Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Для определенности, будем считать, что пары 1лм, лйз) и ~Ую Уь) состоят цз концевых линейных участков, выходнщих с одной внутренней ячейки, рис. 3.24. Начнем с доказательства следующего предложения. Предложение 3.24 В вделанных выше иредиололсенилк, ньрсеородки скелета В .ноол от, быть .ппиь змеей, параллельной концевыи.пьнейнььа учисткаж71 ил~в Доказательство. Предложение 3.24 будет получено как следствие из следующей, существенно более общей леммы. Пусть В пелинейшл1 скелет, имеющий ЕУЕ-реалпзацию, и Е, некоторый линейный подпаркет в Я, не являьощийся змеей и содержаьпый концевую 'змею о скелета В. Ориентирусм Л от концевого линейного участка У и разопьем линейный паркет 1, па последовательные змеи. Предположим, что первая ячейка Ь второй змеи из Е не явлнстся внутренней ячейкой скелета В.
Скелеты с шестью концевыми линейными участками 221 Рассмотрим единствспнуго боковину В скелета 5', псресскаюшугося с сл по ребру. Ориентация паркета У. опрелеляет ориеггтацвк) этой боковины. Обозначим через У' второй, в смысле этой ориентации боковины В, концевой линейный участок скелета Ь', пересекающийся с В. Лемма 3.22 В сделанных выисе оредаолозкснилх, узел леви ду ншгравлениг.,н концевого линейноео участка гр и ьониевоео линейного участка 2э из,меренньсб вдоль супербоковины, содерлеащей боковину В, не,иывиле сеж Заметим, что из леммы 3.22 немедленно вытекает предложение 3.24.
В самом леле, если единственная возможная перегородка скелета В не является змеей, параллельной концевому линейному участку Уг, то легко построить требуемый в лемме 3.22 линейный подпаркет Е, скеле га,Я, состояпщй из концевого линейного учасггка Уы инпидентног о ему узла ветвления и перегородки.
Тогда, в силу леммы 3.22, угол между направлением участка см и направлением участка Яо глс г равно или 3, илп 5, в зависимости от того, в какую сторону первый раз поворачивает линейный паркет Г„должен бьггь не меньше чем л, что невозможно. Доказательство леммы 3.22. Обозначим через т Е М концевую вершину змеи 2'. Рассмотрим максимальный, содержащий У, подпаркет змею 2' из 1,.
Ясно, что первая я сойка змеи Я это конпсвая ячейка концевого линейного участка Я. а последняя это ячейка гл. Пусть у ручеек, соответствуюший змее У. Послелнее звено мого ручейка совпадает с отростком а, соответствующим ячейке сл. В силу леммы 3.8, весь построенный ручеек, а, значит, и отросток а, лежит в характеристическом уг:и Г(У) концевого линейяого участка У. Напомним, что угол 1г(гс) имеет величину лгг3+ о, где о = кгги, и образован лУчамп, составлаклцими с РадиУсом тО Углы в кггб и кггб+о (здесь О начало координат, совпадак1щсс с центром окружности, в которую вписан многоугольник ЛХ). Поэтому угловое расстояние между точкой т и концевой точкой А отростка а строго болыпе чем 2х~3 — 2о. Далее, угловое расстояние между точкой А и концовой всршиной га' концевос о линейного участка Я' не мсныпе чем 4о, так как концевой линейный участок йу состоит не меньше чем из 2 ячеек. Полому, угловое расстояние р между т и т' вдоль луги окрулспости У, содержшпей точку Л, строго больше чем 2л,г3+ 2о.
Кроме того, из предложения 3.13 вытекает, что сели угол между направлениями концевых линенных участков гб и У' равен л1гг3, то л1 — < 2о. В 'гастности, л! р< +2о, 3 Скелеты с шестью концевыми линейными участками 222 а так как, с другой стороны, ««с ) 2к1«3+ 2о, то 1 ) 2. что и требовалось. Предложение 3.24 доказано. Воспользуемся теперь предложением 3.13 и следствием 3.9 для изучения ««озможно«х чстностсй конце««ых линейных участков оке.«ста В. Пусть с вектор четпостсй концевых линейных участков скелета,5', т.с.
вектор (с«,..., сь). Предложение 3.25 В сделанных выше предположениях, сектор е чстносп«сй конисоых линейных участ««коо скелета 5' жозюст быть лишь слсду«отсео ои«1а [здесь, ьаь ет.гдц с обознсочаст остаток от дст:шы п, нс« 6): ° сс„ш « = О« то [О, 1, О, О, 1, 0) и.«и (1, О, 1, 1, О, Ц,: ° если с = 1, то [0,1,1,1,0,0), [1,1,0,0,0,Ц, (1,0,1.0,1,0), [О, О, 1, 1, 1, 0) . [О,, $, О, 1, .О, Ц, или [1«0, О, О. 1, Ц; ° если г = 2, «««о [0,0,0,0,0,0), [0,0,1,0,0,Ц, [1,0,0,1,0,0), [1,1, О, 1,1,0), [О, 1, 1,0,1, Ц, или [1, 1, 1,1,1, Ц; ° если с= 3, то (0,0,0,1,1,Ц и.«и (1,1,1,0,0,0): ° если г = 4, то [0,0,0,0,0,0), [0,0,1,0,0,Ц, [1,0,0,1,0,0), [1,1, 0,1,1,0), [0,1,1,0,1, Ц, или [1,1,1,1,1, Ц; ° ес«и с = с«, то [0,1,1,1,0,0), [1,1,0,0,0,Ц, (1,0,1,0,1,0), [О, О, 1, 1, 1, 0), [О. 1, О, '1, О, 1), или [1, О, О, О, 1, 1) .
