Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Если тин сгл-хвоста равен 1, то у~ [т) = 2угя — 3, где дс наименьшее из у, для которых выполнены неравенства к/3 — о < [24 — 1)о < 2я/3, откуда и/3+ 1/2 > д > гг/!гц '1ак как п > 12, разность между верхней и нижней гранглцами,чонустнмого для у пнтсрва.ла больше 2. Поэтому д~(ггг) = 2[[гг/6]+ 1) — 3 = 2[гг/гсг] — 1. Далее, сели тип сн-хвоста равен 2, то ус [гп) = 2рс — 4, где рс наименьшее из р, для которых выиолиены неравенства к/3 < [2р — 1)о < 2к/3-г- сг, откуда и/3 > р > п/б+ 1/2. "!'ак как и > 12, разность между верхней и нижней границами допустимого для р интервала больше 1, Поэтому д, [гп) =2[ ~ — 2. Геометрия концевых линейных участков Рпс. 4.7: Точки на окру кности Осталось заметить, что а( ) = н1 (2~п '] — 2,.2~-"] — 1) = )-',] — 2.
6 ' 6 3 Следсьние доказано. Рассмотрим еще один интересный частный случай. Пусть И произвольное конечное подмножество окружности, и (гги),":с последователь— 1 ные его вершины при обходе '1Х, скажем, против часовой стрелки. Как и выше, будем скисать, что индексы 1 вершин т; зто элементы иэ 7' Рассмотрим произвольную вершину тл, и пусть д+ обозна иет угловую величину стороны шишь~в см. рис.
4.7. Опустим на каждую сторону тли,; ютясь, многоугольника 34 перпендикуляр г, из центра окружпости, и ориснтируем его от центра окружности. Обозначим через сьй величину положительного угла от г~ до г„. Аналогично, через Р, ооозначим величину отрицательного утла от г ло г„. 1. Пусть дс это такое первое д, что б+ 2х й„ «' — —— 3 2 2.
Пусть рс это такое первое р, что б е 2х — <'р, < —. 2 и 3 3. Пусть р~е это такое первое р, что х й +6~ ь 2х й <Р, < —, 3 2 в 3 2 Геометрия концевых линейных участков 249 4. Пусть д[! зто такое первое д,что к йм 2к. — — — <'р, <— 3 2 ' 3 Следствие 4.8 В сдсланныл предполоиеснияз; наростоьый ьсктор у[гик) ° -„,;,«: сап!во.Ч с8' р-,ен ! [2йс — 3, 2ра — 4; 2рс — 3; 2уа — 4).
Следствие 4.9 Пусть ЛХ множюсито ьершин квазипратыш!ого и-угольника, и п > 18. Тогдс! вс! компонснть! наростового вектора любой вершины т Е Л конечны, и наросп!овый вектор вершины т покомпонентпно боль!ас или равен слсдуюи1с,иу аектору (2 ~ — ~ — 3, 2 '[ и, ~ — 4, 2 ~ — ~ — 3, 2 ~ ~ — 4), Доказатольство. Конечность кок!понент наростового вектора вытекает из того, что разность между верхними и нижними границами, в которых долзкны лежать величины углов !р,, больше чем к/3.
С другой стороны, разность между р„, н р, не превосходит угловой величпяы двух сторон + я правильного и-угольнпка Р нз определения квгвиправил,пого многоугольника М, т.с. 1з/и. Так как и > 18, указанная разность меньше чела к)3, позтому одно из р; попадает в нужный интервал для каждой пз четырех компонент наростового вектора. 1[ля завершения доказательства лостато шо оценить компоненты наростового вектора произвольной вершины пьь квазиправильного многоугольника М.
