Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Отметим еще раз, что эти определения не зависят от того, есть ли на концевой змее У наросты, отличные от концевых. Слелуюшее предложение 1кэкэсэываэ тся точно так же, как предложение 4.5. Предложение 4.6 Пусть Р паркет из 1Ф7т ижсюиьий живи,кальиую ргальюаиию иа выпуклом .ииогаугальииье Л!. Пусть, длл некоторого раз- Геометрия концевых лььнейных участков 257 лоясения паркста О на скааст и наросты, ячейка Л является концевой. 17усть Ь-конец Е имеет изноя, и на концевой Ь-змее Я нет концевых наростов, но другие наросты есть. Обозначим через 1 ребро поворота концевого линейного участка Е, а через ть. Е,У1 концевую неришну.
~ оотвстстаующую ячейке Л. Пусть концсвои линейный участок Е относится ь- 7-ому класа у илло„на. Если на ребре поворота 1 нароста нет, то все то ти из соотвепшптуюи1его 1-многи:ества затягиваются граничными ребралт Ь-хвоста чз боковина поворота, а если на ребре Р нарост ссгмь, пьо граничные ребра лл-гьосспа из боковины поворогпа заспягиьаюзн все точки из соо1пветствуюилего 1-.иноэкесспва кроме, быть лнюке1п, одной.
1Ь сть палом конпевого линейного участка Е относится к первому классу. Предположим сначала, что нарост Л' расположен на боковине поворота концевос о линейного участка Е. Тогда Л-жало имеет тнп 1 и его длина, в силу предложения 4.3, нс мсныпс чем у~[те). Пусть г длина ооковины поворота Ь-хвоста, у длина боковины поворота Ь-жала, и такое что у + = равно длине боковины поворота кояпевой Ь-змеи Я. '!огда, в силу определения сх-жала первого типа п предложения 4.6, и лают место следующие неравенства 1+[тя) де[та) — 1 С другой стороны, длина концевои сх-змеи Я равна, очевидно, 2[у+ ), а длина Л-хвоста нс меньше чем к+у+ю '1тобы оценить з снизу, заметим, что г принимает наименьшее значение, если на боковине поворота концевой Л-змеи Я расположено наибольшее возможное число наростов. Ясно, что таких наростов не оольше, чем [:с — у),'2.
'1аким образом, если л — у четко, то > [я — у)/2, а если я — у нечетно, то с > [[с — у)72]+1. Иными словами, откуда Пусть с[я) равно единице, если я почетно, и нулю в противном случае. Представим я и у в виде я = 2а+ е[л) и у = 26+ с[у). '1огла, как легко видеть, ьи — у~ ~а[с) — с[у) ) ьи+ у+ 1~ Итак, ьл+ у+11 11ь[пья)+ де[та)+ 1 — 2д[Е)~ г+у>~~> 2 4 Геометрия концевых лээнейных участков 131+(гпя) + д+(тл) + 1 — бд(Е) ) х+д+ > '!'аким образом, доказано следукппее предлозсение.
Предложение 4.7 В сделанных предположениях, длина кониеоой Ь-зээси не лэеньше ие.н у1е(тя) + дь(тя) + 1 — 2д(Е) 4 о дтша Л-эьосоэо нс жсньэпе эсж 31~ (еээя ) + д,~ ( тя ) + 1 — 64(Е) ~ 4 Предположим теперь, что нарост Ь' расположен на подчиненной боковине В концевой змеи Я.
