Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 56
Текст из файла (страница 56)
3, Пусть рс !но такое первое р, что д,г3 — Од ! < Гз < 2дг!3. Положим д, (гпд) = 2рс — 3. 4. ПУсть дс это такое псРвос д, что дгг3 < -1, < 2пг!3+од !. Положим дт(гг!д) = 2до — 4. ' по !олово!сон ныа (оюрвпоюсоьни и) уело я от а до 6 называется величина дуги единичной окруя ности направлений, проло,лимой при движении в положительную (отриПательную) о т 1рону от напра ! ! ! К Эти углы меняются в пр делал (О,Зт).
Геометрия концевых линейных участков Наконец, определим наростовыа вектор д[тл) точки тя как вектор [д, [ть), дг [тя), д, [тч), дг [тч)). Отметим, что по определешпо, если какого-цибУДьде пли де не сУшествУе Б то соответствУющаЯ компонента вектора д[ть) равна бесконечности. Обозначим через д[ть)[1] компоненту вектора д[пм) с номером 1. Подчеркнем, что наростовый вектор д[гпь) зависит только от геометрии са лого мнохшства ЛХ и выбора точки пгю Предложение 4.3 Предполоажил, опо к кончеева' Л-знее псдтета В крспичпсл по крайней лере один нарошп, и еХ-хвост ииыт тип 1.
Тогда 1-ал колпонента д[ть)[1] наростоаого вектора д[~пь) сагршшпя тл конечна, и длина ех-жала нс лень шс, чел д[тя)[1]. Более того, длл каждого дв > 2. среди расслатриваслыт лножеств Л1 и паркшпов В с Ь-хвастал типа 1 сди!ествдют такими., что д[тл)[1] = де и дюна Ь-жала в точности равна д[ть) [1]. Докнэатеяьство. Пусть Л' нарост па концевой гх-змее, ближайший к концевой ячейке хх, и е не коппевое грани шое ребро ячеикн гх. Имеется две возможности: ребро е и нарост гк' пересекают или разные, или одну и ту жс боковину концевой Ь-змеи. Боковину концевой Ь-змеи, пересекающук>ся с отростком сети, иппндептпым вершине тлеы нжювем низкней, а другую боковину этой змеи верлней.
Для определенности, оудем предполагать, что отросток сети Г, соответствуюгянй ребру е, иппилевтеп вершине тьеы т.е. пересекает нижнюю боковину концевой ех-змеи. Отот отросток мы также обозначим через е и орисптируем его от точки тлЕы Рассмотрим первый случай [тип Ь-хвоста равен 1): ребро е и нарост Ь' пересекают разные боковины концевой Ь-змеи, нарост гх' расположен на вс!зхней боковине концевой Л-змеи, см.
рис. 4.4. Так как мы предполагаем, что концевых наростов нет, отросток е лежит в угле тьтччлть ы Пусть ть чы и тл ч вершины нз Л1. инцидентные граничным ребрам нароста Л'. Построим на этих вершинах правильный треугольник гпь ячэ т тл лежащий вне многоугольника М. Рассмотрим прямую, проходящую через единственное внутреннее ребро сети 1', пнцилептное точке Штсйшера из нароста Ь'. 5!сне, тго эта прямая, во-первых, параллельна е, и, во-вторых, проходит через точку т .
Более того, эта прямая пересекает сторону тя „есть „построенного правильного треугольника. Рассмотрим два положительных угла: первый от вектора еплеыпе к век сору тяг ~та, и второй от вектора тч, Е~ т к вектору тя лт Из вышесказанного вытекает, что внутренности этих уг,лов пересекаются, что приводит к слсдузощей системе неравенств: О < — 3 + 2к/3 и аьчэ > — уя+ к/;5, о гкуда к]3 — аьч ~ <;„< 2к/3. Геометрия концевых линейных участков Рис. 4.4: Первый случай С другой стороны, длина Л-жала в этом случае, очевидно, равна 2у — 3, см. рис. 4.3. Поэтому у[пш][1] = д! [и!и] < 24 — 3, т.е. длина !л-жал!а болыпе или равна д(п!л][1]. Если тип Л-хвоста равен 3, т.с.