Прежде всего отметим, что в силу симметричности правильного многоугольника, достаточно оценить только две компоненты наростового вектора, скажем. первую н вторую. Для опенки первой компоненты необходимо оценить снизу такое нлнмсньшсс д, для которого выполнены слсдук!щис неравенства: к б +бе 2к бь <!р, <— 3 2 ч 3 2 Перепишем первое из ннх в виде д +бк к !о, + > —. 2 3 [4.!) а наростооос число Г.'[т) больше и.т раоно [г!!!3) — 4. Поэтому, если В произвольный паркет, имс!общий ланинальну!о реализацшо на квазиправильиом п-угольнике, то,!юбое еео Ь-зсиао, не совпадаю!цее с Ь-лвосп!ом (т.е. на концевой Ь-змее имсютсв нс!росты), содсржип! по крайней мер! [г!!!3) — 4 ячеек.
Геометрия концевых лллнейных участков 250 д +Ба, 2п Р + <(4+1) —. 2 и Пусть до наименьшее д, такое что выполняется неравенство 4.1. Тогда 7 27г 3 — < 1чо + 1) и откудса и 4о > — — 1, 6 и, значит, 4о > ~п/6]. Поэто зу д~а17ир) > 2~п/6] — 3. Для опенки второй комполлевты варостового вектора нужно опешить снизу такое наименьшее р, для которого выполнены неравенства 7Г д 27à — — — <77, < —. 3 2 " 3 Перепишем первое из шлх в виде д 777 + — > —.
2 3 (4.2) 11сно, тго величина, стоящая в левой части, это величина положителл ного угла от радиус вектора вершины ть до серединного перпендикуляра 7."р. Легко видеть, что Ггцот угол меньше чем положительныи угол от радиус вектора вершины правильного мног оугольника Р, лежащей на дуге щлть л, до серединного перпендикуляра к стороне иэ Р, соответствующей вершине Ггль~.р. Поэтому д 1 27Г 1++ — < (Р+ -) —. 2 2 и Пусть ро наименьшее р, такое что выполняется неравенстлло 4.2. Тогда 7Г 1 27г 3 — < (Р(7+ г)— 2 п ' откуда и, 1 ро > —, — —, 6 2' и, значит, ро > [(77 — 3)/6] + 1. Поэтому 77,, (пля) > 2~(п — 3)/6] — 2 2~(и + 3),76] — 4. Ясно, что величина, стоящая в левой части, это величина отрицательного угла от серединного перпендикуляра 77~ до серединного перпендикуляра г Легко видеть, что .>тот угол меньше отрицательного угла от серединного перпендикуляра, опушенного на сторону правильного многоугольника Р, соотвстствУюшУло Гилас, До сеРеДинного пеРпенДикУлЯРа, опУЩенного на сторону из Р, соответствулошую тя, Поэтому Геометрия концевых лвэнейных участков 254 Итак, наростовый вектор произвольной вершины ть покомпонснтпо болыпс или равен следующему вектору (2[ — ~ — 3,2[ ~ — 4,2[ —,~ — 3,2[, ~ — 4).
Поэтому, как нетрудно проверить, наростовое число (..(тн) больше нли равно ~пЯ вЂ” 4. э!оказатсльство закончено. 3.2 Длина жала: на концевой змее наростов нет, концевой линейный участок имеет излом Пусть У произвольный паркет из ИЯ, н 0 = Е 0 4дм! некоторое его разложение на скелет и наросты; зз концевая нчейка скелета Е, и Е лыконсп па]экета В. Обозначим через Ел соответствующий Е концевой линейный участок скелета Я, т.е. Ел = Е О и. Пусть У концевая заимея. Прсдположигц что на У наростов нет (в .жом слу эас У совпадает с зз-хсалоэ1). Предположим ~то Ь-конец Е имеет излом. Обозначим через е единственное граничн~эе не концевое ребро ячейки зэ, и через ! ребро поворота концевого линейного участка Е паркета Еч Лалсе, пусть, как н вылив, М произвольный выпуклый я-угольник, и (нэ,)' последовательные его вершины при обходе ЛХ против часовой стрелки.
