Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Определим теперь характеристические полуплоскости и соответствующие им бмножегтва и 1-числа всех остальных типов. '11эетий тнп получается из первого типа простой 'заменой знака". Л именно, рассмотрим замкнутую полуплоскость, ограниченную прямой тнтн с и содержащую Гсоьлетрия концевых лхьнейных участков многоугольник М. Повернем эту полуплоскость вокруг точки гпл в отрицательном направлении па угол 120'. Полученная замкнутая полуплоскость называется хирактьриспшчьской полуилоскос~иью гпретььго иьипа точки ть и обозначается П, (ть).
Положим Т, (ть) = 11, (ть) Г! ЛХ ~, )ть), и пусть 1, ]ть) = 2ф7; (ть). Множество 7', (ть) называется 1-.миозксством трюиьгго типа то оси ть, а число 1, (ть) 1-число.я третьего типа точки ть. Перейдем теперь ко второму и четвертому типам. Проведем через ть прямую 1, параллельную прямой ть ьтьч ы рассмотрим замкнутую полуплоскость, ограниченную прямой 1 и содержащую ЛХ, и повернем ес вокруг точки ть в отрицатслыьом направлении на угол 120'. Полученная замкнутая полуп.юскость называется характеристической полуолоскостью второ о ьиипа точки ть и обозначается П, (ть). Полоьким Т, (ть! П, [ть) О М '! 1ть), и пусть 1„!ть) = 2У1Ть (ть) — 1.
Множество 7', (ть) называется 1-мнооксством, второго типа точки ть, а число 1, !пьь) 1-числом впьорого типа точки пц. Наконец, проведем через тя прямую 1, параллельную прямой ть зть ьы рассмотрим замкнутую полуплоскостьч ограниченную прямой 1 и содержащую М, и повернем ее вокруг точки тя в положителыьом направлении на угол 120'. Полученная замкнутая полуплоскость называется характсристичгскои оолуплоскостью чсипертого таина точки еиь и обозначается Пь(ть). Положим 7',ь(ть) = Пь(ть) О М ~ (ть), и пчсгь 1! (ть) = 2ф7',~(ть) — 1.
Множество Т~(тл) называется 1-миоьксством четвертого типа точки пц, а число 1т(гпь) 1-числом четьергаого яшиа точки пюю Оценки на длину жана '!тобы сформулировать общий результат для всех рассмотренных случаев, удобно ввести еще функцию ь1(Е), равную 1, если на ребре 1 есть нарост, и равную 0 в противном случае. Кроме того, мы отнесем кажгплй из рассматриваемых случаев взаимного распололссння ребер с и 1 и расположения отростка е по отношению к вершинам ть ~ и талл к одному из четырех классов излома.
Это соответствие показано на рцс. 4.8. Наконец, определим вектор поворота 1(ть) для точки тл. положив Цть) = (1л(ть), 1„]ть), 1, ]пц,),1~(ть)), а также число ькторота Т(ть) то чки тя как Т1пьь) = шш(1ь (ть), 1, (ть1, 1, (гиь), 1~ (ть)) = шш1(ть) ~1]. Геометрия концевых лсснейных участков 254 Рис. 4.8: с1етыре класса поворачивающих концевых линейных участков Е Имеет место слгдусощий результат, доказательство которого полностью аналогично доказательству предложения '!.4. Предложение 4.ог Пясть Р— паркет из МС7хр и.ксчои!ий .кинимальнут ргализацшо на выпуклом многоугольнике сУ.
Пуспсь, для аскоторого разложения паркета Р на скелет и наросты, ячеика Ь являепсся концевой. Пусть Ь-конец Е имсссп излон, и к концевой сз-з.нес-' У наросспы нс крепятся. 06озссачсслс, через ! ребро поворота концевого .линейного участка Е, а через шь Е М конс!евут версиссссу, сссопсветссспвусои1укс ячейке Ь. 'Говда если концевой:,тнейный у светок Е относится к с-о ну классу излона, то концевая змея сбс содержит нг.,явнее ![ссся)[с] — 2Н[Е! ячеек. Следствие 4.10 В ссредположсниях предложения н5, в нс зссоисимости от, класса излома, концевая з яея Я содерлсит нс менее 'Г[тя) — 2 ячеек.
Следствие 4.11 В прсдположениля прсдлолсения .~.зг, сс.си паркет Р яв.сяется скелетом, то в нс зависиногти от класса излома, кооцгвая змея Я содержит нг..явнее Т[ссся) ячеек. Отметим, что если мнохсество ЛХ симметрично относительно некоторой прямой, проходящей через точку ть, то первая и третья, а также вторая и четвертая компоненты вектора поворота для точки ть совпадают.
Поэтому и этом случае удобно понимать под вектором поворота для тсс вектор ! [ссся) = [1„[сссь), ! [пт)). Следствие. 4.12 Пусть М правильный и-угольнсск. Тогда вектор поворота для его произвольной вгрсаины т имеет вид !г[т) = (2~ —,~ — 2,2 ~ — ~ — 1) . а число поворота Р[т) равно 2[п/3] — 2. Поэтому, в еде,ьанньм предссоложснссязэ при п > 12, если Р скелтп, то дтша концевой змеи нс меньшг чем 2[п(8] — 2, а в о6иссм случае пв неньсие чеи 2[п/8] — 4. Геометрия концевых линейных участков Более того, длина боковины поворота конченой з.иеи концевого,тнейного участка Е в случае излольа класса 1 или 3 не меньше чем [п/3]— 1 — д[Е), а а случае из.юмоь класса 2 или 4 не меньше чем [иЯ— й[Е). Длина противополоэкной боговины в случае изло„ча класса 1 или 3 нс меньше чсль [и/3] — 1 — й[Е), а о случае изломов класса 2 или 4 нс „иеньше чсл [аХЗ] — д[Е).