'1огда сх-экаээо имеет тип 2 и его длина, в силу предложения 4.3, пс меньше чем д, (эээя). Пусть х длина бокошшы поворота х-хвоста, д длина боковины поворота Ь-леала, и з такое что д+х равно ллине боковины поворота концевой эл-зьэси о'. Тогда, в силу определения Ь-леала второго типа и предложения 4.6, имеют место с,эедующие неравенства — 1(Е) 2 д,, (та) д> '' 2 откуда 1х — у~ ел+ у+1~ Итак,. (х+ у+ 1) (Г~(тя) + дя (тя) + 2 — 24(Ер 131,+(пэя) + д, (тя) + 6 — бд(Е] ] а+у+с+1>[ 4 Таким образом, доказано следуэощсс предложение. С другой стороны, длина концевой эл-змеи Е равна, очевидно, 2(д+ х), а длина Л-хвоста не меныпе чем х+ д+ х+ 1, где единица соответствует наросту с1 '. '1тобы опенить х снизу, заметим, что х прэлээимает наименьшее значение, если на боковине поворота концовой Лчэмеээ Я расположено наибольшее возмоясное число наростов.
Ясно, что таких наростов не больше, чем (и — у)ээ2. '1аким образом, Геометрия концевых линейных участков 259 Предложение 4л8 Л сделанных пргдпоаожениях, дшна коти вой Л-.з.иси нг .,меньше чем ~~~в(юпь) + д. (гпь) + 2 — 20(Е) ] а дтна Л-.хватив нс меньше чем 3Ф и)+д, < ь)+6 — бд)Е) Случай первый полностью разобран. Легко видеть, что если концевой линейный участок Е имеет излом класса 3, то мы находимся в ситуации, симметрп"шой разобранному первому случаю. Это позволяет сразу выписать ответ. Предложение 4.9 Пусть капиевой линейный участок Е имеет излом класса 3.
Если нарост, Л' раеполозкеи на боковине поворота, то длина концевои Л-змеи не меньше чем 1, (ть) + д, (ть) + 1 — 2~ЦЕ)] '[' 4 а длина Л-хвоста ие,митте ~ем 3~, (ть) + д, (пм) +! — бд(Е) ] [' Если жс каросса Л' распоьожсн на подчиненной боковине, то длани хан- аевой Л-з,мои нг .иеиьшс чем ~, [гпь) + дева ть) + 2 — 20(Е) ] '[' 4 а д шиа Л-хвоста не мсньилс че„м Ы„(ггм) + дь [ьпь) + 6 — бд(Е) ] 4 Рассмотрим теперь случай, кш да концевой линейный у |веток Е имеет излом второго типа. Пусть, как и выше, х длина боковины позора са Л-хвоста, у длина боковины поворота Л-жала, и - такое что у+ х равно длине боковины поворота концевой Л-змеи У.
Пусть нарост Л' расположен на боковине поворота концевого линейного участка Е. Тогда Л-жало имеет тип 2 и его длина, в силу предложсния 1,3, пс меныпе чгм д, (ть). В силу определения Л-жала второго типа и предложения 4.6, имеют место следующие неравенства 1, (гпь) + 1 д. (ть) х> — Н(Е), у> '" Геометрия концевых линейных участков 260 С другой стороны, длина концевой дх-змеи И равна, очеви,шо, 2(у+с) — 1, а длина хх-хвоста не меныпе чем л + у+: — !.
'1'ак же как и выше, получаем следующую оценку на ж -"- -[л;"1 откуда [л — у) [и+ у+ 1~ Таким образом, Гл+ у+ 11 11, (ть) +д,, !тл) + 3 — 2д(Гд)! 2 ! е [31, (ть) + д, (та) + 1 — бд!Е) ~ :с+у+ с — 1 > Предположим тсперьм что нарост Л' расположен на подчиненной боковине концевой змеи И. '!'огда Ь-жало имсот тип 1 и его длина, в силу предложения 4.3, нс меньше чем д~(ть). 'Тогда, в силу определения Л-жала первого типа и предложения 4.6, имеют место следующие неравенства 1, 1гпь) + 1 дт(ть) + 1 и> ' — д(Е), у> С другой стороны, длина концевой Ь-змеи И равна, очевидно, 2(у+ -) — 1, а длина 2Х-хвоста не меньше чем л+ у+ . Также как и выше, получаем Итак. к1 (тл) + дт!ть) + 4 — 2д(Е)1 2(з+ у) — 1 > 2[ ' 1, 4 )31,, (т~л) +д,"(та) + 6 — бд(Е)1 и+у+-> 4 Таким образом, доказано следующее предложение. Предложение 4.10 Г1усть кот!спой лнныппкд участок Е имеет калош класса 2.
