Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 46
Текст из файла (страница 46)
рис. 336. Пусть К и ь концевые вершины из М, соответствующие концевым линейным участкам Я и И'. Эти вершины разбивают окружность У, описанную вокруг М, на две дуги: д и д'. Ясно, что отростки, соответствующие ячейкам Лн и Ли, приходят на одну и ту же из этих дуг, скажем, па Л. Отростки же, соответствующие Ля и Л',, приходят на другую дугу, Б'. Кроме того, легко видеть, что концевой линейный участок Л' затш ивает вершины из М, лежащие на д, тогда как конпевой линейный участок И" затягивает вершины из М, попавшие на е'.
При этом, все вершины из Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 196 ЛХ, заткнутые концевым линейным участком хв, это, в точности, вес вершины вз М, лежащие па б в открытой полосе между прямыми 1'„и 1и . Аналогично, все вершины из М, затянутые концевым линейным участком И", это, в то «ности, все вершины пз ЛХ, ле«кашпо на У в открытой полосе между прямыми 1и и 1~~.. Папоъшнкц что в полосе между параллельпык«и пря лыми, пересекаюшиьли окружность, лежат д««е дуги этой окружности, имеющ«ле одинаковую «зеличину.
Пусть П открытая полоса между 1и и 1и . Так как 1я проходит ровно через одну вершину из М, и эта вершина з«еж««т на Б', а 1и также проходит ровно терез одну вер«пину из ЛХ, и эта вершина лежит на б, заключаем, что на открыть«х дугах б б«П и Б' б«П лежат одинаковые количества точек из ЛХ. овги количества мы ооозначпм через 1". Так как в открытой полосе между 1!~ и 1к нет точек из ЛХ, и единственная точка из М, лсжашая па 1х, принадлежит б', то на части дуги б, попавшей в открытую полосу между прямыми 1~ и 1и, также лежит й точек.
Аналогично, колич~ство точек яз ЛХ, лежащих на дуге б' в открытой пое«о«з между 1и и 1~к, т;шже равно к. Таким образом, концевые линейные участки У' и И" затягивают одинаковыс количества вершин пз ЛХ, т.с. эти концевые линсйныс участки состоят из одинакового числа ячеек (««апо лним, что мы отождествляем концевые линейные участки скелета и соответствующ«ле поддеревья в НМ-реал««нации). Предложение 3.16 доказано.
Рассмотрим первую возможность. Предложение. 3.17 Нс су«цествуеп«скелета Х«' с чсп«ырьжл концевыми лансйныли участка яи, который облада„«бы НМ-реализацией, однако для каждой парь«его концевых,лиаейяыс участков. цнцаоеня«ныл одной и той же внутренней яче««ке, их нооравленал еоспшья«ыли бы угол в кД!. Доказательство. Предположим противное. Из прсдлохссния 3.!4 вытекает, что у с«' пет перегородки, поэтому я имеет ровно олин узел ветвления.
Заметим, что кояцевьш линей««ые !частик ««кее«е«а,~, так же, как и в предложении ЗД 5, мьпхно разби и на ««ве пары, составленные из концевых линейных участков. идущих под углом в 2х~3 (на сей раз концевые линейные участки, формирующие кажду«о из этих пар, уже не выходят с одной внутренней ячейки). Ровно те жс рассуждения, что и в доказательстве предложении 3.15, примененные к таким парам капиевых линейных участков скелета Хд показывают, что при а ) 21 предложение 3.17 имеет место.
'1аким образом, нам осталось рассмотреть случаи !2 < п < 20. Для этого воспользуемся сна тала предложсписъл 3.16. Пусть 2' и Я концевые линейные участки из Я, ««ыходяшие из одной внутрен~си,ячейки, И' концевой линейный участок иэ Ь, имеющий противоположное Г направление, и Ич концевой линейный участок, противоположно направленный с ХХ'. Из предложения 3.16 вытскаст, что как х3 и И', так и ла Скелеты с четырьмя концевыми линейными участками 197 и Ис', состоят из одинакового числа ячеек. В частности, и должно быть четко. Таким образом, прелложение доказано для всех нечетных и. Лля разбора оставшихся, четных, и, обозначим через В боковину, порождентсую Я' и У, а через В' боковину, порождснпусо Я и И'. Обозначим через 6 длину боковины В, а через 6' длину боковины В'.
