Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 65
Текст из файла (страница 65)
'!алев, из следствия 4.23 главы 4 вытекает, что при п. = 13 и !4 длина супербоковины л равна !п,лб] только сели индекс концевого линейного участка Ел равен 1, а индекс концевого линейного участка Еэ равен 2. В остальных случаях длина супсрбоковнны ь равна !гл,16] — 1 и применимы рассуждения, проделанные длл п = 12. Итак, пусть и, = !3 или 14, а ин,лексы участков Е, и Ез равны 1 и 2 соответственно. '!огда длина супербоковины л равна ~п,16] = 2, поэтому боковины участков Еп принадлежащие л, являются подчиненными боковинами этих участков, и их,алины равны 1. Чак как концевых наростов пет, а индексы концевых линейных участков определены, боковины поворота обоих концевых линейных участков имеют длину 1, что невозможно, поскольку в силу следствия 4.16 главы 1 они не меш ше 2.
Случай угла ~д = и/3 полносльло разобрав. Пусть теперь !с — — л/3. Предположим сначюла, что супсрооковина скелета паркета П от Ел и Ез состоит более чем из двух звеньев. Обозначим через С' ту часть супсрбоковины л паркета 1) от Е~ к Есп каждое ребро которой не принадлежит концевым линейным участкам. Пусть С' состоит пе монсе чем нз трех ребер. В силу следствия 4.23 л лавы 4 для угла лс = 2к/3, длина супсрбоковины л нс превосходит !лл/3].
С другой стороны, длины боковин концевых линейных участков Е„в силу следствия 4. !6 главы 4, нс мепыпе чем !п,1;!] — !п,112] — 2. Так как сумма длин этих боковин и числа ребер, попагипих в С', пе превосходит длины супербокошлпы з, имеем: Однако, при и > 12 это неравенство не выполняется. Таким образом, нам осталось рассмотреть случаи, когда С' состоит из 2 пли ! ребра. Пусть С' состоит из двух рсбср. Тогда, как легко провсритчь возможны лишь следуюшие трн копфигурапии, приведелшые на рис. 6.13.
В случаях !а) и ~6] одна из боковин концевых линсйных участков Еп принадлежа|цая,л, скажем боковина участка Ел, являстса боковиной поворота, а другая подчи~ешлой боковиной. Кроме того, на реоре поворота участка Е~ в атолл слу )ае лшроста сыть пе может, поэтому напил оценки уто шяются следующим образом: длина л равна 6л + сэ + 2, причем 6л > ~!и/3] — 1, а сз > [лл/3] — ~п/12] — 2, откуда [ — ] — !+ [ — ] — [ ] — 2+2< [ — л] Линсйныс паркеты с правильной границей 295 Рис.
6.13: Возможные типы излома линейного паркета, 1с = 2л/3, число ребер в С' равно 2 Рис. 6.14: Возможныс типы излома линейного паркета, сс = 2л/3, число ребер в С' равно 1 Однако, при и > 12 это неравенство не выполняется. В случае (с) обе боковины участков Е„, принадлезкашис л, нс являются боковинами поворота, и, как лег ко видеть, наросты не мое ут располагаться однов1эсмснно на обоих ребрах поворота участков Еь Поэтому с~+се > 2Я вЂ” [ —,~ — [ ~ — 3, и, так как длина а равна с~ + сз + 2, имеем: 2[ †~~~ в ~ — [ ~ †3+2<[ ~.
Однако, при и, > 12 это неравенство нс выполняется. Случай, когда множество С' состоит из 2 элементов полностью разобран. Пусть теперь С' состоит из одного элемента. Тогда,как легко видеть, имеется ровно одна воз ложная конфигурация. изображенная на рис. 6.14. Рассуждая также как и выше в случаях (а) и (5), получаем следующее неравенство: Ц вЂ” 1+ [ — ~ — [ ~ — 2+1< Ц Линейные паркеты с правильной границей 296 которое при и > 12 так жепе имеет места. '!аким образом случай, ко~да супербоковина скелета паркета Р от 55» к Ез состоит более чем иэ двух звеньев,полностью разобран. Итак, пусть теперь супербоковина скелета паркета Р от Е» к Ез состоит ровно и» двух звеньев.
В этом случае скелет паркета Р состоит ровно иэ двух змей, которые псрссска»отея по единственному рсору, которое мы обозначим через а. Обозначим через Л,', лхз и сх» три последовательных ячейки конпевой змеи участка Го такие что сХ,' содержит ребро а. Пусть Г минимальная реализапия паркета Р на правильном и-угольнике. Проведем через ребра сети Г, соответствующие отросткам скелета паркета 0 из ячеек Л,, прямые К,. О швидпо, угол между прямыми 1', раасн я»»3. Обо- 2 значим через П тот из двух углов вели»ины гг/3, образованный прямыми с», который вьшскаст из окружности Я две дуги.