отросток с б Г приходит в точку ть а соответствующее ребро е нз Л и нарост Л' пересекают разные боковины концевой !л-змеи [нарост Ь' расположен на нижней боковине концовой Л- змеи), то, аналогично, !г/3 — оь ! <,бв < 2х/3. брак как длина Л-!кала в этом случае равна 2р — 3, то д[!пд][3] = д,, [тн!] < 2р — 3,. т.е. длина л-жал!а больше или равна у(тл][!5]. '!еперь рассмотрим втор(п! случай [т!!и Л-хвоста равен 2]: ребро е и нарост Л' пересекают одну и ту жс боковину концевой Л-змсн (нарост Л' расположен ва нижнеи боковине концевой !л-змеи], см.
рнс. 4.!!. '1ак как мы предполагаем, что концевых наростов нет, отросток с лежит в угле !плгпл5.!н!ь ! . ПУс г! !нл5.г ! и гпл5! веРшииы из !!Г, инцице!сгнив ГРа— ничным ребрам нароста !л'. Построим на этих вершинах правильный треугольник та! р !ш5 шь5, лежащий вне многоугольника ЛЕ Рассмотрим прямую, нроходя)пую через единственное внутреннее ребро сети 1, инпндентное точке Штс!!нера из нароста Ь'.
асио, что эта прямая, во-первых, параллельна с, и, во-вторых, проходит через точку тЕ. Более того, эта прнмая псрссскает сторону и!ь~р !!ньЕ построенного правильно!о треугольника. 1'ассмотрим два положительных угла: первый от вектора шл ! тат! К ВЕКТОРУ Гиа!П!+!, И ВтОРОН ОГ в~итера !ПЬЕв!ПЕ и ВЕК!ОРУ Гна5. Из вышесказанного вытекает, что внутренности:>тих углов пересекаются, что приводит к следующей системе неравенств: 0 <,бл — !с/3 и а!,ж! ) /3„— 2тс/3, Геометрия концевых линейных участков Рис.
4.5: Второй случай Рис. 4.б: Длина жала равна компоненч е паростового вектора откуда х/3 < Зр < 2я,13+ охеь Так как длина з-жала в этом случае равна 2р — 4, то д[пзх] [2] = д, [пк] < 2р — 4: т.е. длина Л-жала болыпс пли равна д[та] [2]. Наконец, если тип зх-хвоста равен 4, т.е. отросток е б Г приходит в точку гия е, а соответствующее ребро с из Р и нарост Л' пересекают одну и ту «ке боковину концевой Л-.з лси (нарост Ь' располохссн на всрхнси боковине концевой Л-змеи), то, аналогично, я/3 < Тд < 2я/3+ аь ь Так как длина Ь-жала в этом случае равна 2д — 4, то д[на ][4] = у~(пц] < 2д — 4, т.е.
длина зх-жала больше яли равна д(ть][4]. Таким образом, первое утверждение предложения полностью доказано. Пример, доказывающий второе утвсрхсдснис прсллозксния, может быть построен так, как показано па рисунке 4.6. Здесь мы разберем подробно только случай хвостов гнпа 2.
Для остальных синов конст1>укпия авадогична. Пусть дс > 2 произвольное четное число. Рассмотрим произвольный ориентированный дозкдь Л, состоящий из = де+ 1 прямых, и пусть Геометрия концевых лллнейных участков 2 !бз гп некоторая точка на плоскости, лежащая вп«полосы, ограниченной крайними прямыми дожди. Пусть Я оесконечная змея с началом в т, сосзтветствующая дождю Л. Рассмотрим ручеек Ьг(га, ХХ) с началом в т, и пусть г, обозначает л-ый отросток змеи Л вдоль ручейка Ьг(т, Я).
1!остроим два луча 1л и 1з, выходящие из зп и такис, что луч 1л пересекает внутренно«ть лу ла г,, л = 1, 2, в то лке т, под углом, ълепыпизл чем гсс6. Ясно, что угол з«между лучами 1з н 1з больше чем 2нл'3 и содержит ру леек Ьг(т, ХХ). Обозначим через тс точку пересечения отростка гл с границей угла,р.
