Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Пусть, опнть жс, о' скелет с пятью концевыми линейными участками, обладающий Лв!4-реализацией на правильном и-угольникс. Обозначим через Уы Уз, Уз, Яи и г2в его последовательные конпевые линейные участки и предположим, что У~ и Уз выходят из одной внутренней ячейки, и Уз и Ув тоже выходят из одной внутрсннсй ячейки. Существует двс возможности: углы меькду участками в калсдои из пар [гп, г3з) и [гбз, .г"л) равны меькду собой и равны к/3; в одной из этих пар, скажем в [.м, Уз).
ус ол между участками равен 2пД1, в то время как в оставшейся паре угол между участками равен к/3. Рассмотрим первую возможность. !!редположнм, для определенности, что единственный угол между последовательными концевыми линейными участками, который может быть равен 2к/3 это угол между Ув и У~. По предложению 3.!4, скелет Я' нс имеет перегородок, поэтому-, с точностью до сиьглстрии, он имеет вид, изображенный на рис. 3.20.
Продложенио 3.20 !3 сс)сланньн вьгшс щтдпололссннлго с:кслет 5',. в дсб- шпыгтсльносит, не жозкст и.яапь ЯМ-реализации. Доказательство. Обозначим через Ь„длину ооковины, порожденной концевыми линейными участкальи лв и У,Ь~ [злссь и в дальнейшем сложение в индексах циклическое, а именно: (+у = 1+ [!+ у — !) шос! э), и определим вектор Ь = [Ьы...,Ьв) ллип боковин. Предложение 3.13 влечет, что при ! < 5 имеем: 6; = [и/б] — ап где а, равно 0 илц 1, а 6ь = [л/3] — ав, где сы опять равно 0 или 1. Обозначим зарез а вектор [аь,..., аь). Далее, пусть с; обозначает липну концевого линейного участка Я,. т.е.
ко.плчсство нчеек, составляющих этот участок. Положим и; = [с;!2] + [-,~.~/2], и пусть щ = [ич,..., шь). Обозначим через с, функцию четное ьи участка Уы а именно, с; равно 0 если св чстно, и равно 1 в противном случае. Теперь все г отово, чтобы записать соотношение между длинами концевых Сколоты с пятью концевыми линсйными участками 212 линейных участков н боковин сколота,5'. Непосрсдствснные вычисления дают сле.!ующий результат: = [з~/2] + [лг/2] = = [-г/2]+ [ з/2]+ = [-, /2] + [=- /2] = = [з4/2]+ [ л/2]+ —....
[яа/2]+ [л,/2]+ 5~ = [ 52— Ьз=[ 5л=[ 5з .=- [ и/6] н/6] и/6] п/6] и/3] — а~ аз — аз — аз — а; шы сз+ ез = шз + ез+ сз, шз, са = шл+си, ел + е; .=. и з + ..; + с, . Отсюда, учитывая о зеви чное тозкдество з, = 2[=,/2] + е,, получаем: л (1,1,— 1,1,— Ц = 2[а/6] — [и/3]+а ( — 1,— 1,1,— 1,Ц = ш (1,1,— 1, 1,— Ц+ ез+ ез+аз — с~ — сз з + аз+ еч — с~ — е-„ гдс "." обозначает стапдартнос скалярное произведение векторов. Итак, имеем: зз = с~ + аа — ез — ел+ (2[п/6] — [и/3]) + а ( — 1, — 1,1, — 1, Ц. Положим, для краткости, Е = с~ + ез — ез — ел, Е = 2[п/6] — [и/3] и А = а .
( — 1, — 1, 1, .— 1, Ц. Таким обржзохь зз = Е+ Дс+ А. Отметим, что Е < 2, А < 2, н осли и = бр+ г, где г остаток от деления п на 6, то Х = О прн О < г < 2, и У = — ! при 3 < г < 5. Так как длина каждого концевого линейного участка нс мсньшс 2, в частности, зз > 2, получаем, что при О < г < 2 должно быть А > О, а при 3 < г < 5 имеем 4 > 1. Далсс, запишем условно того, что сумма длин всех боковин равна п — 5. 4[н/6]+ [и/3] — ~ а; = п — 5. Подставляя в полученное равенство выражение и = бр+ ~. найдем: ~а;=5 — р О< <2, ° 2 а;=6 — з при3<г<э.