Егин нарошп, Л' раеполоаеен на бокиьпне поооропну то данно концевой Л-з.неа нь' уенььае чем 1, (ть) + д, (тл) + 3 — 2д(Е)] '[' 4 а длина 2х-лооста нс меньше чсж 31, (,тп) + де (та) + ! — Ьд(Е) ~ 4 Гсоьяетрия концевых льгнейных участков 261 Если же нарост Л' рагполоэкен на подчиненной боковине, то длина кон- цевой Ь-злгегг не .ченьше чен [1, (тя) + де(ть) + 4 — 2гЦЕ)] а дтто Ь-хвоста не меньше че.я 31, (ть) + дь(ть) + 6 — бд(Е) ~ [' 4 Случай второй также полностью разобран. Наконец, легко вилеть, что ес.ли концовой линейный участок Е имеет излом класса 4, то мы находи лся в ситуации, симметричной разобранному всорому случаю.,'Это позволяет сразу выписать ответ.
Предложение 4.11 Пусть концевой линейный участок Е илшет изяом класса 4. Если нарост глг расположен на боковине поворота, то длина концевой Л-з.неи нс меньше чем , ~1ь(гпь) + де(тя) + 3 — 2й(1б) ~ а длина гл-хггогчпа не лгеньше чг,я 131~ 1ть) + д ~ (ть ) + 1 — 6дГЕ) ~ Ес„т жс нарост глг расположен но. под агнгнной боковине, то двина кон- цевой Л-змеи не меньше чен 1~ (тм) + д, 1ть) + 4 — 2й(Е) '[' 4 а дтна гл-хвоспга нс ггсггьше чг.ч [31+,(пгь) + д, (тя) + 6 — 6д(Е) ] Итак, мы разобрали все возможные комбинапии классов поворота и расположения наростов на концевой змее.
Полученные выше результаты удобно представить в виде следующих двух таблиц. Предложение 4.12 Пусть Р ггарксчп из И'ггзш имеющий минимильную реализацию на вьгпукло.и,,яногоугольнике 31. Пусть, для некоторого разложения ггг~рксчгго Р но скелет и наросты, ячейка гл являепмя концевой. Пусть л-конец Е |снеет изволь и на концевой Л-загсе У нет концевых наростов, а другое. наросты имеются. Пусть Ь' — ближайший к Л нарост, на ктгцевой л -злгее.
Обозничим через ть Е М концевую вершину, соответсгпггующгую ячейке Л. Тогда длшсы концевой Ь-змеи и Ь-хвоста, а гпакжс длины боковин гл-хьосггга, оцсниьаются снизу величинами, иривсдснныни в следующих тайницах. 1сометрия концевых линейных участков Опенки на длину хвоста. Л' на боковине поворота Л'пс на боковине поворота Гип излома З~„бнь)н-д,, )ть)те — ВВ(Е) зб 1оп)-)д, бнь\-ь1 — ь не) 3$,, бнь)-)-д, (~ь)в-1 — вв1ь';| ЗЬ (шь)В-д 1Фь)-Ь — СВ,'Е) зщбоь).)-д 1 и)-Ь1 — вйе) Ы1 1»1 )-)-д )ы,)-<- — ВН)Е) З~, Рнь)Вд.-1ыь) )- — ВВ1Ь) зб Рь ~.„) -~-д Пь ь )-Ь 1 — ь в1ь) Опенки пв длину подчиненной боковины Ь-хвоста поворота: здесь в обозначениях опущены указания на точку ть. Оценка Тип излома ([1, + у, + 1 — 2д111)] [1, + у, + 2 — 2д(Е)] ~ ~ 1; + у,— + З вЂ” 2д(Е) ~, ~ 1; + у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