Отметим, что раствор боковины В равен ясс3, а раствор боковины В' равен 2ясс3. !1усть и = 12. '!огда, очевидно, существует ровно один скелет В. 1!спо, что шс1[В) = 1. Но, по следствию 3.8, и пе;1олжно делиться на 6, противоречие. Пусть и =!4. Так как длины противоположно направленных конпевых линейных участков равны между собой, существует, с то щостыо до симметрии, ровно одна возможность. Без ограничения общности, бу,1ем предполагатьь, что концевые линейныс участки У и И' состоят пз трех ячеек. "4огда 6 = 2. Ясно, что шс1(В) = О. Но, по следствию 3.8, 6 = [14/6] — 1 = 1, противоречие. Пусть и = 16. Возникая т две возможности: или концевые линейньн: участки Я' н Я состоят из одинакового числа ячеек, равного 3, или, лля определенности, Ус состоит из 2 ячеек,а У из 4. В первом ел!чае, 6 = 2, но шс![В) = — 1, поэтому 6 = [16,С6] — 1 = 1, противоречие.
Во втором случае, 6 = 3,но 'пн1[В) = 1, и 6 = [1676] = 2, противоречие. Пусть и = 18. Легко видеть, что, прп любом выборе длин концевых линейных участков, имеем шс![В) = 0 и 6 = 3. Но 6 = [18~сб] — 1 = 2, противоречие. И последний случай, и = 20. Возникает лвс возможности: оба концсных линейных участка Г' и Я состоят из четного числа ячеек, или оба зчи участка состоят из нечстнос о числа ячеек. В первом случае 6 = 4, однако 1пс![В) = 1, позтому 6 = [20Я = 3, противоречие. Во втором случае 6 = 3, но 1пс![В) = — 1, значит 6 = [20сб] — 1 = 2, противоречие.
Прсдлозкение 3.17 полностью доказано. Рассмотрим теперь вторую возможность, а именно, пусть В скелет, имеющий 7сл1-реализапию, и такой что для одной пары его концевых линейных участков, скахсем, для У' и Я, выходящих с одной внутренней ячейки, угол между их направлениями равен лсс3, а для друс ой пары, 1Г и И', равен 2ясс3. Будем считать, что ус ол между направлениями участками У и 1Г равен ясс3.
Ясно, что участки У и И' имеют протцвоположныс направления, см. рис. 3.17. Обозначим через В и В' боковины, порожденные парами концевых линейных участков [У, Ус) и [Ус, Ис) соответственно. Также обозначим через С и С' боковины, порожденные соответственно парами концевых линейных у састков [И', 14с') и [И", Я]. Отметим, что концевые линейные участки из казкдой пары встречаются последовательно при обходе границы скелета В в положительном направлении.
Обозначим через 6, 6', с и с' ливны боковин В, В', С и С' соответственно. Для удобства, образуем векслер,З длин Сколоты с четырьмя концовыми линсйными участками 198 В,с В (5,6) Г; 15 С Б,,~ Б с.' '.'~ с В Г 7,8) С' 'с',с Г; l" В (, В (3с4) Рис. 3.17: Восемь возхложпых распределений участков четности коппсвых линсйпых боковин, ссоло~кив,З = (6, 6', с, с'). Пусть х количество ячсек, составляющих У, а у коли сество я соек из У', равнос, в силу предложения 3.16, количеству ячеек участка И", и, наконец, х количество ячеек у"састка И'.
Образуем яексяор и длснс концсвьсх линсйных учасяскос, поло.кив и = (х, у, л). 21егко видеть, что при любом выборе х и у, индекс одной из пар (Я, хб') и (Их', 21) равсн х1, а другой О. Позтоау, в силу следствия 3.8, если п = бр+ сз О ( г ( 5, то г ф О и с ф 3.
Рассмотрим восемь возможных случае, в зависиъсости от четкостей х, у и х, рис. 3.17. Пусть х и у четны, рис. 3.17, случаи (1, 2) Тогда шс1(В) = 1, поэтому 6 = [ссссб]. По с' = 6 = ~п/6], а шс1(С~) = О, значит, по следствию 3.8. или г = 4 или г = о. Пусть - четно. Тогда шс1(В') = — 1, поэтому Ь' = [исс3] — 1. 11о с = 6' = [и,СЗ] — 1, я шс1(С) = О, значим, по слсдствисо 3.8, остаток от деления 2г на 6 меньше 3. Слсдовательно, г = 4.