Следствие 4.13 ХХуспн Л1 квазиправильныи' и-йгоьыплк. Говда вектор поворота длл прюешвольной его веригины ть поко.чпоненнто не меньше чем пастор поэтому число поворота Х'[гпй) вершины спь не меяьиле чеи 2[п/3] — б. Ххоэтол, в сделанныл предпололсснилг, при и > 18, сели ХХ скелет, то длина кот!евой змеи не.метит чем 2[п/3] — 5, а в общем случае не меньше чем 2[п/3] — 7. Доказательство. Прежде все! о отметим, что, в силу симметричности правильноь о многоугольника, достаточно оцсннть только две компонснты вектора поворота, скажем, первую и вторую.
Обозначим через т' отличную от гпл точку пересечения прямой 1, ограничивающей характеристическую полуплоскостьч с окруиспостлло Ь' Пред- 1 по,южим, что вершины рь правильного многоуь ольника Р занумерованы .тементамв из Еи так, чтобы на дуге рь — лрл окружности Я' лежит точка епь из ЛХ. Оценим первую ко лпонснту. Рассмотрим предельное положение П характеристической полуплоскости П+ [та), соответствукпцее случаю, когда тле~ = рь~.~ н тл = рл ы Ясно, что для любого возможного расположения вершин из ЛХ по отпошспило к Р, полуплоскость П+[ть) содержит П О У. Поэтому ф1т [пьь) не меньше чем УХ[ПО ЛХ). С другой стороны, ф[П О ЛХ) не мсныпс чем количество сторон многоугольника Х', попавпшх в П.
Это число равно поэтому 1+,[тл) > 2[п/3] — 4. Оценим теперь вторую компоненту. Рассмотрим предельное положение П характеристической полуплоскости П, [тл), соответствующее слу шю спь ь = рь э н тл = тлеь = рь. Ясно, что для любого воэнюжного расположения вершин из ЛХ по отношению к Р, полуплоскость П, [тл) содержит П О У. Поэтому фХ; [тл) не меньше чем ф[П О ЛХ).
С другой стороны, ф-.[П О ЛХ) нс меньше чем количество сторон многоугольника Р, попавших в П. Ото число ршзно — 2 ) / ]='[ — ~ — 2, Геометрия концевых льэнейных участков 256 поэтому 1, [тл) > 2[п/3] — 5. Следствие доказано. 3.3 Длина хвоста: концевой линейный участок имеет излом и на концевой змее есть наросты Пусть Р произвольный паркет из ггэпэ, н 1) = 3Н(йч) некоторое его разложение на скелет Е и наросты; эл концевая ячейка скелета Е, и Е Л-конец паркета Е).
Обозначим через Ял соответствуюший Е концевой линейный участок скелета,5', т.е. Ел = Е О Е. Пусть гд концевая эззмся. Прсдполоэкээм, э'эо на У. пот концевых наростов, но другнс наросты имеются. Предположим что э."ь-конец Е имеет излом. Обозначим через е единственное граничное не концевое ребро ячейки Еь, и через ! ребро поворота концевого линейного участка Е паркета Р.
Назоне л боковиной поаорапэа ьюидеао; а:тигаиага участка Е ту иэ двух его боковин, которая пересекается [возможно, по двум точкам) с ребром поворота 1, а противоположээую ооковину концевого линейного участка Е назовем подчиненной боковиной. Далее, пусть, как н выше, М произвольный выпуклый п-угольник, н (пэ,),": последовательные его верппшы при обэходе,у| против часовой стрелки, занумерованные элементами из хэ., рассмотрим произвольную вершину пм многоугольника ЛХ. Пусть паркет Р нмсст минимальную реализапию !' на Хг1, такую что точка ть е М является концевой вершиной, соответствукяпей концевой ячейке Ь из Р. Мы оценим д.пшу концевой Ь-змеи )г и Ег-хвоста Х, рассмотрев для этого тс жс четыре возможных случая, что и выше, в зависимости от того, на одной нлн разных боковинах конпевого линенпого участка Ел скелета Я расположены ребра е и 1, а также в зависимости от того, крепится ли к ребру е нарост или нет. С формальной точки зрения, мы должны различать также в какую из вершин шьжэ илн эпь э приходит отросток сети Г, соответствующий ребру с.
Однако, так как эти случаи полностью аналогичны, мы предположим, гго,нот отросток приходит в точку тьжы а для случая та э приведем только ответы. Кроме того, нам придется в каждом сээ) час различать на какой боковине концевой змеи У расположен первый, считая от концевой ячейки ьх, нарост Ехэ. Наконец, мы будем у эитыватть крепится или нет нарост к ребру поворота 1, используя д,эя этого определенную выше функцию И[Е). Мы воспользуемся определением характеристических полуплоскостсй, данным в предыдущем разделе, и соответствующих им 1-множеств и 1- чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
