Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 45
Текст из файла (страница 45)
ХХныжи *лаваши, всс точки из жнозксства ЛХ. поззавзиие в полуплоскотпь П, затянуипы злесй И. Пусть 1 прямая. параллельная отросткам ззьзезл го проходящая через вершину из ЛХ. соседнюю с т„и нс инцидснтную граничным ребрам змеи Я. Обозначим через П открьпую полуплоскость, ограниченную прямои ! и содержащую концевую вершину те змеи о. Утверждение 3.12 В сделанньсх выиш предпо.зозихениях, среди ве!зизизз из ЛХ, лсзкащих в сзо,зусзлоскосссзи П, сущссзпвуспс нс бо.зее одной всришны, нс инцидснтной грани зньыз ребра я дерева Г, принадлезкищи и знее И.
Ины,чи с зовалзи, всс граничные веришны дсрсиа Г, попавшие в полдплоскость П, за ззскгзичсззисзз, возиозкно, ослзоз!з затянуты зиесй И. Пусть, как и выше, Лз С л обозначает ребро крепления. Пусть !' прямая, проходящая чсрсз й'. Пусть П открытая полуплоскость, ограниченная прямой !' и содержащая концевую вершину тс концевого линейного участка И. Имеет место следующая оценка.
Утворждонио 3.13 ХХ сделинт зх всиис предззолозязениях, число вершин ззсз ЛХ, попавших в полуп.зоскостпь П и инцидентных рс бра и концевого линейного участка Я, нс,нснь вы 2. Гспсрь вес готово, чтобы доказать зз!зедложсние 3.11. Доказательство предложения 3.14. Предположим противное, т.е. что имеется нспустан перегородка, инпидснтная узлу ветвления сз. Пусть з' ячейка этой перегара,чки, смежная с с1. Будем обозначать теми жс буквамп соответствующие элементы ЙМ-реализации Г скелета б. см. рис. 3.!3.
'1'ак как ячейка Ь' не внутренняя, то существует отросток к„дерева Г, выходящий из точки П!тейнсра, которая соответствует ячеша злз. Ясно, что 1, параллелен либо отросткам участка Из, либо отросткам участка ли. Пусть, для определенности, !сзз параллелен отросткам концевого линейного участка Из, и т, вершина из М, инпидентная й„. Обозначим через 1 концевое ребро из Г, а через зпс концевую вершину из ЛХ, соответствующие концевому линейному участку лз. Пусть, как и выше, кз,..., .Л„ззослез!овсзтесзьззьзе отростки коппевого липеиного участка Из, а тч вершина из М, в которую приходит отросток Хь Ясно, что т„и зп„соседние вершины из М.
Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 192 'гпе Рис. 3.13: Доказательство предложении 3.14 Проведем через т, прямую 1,. Эта припая, очсвидтчо, параллельна отросткам змеи оч. Ооозпачим через П открытую полуплоскость, ограниченнук> прямой 1„и содержтцую вершину гпе. По утверждению 3.12, в полуплоскости П содсржнтсн самое болыпос одна вершина из 31, нс ипцидентнаа граничным ребрам змеи обч.
Ооозначим через ко ребро крепленил концевого линейного участка ебз, н через !о прямую, проходящую через йп.,'!егко видеть, что йн и, значит, )и, пар ылельшл отросткам концевого линейного участка уч. Кроме того, если ! и 1, прямые, проходящие через А„и к, соответственно, то прямая !о содержится в полосе меж,чу прямыми ! и 1„. Далее, пусть 1Г' открытая полуплоскостчь ограничепнал прямой !", такая что конпечзое ребро из !бз содержится в П". Легко видеть, что По С П. В силу утверждении 3.13, в полуплоскости Пп лежит нс менее 2 точек из Л1, инцидснтных граничным ребрам змеи Уз. Но граничные ребра концевых линейных участков Уч и 3з инцидснтпы различным вершинам из множества М. Ото противоречие и заканчивает .!оказательство прсдлохесния 3.11. Т.З Доказательство предложения 3.12 В настоящем параграфе мы применим приведенные выше результаты для доказательства предложения 3.12, утверждающего не существование правильной минимальной реализаччни у 4-скелетов.
Пусть существует скелет ч' с четырьмя концевыми линейными у1астками, имеющий ЛЛХ-рсачпзацинэ на правильном и-угольнике ЛХ. Предположим сначала, что о имеет непустую перегородку. '!очда, по предложению 3.!'1, направления его концевых линейных участков, иипччдееггнчюх одному и тому жс узлу ветвлении, составляют угол в 2л/3. Докажем следующее пре,чложение. Предложение 3.15 Не еутесчпеует скелета,5' ь четырьил концееыжи пикейными учаеткажи, который ижел бы ЯЛ|-реализацикц однако напра- Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 193 Рис. 3.14: Скелеты это< о типа нс имеют ВМ-реализации алснил каясдой поры его соседних концевых линейнь<х участкоь состаеллли бы угол а 2к<<3, рис.
З.Ц. Доказательство. Предположим противное. Пусть г" н 22 два концевых линейных участка скелета Ь, инцидентных одной и той же внутренней ячейке, а В боковина, порожденная У и Л', и 6 длина боковины В. !!о предложению З.б, имеем илп 6 = [п)<3], ялв 6 = [«)'3] — 1, т.е. 6 > [«)<3] — !. Следующая лемма очевидна. 3!омма 3.14 ))усть гб конценой линейный участ<нс з.нея скелтпа В.
