Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 48
Текст из файла (страница 48)
31егко видеть, что каждая из только что выписанных функций может бьгьь представлена в виде Асов!7!+2о!), где А и В фуцкпии, зависящие только от н, т.с. нс зависящие от 7. Поэтому, прн фиксированном о, на каждом отрезке величины меньше чем,~ )последняя величина равна позе лозине периода для А сое)17 + 2о7)! каждая такая функшзя имеет не более одного экстремума. е1ы покажем, что при каждом допустимом а !напомним, что о = — ', а па и имеются естественные ограни зецня, вытекающие из ~л раничений на р) рассматриваемые функции или монотонны по 7, или на области изменения параметра 7 имеют локальный линимум.
Иными словами, этя фуыкпии не могут иметь локально~ о максимума в области изменения параметра !. Для этого вычислим вторую производную по ! от каждой пз этих функций. Оказывается, эти вторыо производные нсотрицатсльны, что и доказывает отсутствие локальных максимумов. Ниже приведен список искомых вторых производных. Случай и = бр+ 1, и = (2И 21р — 7) — 1, 2(р+ 7) — 1), ! < 7 < р — 2, р > 3. г0 дз дгз = 4а сес1о) е1п1о/3) !соя!о,73 — 2о7) + х73 сое1о — л76+ 2н!)). Случай п = бр+ 1, и = 127 + 1, 21р — !) — 2 2(р+ !)), 1 < 7 < р — 2, р > 3. дзйз д7з = 4о" сяс1о) е!п1а/3) !сое(2о73+ 2о!) + т/33 яш12а+ л73 + 2а!)) .
Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 206 Случай и = бр+ 2, и = (21, 2(р — 1) — 1, 2(р+ 1)), 1 < 1 < р — 2. р > 3. дзе", = 2о свс(о)( — Дсов(до/3+ гг/3+ 2оС)+ 2 сов(о/3 + я/3 + 2а1) в1п(а/3 + я/3)) . Случай п = бр+ 2, и = (21+ 1,2(р — 1) — 2,2(р+1) + 1), 1 < 1 < р — 2, р>З. д дл ЙВ = 2о свс(о) ( — Лсхж(7о/3+ я/.*5 + 2о1)+ 2 сов(4о/3+ я/3+ 2о1) в1п(о/3+ я/3)).
Случай и = бр+ 4, и = (21, 2(р — 1), 2(р+ 1)), 1 < 1 < р — 1, р > 2. дзБс = '!аз свс(о) вш(о/3) (сов(о/3 — 2оС) + х/3 вш(о + я/3 + 2оС)). д12 Случай п = бр+ 4, и = (21+ 1,2(р — С) — 1,2(р+ 1) + 1), 1 < С < р — 2, р>3.
д Б = 4о свс(о) яп(о/3)(сов(2о/3+ 2оС) + ъ~З вш(2о+ я/3+ 2оС)). Случай п = бр+ б, и = (21, 2(р — 1), 2(р+ 1) + 1), 1 < С < р — 5, р > 2. дзсе дСз = 2ов свс(о)( — х/!сов(4сг/3+ я/55+ 2о1))+ 2 сов(о13+ з/3+ 2о1) в1п(о/3+ я/3)). Случай и = бр + б, и = (21+ 1, .2(р — 1) — 1, 2(р+ 1) + 2), ! < 1 < р — 2, р>3. дэба = 2 а" свс (о) ( — х/3 сов (7о/3 + я/3 + 2о1)+ 2 сов(4о/3+ з/3+ 2ог) гйп(о/3+ я/3)). 31сгко видеть, что каждая из этих вторых производных нсотрицательна при лквбых допустимых о и 1. что и требовалось. Таким образом, каждая исследуемая фупкциа Бз и Бс~ принимает паибольшсс значение на концах отрезка изменения параметра 1.
Оказывается, это наибольшее значение достигается на правом конце отрезка. Обозначим через вз (через вв) разность между значенглями соответствуюшей функции Ез (функпии де) на правом и левом концах отрезка изменения параметра Оказывается, все* зти функции вз и в~в нсотрицательны при всех допустимых о. Приведем список фупкпий вв и в'," во всех интересугоших пас случаях. Случай и = бр+ 1, и = (21, 2(р — 1) — 1, 2(р+ 1) — 1), 0 < о < я/1с5.
Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 207 ез = 4 свс(а) вш(агсб) сов(о,тб) яп(1»1с»,тб — н,гб)к (л»'3 вчп(сгт»6) + вш(За»»2 — лтсб)) . Случай и = бр+ 1, ц = (21 + 1, 2(р — 1) — 2, 2(р+ 1)), 0 < о < хгс!9. сз = 4 свс(а) ялл(о,тб) сов(с»,тб) в!п(19а,»15 — л,»15) и ( — Дягл(5»а,тб) + яп(ог»2 — нг»15)). Случай и = бр+ 2, р = (21, 2(р — 1) — 1, 2(р+ 1)), 0 < а < н,»20. вг — — свс(о) сов(!Ос»т»З + з с»3) ( — лс»3 + 2 сов(о) в!г»(с»с»3 + з с»3)) . Случагл и, = бр+ 2, г» = (21+ 1, 2(р — 1) — 2, 2(р+ 1) + 1), 0 < о < лт'20. вл — — свс(о) сов(10о»5+ л»5) ( — Лсов(о) + 2 в»п(от»3+ хг»3)) . Случай и = бр+ 4, и = (21, 2(р — 1), 2(р+1)), 0 < о < л»»16.