Снова оудем считать, это индексы ! вершин т, это элементы из Х„. Рассмотрим произвольную вершину пм многоугольника эРХ. Пусть паркет В имеет мипнмальнуэо реализацшо ! на йХ, такую что точка ть б М является концевой вершиной, соответствующей концевой ячейке эл из П. Мы оценим длину концевой змеи эо рассмотрев для этого четыре возмоэкных случая, в зависимости от того, на одной или разных боковинах концевого линейного участка Ех скелета э' расположены ребра е и Х, а также в зависимости от то1 о, крепится лн к ребру е нарост илн пет. С формальной точки зрения, мы должны различать также в какую из вершин та+э плп тл э приходит отросток сети Г, соответствующий ребру е.
Однако, так как эти случаи полностью аналогичны, мы предположим, что этот отросток приходит в точку пазы а для случая тл э приведем только ответь|. Мы начнем с определения так называемых характеристических полу- плоскостей н соответствующих им бмножеств и /- шсел. Отметим, что эти опрелелснин не зависят от тог<э, есть ли на концовой змее У наросты, отли шыс от концевых. Характеристические полуплоскости Мы определим сначала характеристические полуплоскости первого типа, и проиллюстрирусм как работает это понятие. Затем, поступая по аналогии, Геометрия концевых лкснейных участков 252 мы определим характеристические полуплоскогти остальных трех типов. Пуссь сначала ребра е и ! лежат па разных боковинах концевого линейного участка Ея.
Рассмотрим замкнутую полуплоскость, ограниченную прямой тьтяч с и содержащую многоугольник Л!. Повернем эту полуплоскость вокруг точки сст в положительном направлении на угол!20'. Полученная закскпутая полуплогкость называется харакстсрссстичсскос! пояупяоскостьт первого типа точки тл и осбоэначается П~(сст). Положим Т, (гпл) = П+(гпл) О ЛХ с, (т~,.), н пусть 1~~(ть) = 2ф1~(ть), где через фТ~(тн) обозначено количество элементов множества Т~(тн).
51похсестно 7,ь(тл) называется 1-,яиожество.я первого типа точки тл, а число Япсл) 1-число.и первого типа. точки пт. Предложение 4.4 В сделанных пргсй|оаонгсиссях, если к ребру ! ие крепится нарост, то все гпо ски из 1-лсножессссва первого типа точки спн запгягиваются опьроспсками концевой змеи У, длина копсорой нг мсньисс чг.а 1,+(тн). дагни же к ребру ! кргтппся нарост„то оспростки концевой змеи У затягивают все точки из мноэнгества Т~(та) кроле, быть монсгт, одной. Длина коицгвой змеи с в зисом сяу саг ие,мг>вте чем !+(стсь) — 2.
Доказательство. '1сгко видеть, что ребро поворота концевого линейного участка Х', сети Г лежит вне характеристической полуплоскостн П~(гст) первого типа точки спю Прямая ссснгссьяс разбивает полусщоскость П~(тн) тса два замкнутых угла: угол Ас в 60' и угол Лз в 120'. Так как множество ЛХ целиком лежит в замкнутой полуплоскости, ограниченной прямой тнспьяс и содсрхсщцсй угол Аы и так как угол многоугольника Л! в точке тл, в силу с.ндс ьвия Е5., меньше !80ь, то в угле Аз не содержится точек иг Л~Х, отличных от спю Поэтому все точки из множества Т~(сссн) лежат в угле Лы Если на ребре ! нароста нет, то все точки иэ '1,'~(сссн) затягиваются отростками с верхней боковины концевой эмсп гй.
Так как в рассматриваемом слу саг боковины концевой змеи гб равны, количество ячеек в змее гб не меньше удвоенного числа точек нз 7'~(гпн), т.е. не меньше чем 1~(гсэя). Если жг на ребре ! есть нарост, то пс более чем одна пэ точек множества Т;~(тя) может быть затянута граничным ребром этого нароста, а все остальные точки из Х~(тн) вновь затягиваются отростками с верхней боковины капиевой змеи гб. Поэтому теперь количество ячеек в змее гб не меньше сем 1~(псл) — 2. Доказательство закончено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