Доказательство. Так жс, как и в предыдущем случае. скелет В может иметь лишь одну перегородку 1, тре«щего уровяя, однако теперь длины обоих ес боковин Вь О 1, и Лз О!. равны мелсду собой. Обозначим зти длины через х и опять з«««««лшем систему уравнений, описывающую связь между длинами боковин и длинами концевых линейных участков скелета В. 14мсс л: 1«~ = [п««6] — а« = «!««, = шз+ аз+ се + х, = «оз+ сю ««и = шь+ ел+ се + х, Далее, й ( — 1, 1, — 1,1, — 1,1) = е«+се+се — с« — еь — сс = а«+ аз+ аь — ૠ— ૠ— ас.
йз = [п]6 бз = [««««6 Ь« = [««1«6 бз = [««««6 6«« = 'и'6 е — «« ] — оз ] — оз ] — а« ] — аа ]--ае Скелеты с шестью концевыми линейными участками Обозначим еь + ез + ез — ел — ев — ев через Е, Отметим, что — 3 < Е < 3. Таким образом, получаем: Е = а~ + аз + ав — а; — ал — ав. Как и выше, положив А = 2 а,, и и = 6[п/6]+ г, найдем, что А = 6 — г. Прежде, чем разбирать случай разных г, отметим еще одно свойство скелетов, пмеюпспх |сМ-реалпзапикь непосредственно вытессаюшее из следствия 3,9. Утверждонио 3.14 Иустс гб и лл два п|зотивопололсно нанраьленныс концеоых линейных участка произвольного скслссна, обладоющаго ЛЛ|- рссыизоцией на правильном п-угольнике, где и = 6(гс/6) + г.
Тогда, если г чстно, то !пс1(го гд) = О, в противном случае, !пс1(го гд) = л!. Отсюда мгновенно получается следующее утверждение. Ъ'тве1эжденио 3.13 |(ля ра~ сжатравас.ного скелета,5' с окестью концс- вььми,лоньйныяи участками, и.нее.н: ° если г четно, гпо ел = еы еа = ез, и ес = ез, поэтому Е = 0; ° если г нечстно, то ел = 1 — еы еь = 1 — ез, и ев = ! — ез, поэта.ну Е = 2(е~ + ез + ез) — 3. Пусть г = О. Тогда, по предложению 3.13, индексы всех боковин равны О, поэтому если е~ = О, то е = (0,1,0,0,1,0), а если ес = 1, то е (1,0,1,1,0, !) Пусгь з = 1, тогда А = э, поэтому Е может равняться нли 1 и.ш — 1, следовательно, ес+сз+ее равно или 2 или 1.
В первом случае, ровно лаос из еы ез, ез равны 1, а во втором случае ровно одна из:них четностей равна 1. Получаем полный список возможных векторов четностей концевых линейных участков: (0,1,1,1,0,0), (1,1, 0,0,0,1), (1,0,1,0,1,0), (0,0, 1,1,1,0), (О, 1, О, 1, О, !), (1, .О, О, О, 1, 1) Пусть г = 2, тогда Л = 4, но, по утверждению 3.1э, Е = О, поэтому росзно одно из а„с нечетным номером равно О, и ровно одно из а, с чеччплм номера л равно нулю. С другой стороны, а, равно нулю тогда и только тогда, когда В, имеет индекс 1. Так квк боковины индекса 1 пе могут бьггь соседними, получаем: ° если ас = О, то ав = О, поэтому ес = сз = ег = ез = О, и, в силу утверждении 3.!о, илп ез = еь = О, или ез = ев = 1, поэтому имеем два возможных вектора четцостей: (О, О, О.
О, О, О) и (О, О, 1, О, О, 1); ° аналогично, если аз = О, то аг, = О, поэтому имое л: (1, О, О, 1, О, 0) и (1,1, О, 1,1,0); Скелеты с шестью концевыми линейными участками ° если же аз = О, тоаз = О, поэтому имеем: 10,1,1, 0,1, Ц п(1,1,1,1, 1,1). Пусть г = 3, тог,ла индексы всех боковин могут быть равны нли 1 или — 1. Поэтому, если сл = О, то с = (0,0,0,1,1,1), а если сл = 1, то е = (1, 1, 1, О, О. О). Для разбора оставшихся двух случаев, введем следующее определение. Вектор с' из О и 1 назовс л дсойстоеннььл~ к вектору с той же размерности, также состоящему из 0 и 1, если для лклбого к, 1с-ые координаты векторолл е и е' разлли!ны.
Заметим теперь, что при г = '! ситуация двойственна к случаю г = 2: ровно одно нз а, с нечетным номером равно 1, ровно одно иэ а, с четным номером равно 1, и условие а; = 1 равносильно тому, что шс!(В;) = — 1. С другой стороны, вектора четностей концевых линейных участков, порождающих боковину Вы противоположны при шс!(Вл) = 1 и !ллс!(Вл) = — 1.
Поэтому список векторов чс*тностей концевых линейных участков в зтоъл случае это список векторов, противоположных вектора л чстпостсй для г = 2. Но последний список со,лержвт вместе с каждым вектором двойственный к нему. Таким образом, множества возможных векторов четпостей для случаев г = 2 и г = 4 совпадают. Лпалогичные рассуждения верны н для случаев г = 5 и г = 1, т.е. множества незалежных векторов четностей в этих случаях также совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