Выпустим из точки тз луч 1з так, чтобы часть отростка з,, попавплая в угол между лучами 1з и пз,пг, принадлежала биссектрисе этого угла. Из сказанного вылив вьпекает, что луч 1з пересекает бесконе шое концевое ребро змеи У в некоторой внутренней точке т'. Проведем в окрсстности вершины гп, перпендикуляр Х к отростку г, так,чтобы точки т, т', и все точки т,, з ф =,лсзкали в одной открытой полуплоскости относитсльно Х,а точка гп- в другой.
Более того,потрсбуем "ллобзы точка т',, спмметрп щая т, относительно 1, попала внутрь отростка г,. Точки пересечения прямой Х с лучами т:т и!з обозначим через пл и пз. Определим множество ЛХ' равным (тс пз', пл, пз, тл,..., т, з). Ясно, что йХ' это множество вершин некоторого выпуклого многоугольника. Обозначим через Г' пересечение змеи Я с выпуклой оболочкой сопи 61' множества йХ', и пусть г,' часть отростка г,, попавшая в Г'. Обозначим через л единственную точку П!тсйпера нз Г', инцидснтпую г',. Перестроим сеть Г', заменив ребро г', на единственную минимальную сеть, зсзлягилзслющую вершины треугольника ззлгсзе. Очевидно, эта сеть состоит нэ трех р«бор.
Пере«троенпую «сть Г' снова обозначим через Г'. Далее, на граничном ребре лгпи сети Г' выберем точку л', и выпустим нз нее два различных луча 1л и 1а под углами в лХЗ по отношению к лучу л'т'. Ясно. что один нз этих лучей, скажем 1еч параллелен отростку гз. Перестроим сеть Г', заменив ребро кт' на три ребра, одно нз которых это лл', другое пересечение луча 1з с выпуклой осюлочкой сопуйзХ', а третье пересе"ление лу ла 1з с углом сд. Перестроенпукз таким образом сеть Г' обозначим че!зез Г. Ъ!нож«ство всех вершин степени ! сети Г обозначим через ЛХ. Ясно, что с11 это множество вершин некоторого выпуклого многоугольника.
Сеть Г представляет собой змею с наростом. Если обозначить через са ту концевую ячейку паркета, соответствующего сети Г, которая отвечает вершине т, то длина сл-жазла будет равна де. С другой стороны, число д(т) ~2), вычисленное длл вершины т множества М, тохсс равно де. Доказатель«тво предложения закончено. Отметим, что если множество йХ симметрично относительно некоторой прямой, проходящей через вершину тлп то д, (ть) = д+(ть) и д, (тл) = д~а(пзь) . Поэтому в этом случае пол наростовым вектором удобно понимать Геометрия концевых лггнейных участков 247 вектор д„[гпн), состоящий из двух компонент, соответствующих первому и ггторому тинам гн,-хвоста: уг[гггн) = /у (гпн),у, [гггн)) Обозначим через С(гггь) наинленьшую из компонент наростового вектора у(гггн) и назовем сс наростоаыл числолг точки тн.
Следствие 4.6 Прсдположил, что к концсаой ск-злее паркста Р крс-- пглтсл по крайней лере один тгрост. Тогда длани гл-жалсг нс,ягныис. наротпоаого шсаа Сг[тн). Применим нредложеггяе 1.3 к слу"гаю правилг,ного многоугстышка. Следствие 4.7 Пусть ЛХ лножсстзо есршин ираьильного п-у ольника, и и, > 12. Тогда наростоаый лектор лнгбой аеритны т е Л1 раасн а нароспгооос число С[пг) раино [гг/3] — 2. Поэтолу, если Р ггроизеольный паркет, илгегоигий .иинилальнуго реализацию аа правильно и п-уеольнике, и > !2, то гюбос его гл-,жало, не сояпадагатсс с гл-.ггаоспгогг [гп,.г. танис, что на концсьой ск-злгсс алсшгпсл наросты), содержит по крийнсй лере [гг/3] — 2 яггеггкгг. Доказательство. В силу следствия 4.2, нри и > 12 концевые наросты отсутствуют, значит мы находимся в условиях предложения 4.3.,'1егко сосчитать, что для правильного п-угольника уго.г гдг равен [2р — Цо, глс о = гг/и, а !тол уя равен [24 — 1)о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