Рассмотрим теперь случаи разных остатков ~. !!усть г = О. "Гогда 2,а, = 5, поэтому каждое а, равно !. Отсюда А = — 1, Противоречие. !1усть г = 1, тот та 2 а, = 4, поэтому ровно одно из а„равно О, и А < О. Из условия зз > 2 нсмсдлснно получасм: Л = О н Е = 2, откуда, в частности, сз = ез = О. Поэтому !псХ(Вз) = 1, и, по предлозкению 3.13, аз = О. Отсюда Л = — 2, протпворсчие. Пусть г = 2, тогда 2 а, = 3, поэтому ровно два нз а, равны О, и, так как Л > О, имеем Л = 1. Тогда аз = 1, значит, по слсдствию 3.9, !псГ(йз) = — !. Отсюда вытекаст, что сз = ез = О, поэтому Е < О и, значит, з < 1, протнворсчис. Скелеты с пятью концевыми линейными участками 213 Рис.
3.21: Такис скелеты так жс не имеют ЛЛХ-реализации Пусть г = 3, тогда 2 'а; = 3, поэтому ровно два из а; равны О, и необходимо А = 1, В = 2, откуда сь = е; = ! и ез = ел = О. Таким образом, 1ш1!Вь) = 1. Однако, по предложения~ 3.13, при любом г < б имеем: шс!(В;) = ш1. Но, в соответствие со следствием 3.13, индекс одной пз боковин обязан равняться нулю, противоречие. Пусть г = 4, тогда ~ а; = 2, и ровно два из а; равны !.
Следовательно, учитывая, что у1 > 1, получаем А = 2. Последнее необходимо влечет, что аз = 1. Отсюда 1пс!(Лз) = — 1, поэтому ез = ел = 1, и, значит, Е < О. Вспоминая, что Дь = — 1, имеем хз < 1, противоречие. Пусть г = э, тогда 2, а„= !, и ровно одно из а, равно 1.
Поэтому А = ! и Е = 2, откуда вытекает, что одно из аз и аь отлично от О, еь = ея = 1 и еэ = ел = О. Последние два условия дают: !пс1(Лз) = !пс1(Вь) = 1, поэтому аз = аз = О, протяворе ~не. Предложение 3.20 доказано. Перейдем теперь к расс лотрснию второй возможности, а именно, в тех жс обозначениях, предположим, что угол между концевыми линейными участками (Вы хбз) равен 2я/3. Предложение 3.21 В сделанных еышс вредполоисеиияху оке.мт В, е дсй- сгяоитсльиости, ис .иожсиь иметь КМ -реализации.
Доказательство. Отметим, что теперь с внутренней ячсики, псресекающейся по сторонам с капиевыми линейными участками У~ и Лю моькет выходить перегородка, которую мы обозначим через В. Обозначим через 1ь и 1з ребра перегородки Л, по которым Л крепится к оставшейся части скелета,5'. 13озникает две возможности: 1~ и 1з параллельны, и 1~ и 1з не параллельны, рис. 3.21. Пусть 1~ параллельно !з. Ле~ ко видеть, что в этом случае длины боковин перегородки Ь равны между собой, независимо от формы пе!эсгородки. Хьс", ,, Хн )эв Хв Хз Х,'х '; . Хв 1 Ьв )э 3 Хя Хз Скелеты с пятью концевыми линейными участками 211 6~ = [лл13] — ал = [ лсс2] + [лз,с2] + ес = лси + ес, = [засс2] + [лзсс2] + гз + ез + и = саз + ез + ез + л, = [;л,12] + [ л,с2] = из, = [зл,с2]+ [зз/2]+ ес = ил+ ел, = [зл 12] + [зс 12] + сз + и = щз + ез + и.