вз = 8 свс(а) вш(с»т»3) сов(стт»3 — л,»3) сов(ос»3+ тгт»5)» вш(ог»3 — тт»б) в!п(8от»5 — хгсб). Случай и = бр+ '1, и = (21+ 1, 2(р — 1) — 1, 2(р+ 1) + Ц, 0 < о < лс»22. вз = 2 свс(о) в!п(о,»3) в!п(11о,»3 — з с»6) ( — ъ'3 в!п(о/3) + яп(о — зтсб)). Случай и = бр+ 5, и = (21, 2(р — 1), 2(р+ 1) + 1), 0 < о < хтс!7. вл — свс(о) сов(о,»2) сов(! 7о,тб + лт»3) ( — »УЗ + 2 в!п(ог»3 + нт»3)) .
С»О " =бр+5, ° =(21+1,2(р-1) — 1,.2(р+1)+2),0< « -723. ве = свс(о) сов(от»2) сов(23ог»6 + л,ГЗ) ( — »»»3 + 2 в!п(от»3 + нг»3)) . Несло»кно показать, что каждан нз этих функций неотрипательна при всех допустимых с». Приведем приме1» доказательства, скан,ем, длн первого случая. Ясно, что »Лвш(от»6) + вш(Зо,»2 — лтсб) является возрастающей фУнкцией пРи 0 < о < лг»19, поэтомУ чЗ вш(ос»6) + вш(Зс»г»2 — лтб) < (лс»5 вш(от»6) + в1»л(5о)2 — х/6)) ~ вв — 0.224378 < О. Кроме того, влп((9отсб — нггб) < 0 при 0 < о < хт»19, откуда немедленно вытекает неотрицательность функции в длн первого случая.
Псотрицательность остальных функций доквзываетсн аналогично. Итак, нам осталось проверить, что ка»кдал из рассматриваемых функций Бз и бл", в которую вместо параметра 1 подставлено его максимальное допустимое значение (полу генныс функции мы обозначим через Лез и рл соответственно).
прн всех допустимых а принимает лишь отрицательные значения. Пгэивсдсм список функций»рз и»р~» в интересующих нас случаях. Случай и = бр+ 1 и = (2(р — 2),3,4р — 5), 0 < о < л 119. Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 208 тсв = 2 сьс(о) в1п(о/3) (соя(о/6) сов(о) + яп(о) яп(а/6 + тг/3)— соя(о/б) ( — соя(14о/3 — л/3) + "/! сов(10а/3 — к/6))) . Случаи тт: бр + 1, гт = (2(р — 2) + 1, 2, 4р — 4), 0 < о < тг/!9. гтт = 2 о с(о) вш(а/3) (соя(о/6) + сов(5а/6+ тг/6) яп(о)+ соь(а/6) ( — соь(!1о/3 — тг/3) — т/3 ьш(7а/3 + л/3))) . Случай и = бр+ 2, и = (2(р — 2), 3, 4р — 4), 0 < а < т/20. ,ст" = свс(а) яш(2а/3) (сов(8а/3) — 2 сов(2а/3) сов(8а/3)— 2 соя(7а/3) соя(5а тЗ вЂ” тг тЗ) + т/3!соя(4о/3 — тг/6)) .
Случай и = бр+ 2, тт = (2(р — 2) + 1, 2, 4р — 3), О < о < тг/20. ~р~~ — — сьс(а) яп(ст/3) ( — 2 соя(а) сов(7а/3 — л/3)— Л соя(8а/3 — тг/6) + 2 соя(а/3 + тг/6) ) . Случай и = бр+ 4, гт = (2(р — 1), 2, 4р — 2)), 0 < а < л/16. грт = сяс(а) яп(а/3) (4 соя(ст/3) соя(а/3 + т/6) яш(а)+ т/3 яш(7а/3 — 2 т/3) + 2 яп(4о/3 — тг/6) яп(7а/3 — тг/6)) . Случай и = бр+ 4, гт = (2(р — 2) + 1, 3, 4р — 3).
0 < а < -/22. гр = сяс(о) яп(о/3) ( — 2 соя(а/3+ л/6) яп(о)+ т/3 ятт(10тт/3 — 2л /3) + 2 ьш(7а/3 — тг/6) ) . Случай и = бр+ 5, и = (2(р — !), 2, 4р — 1), 0 < а < тг/17. грв~ — 2 сяс(а) яп(а/3) ( — соя(а/3) сов(Зо) + соя(о/2) сов(о/2 — л/3)— яп(а/6) яп(а/2) — соя(а/3 — л/6) яп(За)) . Случай и = бр+ 5, гт = (2(р — 2) + 1, 3, 4р — 2), 0 < гт < тг/23. ~р~в — — свс(о) ьш(о/3) (1/2 — т/3 соя(11о/3 — л/6)+ 4 соя(а/3) яп(а/6) яп(5а/6 — и/3) + 2 вш(4а/3) вш(За — тг/3)) . Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 209 Покажем, что эти фУнкции 5зз и вгбил отРицательны пРи всех допУстимых а.
