЯХ-реализацию, являются регулярными.
Отметим, что если э регулярный скелет, то характеристическая дуга любой его концевой змеи лежит внутри многоугольника Е'. Напомним, что каокдый скелет из ИЯ, имеющий Л31-реализапию, является также и правильным. 'Утверждение Зс8 Лаждый нелинейный прооияьный скелет является регулярны.м. ВЛХ-реализация нелинейных скелетов Доказатечьство. Пусть В правильный скелет, контур которого состоит из о ребер.
Из таблицы 3.1 видно, что каждый концевой липеиный участок У скелета В примыкает к такой боковине В зтого скелета, которая состоит не более чем из [п/3] ребер контура. '!'ак как второй концевой линсйньш участок скелета, примыкающий к боковине В, содержит нс менее двух ячеек, то пересечение концевого линейного участка уб с боковиной В состоит не более чем из [п/3] — 1 ребер, откуда вытекает, что концевой линейный у ~веток 7 имеет не более чем 2[п/3] — 1 ячеек, что и требовалось.
Пусть У концевая змея правильного скелета .Ь, контур которого состоит из п ребер. Ооозначнм через х концевое реоро контура скелета Рь принадлсжащсс У. Пусть задано нскоторое правильное граничное отображение В во множество ЛХ вершин правильного п-угольника Р, вписанного в единичную окружность В~, и пусть А = /![х). Пусть зб состоит из й ячеек. Напомним, что й ( 2[п/3] — 1.
Рассмотрим дугу у окружности У между Мя ~ и ЛХь, содсрясащую точку А. Обозначим через Е[А, зб) замкнутое подгяножсство единичного круга, ограниченное дугой у, отрезками Рь ~ЛХь ~ и РьМю а также характеристической дугой концевой змеи ,3. Определение. Построенную выше замкнутую область Е[А, а) назовем концевой облашиью концевой змеи зб с началом в точке А. Пусть В правильный скелет, и 2ч и 2'з его произвольные коппсвыс змеи. Обозначим через х, концевое ребро контура скелета Рь приналлежащсс У;. Пусть фиксировано некоторос правильное граничное отображение В утверждение 3.9 Еонцгоыг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