6з=[ 6з=[ 6.л = [ 6з=[ пссб] — аз п/6] — аз и/6] — ал сс сс3] — аз Отсюда, вывосдизл: Ь [ — 1, 1, — 1,1,1) = 2[п/6] — [псс3]+ а [1. — 1, 1, — 1, — 1) :ис [ — 1,1,— 1,1,1)+г +ез+сз+ел+2х с~ = =.-+се+.,+с, +2" —., Итак, имеем: зз = е~ — ез — ез — ел — 2л+ [2[п,сб] — [и/3]) + а, [1, — 1,1, — ~,— 1). 11оложпм, длн краткости, Е = ел — сз — гз — ел, 1л' = 2[пссб] — [и/3] и А = а [1, — 1, 1, — 1, — 1). '1'аким образом, -;, = Š— 2л + Т+ Л. Отметим, что Е < 1, А < 2, и сели и = бр+ г, то М = О при О < г < 2, и лУ = — 1 при 3< с< 5.
Легко видеть, что если л > О, то, очевидлло, зз < 1, проплворечие. Позтоълу г = О. Далее, если с > 3, то 1лг = — 1, и из условия гз > 2 необходимо вьлл екает, что Л = 2, позтому сл = 1, сз = сз = сл = О. Но тогда шс1[Вз) = — 1, позтоъсу аз = 1, значит А < 1, противоречие. Итак, осталось рассмотреть случаи г < 3. Но тогда, по предлспкению 3.13, при 1 > 1 имеем: а; = О тогда и только тогда, когда шс1[В;) = 1. Ясно, что условллс „. > 2 влечет А > 1, однако последнее неравенство выполнястсн если только по крайней морс двое из трех аз, ал и аз равны пущо, т.е., по крайней мере две нз трех боковин Вз, Вл н Вз излеют индекс 1.
Из леммы 3.20 получаем, что необходимо шс1[Вз) = 1, следовательно, ез = ез = 1, откуда Е < — 1 и, значит, зз < 1, противоречие. Случай параллельных 1л и 1з полностью разобран. Иусть теперь 1л не параллельно 1з. Легко видеть, что при выбранных обозначениях, длина той боковины перегородки 1., которая содержится в Вз, меньше на 1, чем длина боковины из Ь, содержащейся в Вз. Обозначим через и длину боковины В О 11з, тогда длина боковины 1, О Вз равна л+ 1.
Имел:м: 6л = [ 6з = [ 6з=[ 6л = [ 6з = [ ас а =[ аз ал аа =[ елсс2] + [зз12] + сз: 'сал + ез, зз,12]+ [ з(2]+ ге+ и+ 1 = щз+ ее+ л+ 1, зз 12] + [злсс2] = щз, лл,л2]+ [зз/2]+ сл = ил + сл, зз,л2] + [-~,с2] + ез + ел + и = и:;, + ез + ес + л. ллсс3] лс/6] асс 6] п1'6] псс3] Добавив к введенным выше обозна |синям вели плну и, равную длине боко- вины перв оролки 1, по:сучаем: Скелеты с шестью концевыми линейными участками Отшода, выводим: 6 [ — 1,1, — 1,1,1) = 2[сс/Ь] — [сс(3)+ а [1, — 1, 1, — 1,— !) — ш [ 1,1, 1,1.1)+с,.-гсс+сз+са+2а+1 сз = ге+ ес + ез+ ел+ 2л+ 1 — ез. Итак, имеем: зз = ез — ес — ез — ел — 2л — ! + Л'+ Л, где Л' = 2[сс~б) — [п,СЗ) и Л = а [1, — 1, 1, — 1, — Ц.
Отметим, что Л < 2, и Я < О. Из условия за ) 2 вытекает, что необходимо Л = 2, однако тогда аз = 1, позтохст шс
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