гг5ггя этого, очевидно, достаточно показатгч гто последний множитель каждой из этих функций меньше нуля. Соотвстствуюшие последние множители функций 5эз и рв~ обозггачиъг через г5з и св. Рассмотрим каждый иэ восьми случаев. Случай п = бр+ 1, и = (2(р — 2), 3, 4р — о), 0 < а < гг/19. гбз < (сов(а/6) сов(о)) ! + (яп(а) я!п(гг/6 + и/3)) ! сов(а/6) ( ч в ( — сов(14а/3 — п/:5) + зГ5соя(! Оа/:5 — л/ЬЯ я и - О.
854484 < О. Случай п = бр+ 1, и = (2(р — 2) + 1, 2 4р — 1), 0 < а < гг/19. Отметим сначала,что сов(а/6)( — сов(11а/3 — гг/3) — Лвйп(7а/3+ к/3)) = — соя(7а/2 — .г/3)/2 — соя(23а/6 — гг/3)/2— Дети(!За/6+ г/3)/2 — Дя!п(5а/2+ л/3)/2, и все четыре функции в правой части равенства монотонно убывают при 0 < а < л/19, поэтому эта часть функции ввз ограничена сверху своим значением в точке а = О, т.е.
при 0 < а < х/19 имеем: соя(а/6) ( — сов(11аг 3 — к/3) — ьг3 ятгг(7га/3 + л/3)) < — 2. С другой стороны, оставшаяся часть функции ьлз, т.е. соь(а/6) +соя(5гг/6+ и/6) вт(а), меньпге 2, откуда и вытекает, что авз < О при 0 < а < и/!9. Случай и = бр+ 2, г = (2(р — 2), 3, '1р — 4), 0 < а < -/20. й~~ < соя(8а/3) ~ „— (2 сов(2гг/3) соь(8а/3)) (2 сов(7о/3) сов(ба/3 — х/3)) + х/3 соя(4а/3 — и/6) -0.169804 < О.
Случай п = бр+ 2, и = (2(р — 2) + 1, 2, '!р — 3), 0 < а < л/20. л/„< ~"ли „= — 1 < О. Случай п = бр+ 1, и = (2(р — 1), 2, 4р — 2)), О < гх < л/155. ийз < (4соя(а/3) сов(о/3+ л/6)) ( в я яп(а) + (,/3 яп(7о/3 — 2л/3) + 2 яш(4а/3 — х/6) яп(7а/3 — и/6)) — 0.324187 < О. Случай п = бр+ 4, и = (2(р — 2) + 1, 3, 4р — 3), О < а < л/22. лвз < гвз! ., — 1 < 0 Случай и = бр+ 5 и = (2(р — !), 2,4р — 1), 0 < а < и/17. Скелеты с пятью концевыми линейными участками 210 чсч~ < — (сов(о/3) соь(Зо)) !,ч+ сов(чч/2) е сов(о,ч2 — к/3) (в1п(сч/6) вш(ачч2) — сое(о/3 — кччб) вш(Зо)) ! в а -0.270631 < О.
Случай и = бр+ 5, о = 12(р — 2) + 1, 3, 4р — 2), 0 < о < к/25. 1аким образоьц предложение 3.12 полностью чоказапо. 8 Не существование правильной минимальной реализации у скелетов с пятью концевыми линейными участками В настоящем параграфе ьлы разберем случай 5-скелетов. Предложение 3.19 Скелеты с пятью концевыми линейныло учсчсчччксчлзч не и.пьют КМ-рсалтацчччь Мы начнем с описания некоторых з.чемечггарнчях свойств члплексов боковин. Лемма 3.19 Сулиа индексов ессх боковин скелета В равна нулю. Две боковины В и В' называются соседнили, если один из порождающих боковину В концевых линейных участков также является одним из концевых линейных участков, порождающих боковину В'.
Лемма 3.20 Соседние бокоь ивы нс могут одпоьрс.асино иметь индекс 1. Лемма 3.21 Соседние боковинка не,,пасут, одновреленно и„неть щчдскс — 1. Пусть В скелет с пятькч концевыми линейными участками, имеющий ЙЛХ-реализациях Следствие 3.11 У скс.юта В имеемся не бо.чсс деус боковин индекса 1. Слодствне 3.12 У скелеощ В щиеетсл не более двух боковин индекса — 1. Следствие 3.13 Сущсспшуст ровно три возлчожности: ° пндсксьч всех боковин скс,чета В равны ччулю; ° одна из боковин илссиь индекс 1, еще одна индекс — 1, остальные три боковины и.аеют индекс 0; Скелеты с пятью концевыми линейными участками 211 Рис. 3.20: Такнс скелеты нс имеют ЛЛХ-рсэлнзапиц индекс — 1, и ровно одна ° две боковины ижсшт индекс 1, две другие боковина индекс О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