Итак, имеем: и = 6р+ 4, ,В = (р, 2р, 2р, р). Если х = 2П то у = 2(р — Г), и х = 2(р+1), гаким образом, имссм: и = (21, 2(р — Ь), 2(р+ Г)) . 11усть х нечетпо. '!огла ГпсГ(С) = — 1, поэтому с = [п,с3] — 1. По 6' = с+ 1 = [нсс3], а ГпсГ(В') = О, значим, остаток от деления 2г на 6 больше 3. Слсловатсльно, г = 5. ГЛтак, имеем: и = бр+ 5, В = (р,2р+ 1,2р,р). Если х = 2П то у = 2(р — 2), и х = 2(р + Г) + 1, таким образом, имеем: и = (2П 2(р — /), 2(р+ Г) + 1). Пусть х чотно, а у ночотно, рис. 3.17, случаи (3, 4) '1'огда 'шсГ(С') = — 1, поэтому с' = [п/6] — !.
11о 6 = с' = [гс,сб] — 1, а шсГ(В) = О, значит, илп г = 1 или с = 2. Скелеты с четырьмя концевыми ээээнсйными участками !99 Пусть = эетно. Тогда эцэ!(С) = 1, поэтому с = [гэээЗ]. Но 6' = с = [ээ]Л], а !цс!(В') = О, зна"эим, остаток от деления 2э на 6 больше 3. Следовательно, г = 2. Итак, имеем: и = бр+ 2, В = (р — 1, 2р, 2р, р — Ц. Если и = 2Е то у = 2(р — !) — 1, и з = 2(р+Ц), таким образом, имеем: и = (21, 2(р — У) — 1, 2(р+Х)). Пусть - нсчетно. Тогда шс!(В') = 1, поэтому 6' = [гэ/3].
По с = Ь' — ! = [и,э3] — 1, а шс1(С) = О, зна |им, остаток от деления 2г на 6 ьлсньше 3. Следовательно. э = 1. Итак, имеем: ц = бр+1, э3 = (р — 1, 2р, 2р — 1, р — Ц. Если:с = 2Е то у = 2(р — !) — !, и з = 2(р+ !) — 1, таким образом, имеем: и = (21, 2(р — !) — 1, 2(р+ !) — 1). Пусть:г нечетно, а у четно, рнс. 3.17, случаи (ог, 6) Тогда шс!(С') = 1, поэтому с' = [ээ6 бэ].
Е!о 6 = с' — 1 = [ээээб] — 1, а шй(В) = О, зна эит, или г = 1 или г = 2. Пусть - четно. '!огда шс1(В') = — 1, поэтому Ь' = [н/3] — 1. По с = 6' = [ээээ3] — 1, а шс1(С) = О, значим, остаток от деления 2г на 6 меньше 3. Следовательно, э = !. Итак, имеем: и = бр+1, В = (р — 1, 2р — 1, 2р — 1, р). Если:с = 21+ 1, то у = 2(р — !) — 2, и з = 2(р+ !), таким образом, имеем: и = (26+ 1, 2(р — Х) — 2, 2(р+ У)). Пусть з не эетно. '1огда шс1(С) = — 1, поэтому с = [гэ,эб] — !. Но Ь' = с+ ! = [ээ,ЭЗ], а эцс1(В') = О,:эвачим, остаток от деления 2г ца 6 больше 3.
Следовательно, э = 2. Итак, имеем: н = бр+ 2, э3 = (р — 1, 2р, 2р — 1, р). Если и = 2!+ 1, то у = 2(р — !) — 2, и з = 2(р+ !) + 1, таким образом, имеем: и = (2!+ 1,2(р — !) — 2,2(р+ У) + !). И, наконец, пусть л н у нечетны, рнс. 3.17, случаи (7, 8) '!огда энб(В) = — 1, ээоээ ому 6 = [гээб] — 1. По с' = Ь+1 = [н ээб], а !ээс!(С') = О, зца эит, нли г = 4 или г = б. Пусть четно.
'1огда !ээс)(С) = 1, поэтому с = [пээЗ]. По Ь' = с = [нээЗ], а цк1(В') = О, значим, остаток от деленна 2г на 6 больше 3. Следовательно, г = о. Итак, илссм: и = бр+ 5, В = (р — 1,2р+ 1,2р+ 1,р). Если т = 21+ 1, то у = 2(р — Ц вЂ” 1, и = 2(р+ !) + 2, таким образом, имеем: и = (2! + 1,2(р — !) — 1, 2(р+ !) + 2). Пусп, з нечетно. '!огда шс1(В') = 1, поэтому Ь' = [ээээЗ]. Е!о с = 6' — 1 = [ээээ3] — 1, а !ээс!(С) = О, значим, остаток от деления 2г на б меньше 3. Следовательно, г = 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