Обозначил через Ви и В~! бокоеины концевого линейного участка У, т.г. пересечыте с<зон<еетс<пеуюи)их бокюгин скелета В с границей концеього линейного уча<сака Е. Тогда длины бокоаин Вг и В!, опшичаю<псл друг от друга нг бо,<ее чеж на 1. !1усть Вх = В П гю Ви = В г! У<, а В!~ и Б~!и оставшиеся боковины концевых линейных участков У и 2' соответственно. Обозна |иь< длины этих четырех боковин через 6и, 6и, 6г, и 6<хи соответственно. Ясно, что 6: 6х + 6х, поэтому 6х + 6г > ~п(З] — 1, см. рис. 3.!4. Из леммы 3.14 вытекает, что 6' > 6г — ! и 6', > 6и — 1, поэтому получаем следуюшее неравенство [г): 6я + 6<ьп > [п)<3] — 3. Следовательно, концевые линейные участки Я я )"< вместе затягивают пе менее [«[3] — 1+ [г<)< 3] — 3 + 2 = 2[«)<3] — 2 вершин из множества М.
Аналогичные рассуждения верны и для пары концевых линейных участков, инппдснтных другому узлу ветвления. Поэтому, все четыре концевых :пшейных участка скелета В затягивают не менее 4[«)<3] — 4 точек из множества М. Однако, при н > 21, имое л: 4[н)<3] — 4 > и, противоречие. Отметим, что так как каждый концевой линейный участок затяги- наст нс менее трех вершин из М, то осталось доказать предложение для Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 194 12 < и < 20.
Для этого заметим,что в нашем случае для одного из концевых линейных участков Я и Е', скажем для И, длина боковины Ь', ве меньше длины боковины Ьх, т.с. Ьля > 6л, а для другоь о из этих концевых линейных участков, для И', имеет место противоположное неравенство: Ьх, < Ьх . Поэтому, неравенство [ь) мо.кно уточнцтьс 6'., + 6'.„> [п,ЭЗ] — 2, следовательно, все четыре конпсвых линейных участка затягивают не менее 4[пЭ3] — 2, что больше и при и > 12.
и ф 14. Гели же и, = 14, то 1[пЭ'3] — 2 = и, поэтому все вершины из М затянуты юэнцсвыми линейными участками, значит,5 нс имеет персе ородок. 1Эолее того, Ь = 6х + Ьи обязано равняться [пЭ'3] — 1 = 3, а Ь!, + Б'„, [п,Э3] — 2 = 2, поэтому концевой линейньяй участок У обязан состоять из 2 ячеек, в то время как И' из трех ячеек. Анало1 инно для двух остшь шихся концевых линейных участков. Итак, мы получаем скелет с одним узлом ветвления.
симметричный относительно центра этого узла ветвления, и с однозначно определенными длинами концевых линейных участков. Сущестпуеч ровно один ~акой ~ к<.,а т [с точноьть«э до симмс г1ши) ..Чеь ко видеть, что пп1 [71) = 1, поэтому, по следствию 3.8, длина Ь этой боковины равна [и,ЭЗ] = 4,противоречие. Предложение 3.15 полностью доказа|ю. Следствие 3.10 Скелет с чепьырьмл концевыми лштбными участками, ильеющии КЛ!-рсстизацию, нс содерзкит перегородок, поэтому он ильсст ровно один узел вепьвления. Из предло.кения 3.15 и следствия 3.10 вытекает, что имеется ровно лва типа скелетов,'> с четырьмя концевыми линейными участками, которые могли бы имс гь Л,1ьг-1эсглизапы«н 1) углы между направ.чсниями концевых линейных участков, выходяьцих с одной внутренней ячейки, равны к,Э3; 2) для одной пары концевых линейных участков, выходящих с одной внутроннсй ячейки, угол между их направлениями раасн х[3, а для другой пары 2«,ЭЗ. Скелеты этих обоих типов имеют ровно один узел ветвления, рис.
3.15. Предложение 3.16 Пусть 5' скелет, с четырь,яя концевылт линейны.,чи участка.ни. обладаюиьи«1 ЭЭЫ-реал«замп«и [относлщиися к одному из двух типов, сн. выше). 71усть г1 и И' его концевые лпнейныс учатпки, имеющие противополоэкные направления, а Я' и И" два оставшихся концевых линейных участка.
Говда концевые линейные учаоаьки У' и И" состолпь из одинакового числа лисок. Доказательство. Для определенности, будем считать, что концевые ли- нейныс участки Л н И' выходят из одной внутренней ячейки. Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 195 Рис.
3.!5: Два типа возможных скелетов (л 'Эю О (5,6) О '~~О Ву' В (7,8) Рис. 3.16: Концы Г и И" имеют одинаковую длину Пусть Ья и Ллн первые две ячейки концевого линейного участка Я, считая от узла ветвления, а Лш и Ь(к псрвые две ячейки концевого линейного участка И', также считая от узла ветвления. Ясно, что прямые 1и, !', 1и и 1' -, проведенные через отростки ЯМ-реализагпли Г скелета 5, соответствующие отросткам из построенных четырех я тсск, параллельны между собой, и каждая из пих содержит ровно олпу вершину из множества М. Если упорядочить построенные четыре прямыс так: 1', 1к, 1н, 1и., то в полосе между произвольными последовательными прямыми нс будет лежать никакая другая пря лая из этого семейства. Кроме того, как в открыл ой полосе между 1' и 1и, так и в открытой полосе меисду 1и н !',, нет вершин из множества М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