Оти дуги мы обозначим через б» и бз, прслполагая, что дуга 3» мспьшс дуги 3з. Ясно, что величина )3»! дуги д» нс меныпс чем 2о, где о = п(п. Проведем через ребра» етн Г, » оответствующие отросткам ск» лета паркета Л из ячеек Л», прях»не Г;'. УУ» ол между прямыми 5'; тю»ке равен я/3. Обозначим через Г тот из двух углов величины л»»3, образованный прямыми Х'„, который высекает из окружности Ьп две дуги.
Обозначим эти дуги через Б» и 3!и где 3» меньшая пз этих лвух ду»-. 5!с»»о, что 15 С П'. Крох»с того, если у количество наростов, крепящихся к ячейкам»л~ и Ь'. » = !,2, то внутри дуги д! лежит, как легко видеть, не более 2+ д вершин п-угольника, где у < !.
Поэтому внутри ду» и бз также лежит нс больше 2 + у вершин п-угольника. '!'ак как к ячейкам Лз одновременно не мо» ут крепиться наросты, одна из прямых !';, ока кем 1», проходит через вершину многоугольника, совпадающую с граничной точкой дуги е». Так как»Т параллельна прямым дождя концевой змеи участка Е», то она нс лолсет пересекать окружность по двум вершинам п-угольника, в частности, соответствующая граничная точка дуги дз не является вершиной и-угольника. Поэтому, ес,пл я количество вершин и-у» ельника, попавших внутрь дуги 3з, то величина бз дуги Бз строго меньше»ем 2о(й+ 1).
С другой стороны, 3 ~ = 2я/3+ Б» ~, откуда 2п 3 + 2п < 3з < 2о(й+ !). Следовательно я > ~п/3~ + !. Однако, как было отмечено выше, й < 2 + д. 'Гакиял образом, доказана следукппая леъпла. Ломма 6.1 В сделан»»ь»л обнзиоитшял, имеет .место яерпееистео Пусть д < 2. Тогда из лсммь» 6.1 вытекает, что [»»/3~ < 3. Однако, прн и > !2 это неравенство пе имеет места. Линсйныс паркеты с правильной границей 297 Рис. 6.1о: Этот паркет не и лсет минимальной реализапии па правильнсьм 13-1 гольнике Пусть д = 3.
Тогда неравенство из леммы 6.1 имеет вид ~л/3] < 4. При и > 12 это неравенство выполнено лишь для и = 12, 13 и 14. Однако наименьший паркет, обладающий всеми перечисленными свойствами, содержит 13 граничных ребер. Поэтому остается рассмотреть лшш, случаи и = 13 и 14.
Прц и = 13 возможна единственная конфигурация, прнвсдснная на 1зис. 6.15. Отсутствие минимальной реализации па правильном 13-угольникс у этого паркета проверяется непосредственно. При п = 14 соответствующий паркет полу застоя из паркета для и, = 13 добавлением одной ячейке или к концевым ребрам, или к боковине ь. В каждом из этих случаев длина боковины л становится равной 4. Однако, иэ следствия 4.23 главы 4, это возможно лишь если индекс конпевого линейнот о участка Г~ равен 1, а индекс конпсвсп о линейно~ о участка Гз равен 2. Последнее невозможно, так как у паркета, построенного для и = 13, индекс участка Е~ равен 2. а индекс участка Вь равен 1.
Пусть, наконец, д = 4. 'Тогда неравенство из леммы 6.! имеет вид [п/3] < 5. Прв п > 12 это неравенство имеет место лишь при и = 12,..., 17. Однако наименьший паркет, обладающий всеми перечисленными свойствами, содержит 16 грани ейных ребер. Поэтому остается рассмотреть липп случаи п = 16 и 17. При и = 16 возмолсна единственная конфигурация, приведенная на рнс. 6.16.
Отсутствие минимальной реализации на правильном 16-уе ольнике у этого паркета проверяется непосредственно. При в = 17 соответствующий паркет получается из паркета для и = 16 добавлением одной ячейке илн к кояцевым ребрам, или к боковине л. Б каждом из этих случаев длина боковины л становится равной 5.
Однако, из следствия 4.23 главы 4, это возможно липп сслп индекс концевого линейного участка Е~ равен 1, а индекс концевого линейного участка 2сз равен 2. Последнее невозможно, так как у паркета, построенного для п = 16, индекс участка Е~ равен 2, а индекс участка Ез равен 1. Произвольныс паркеты с правильной 1раницей 296 Рис. 6.! 6: Этот паркет не и лсет минимальной реализапии па правильном 16-уго,льнике '!аким образом, теорема полностью доказана.
2 Произвольные паркеты с правильной границей В данном разделе мы дока кем теорему 6.1 в обшсм случае. Пусть Л паркет, имеюший минимальную реализацию Г на правильном п-угольнике ЛХ, п > 12, и Ь концевая ячейка из Р. Предположим, по сх-конец Е паркета Р имеет излом. Обозначим через ! в !' соответственно боковину поворота и подчиненную боковину сх-хвоста паркета Р, а через !» ооковину поворота коппсвой Л-змеи. Так как в > ! 2, то длина боковины ! пе меш,ше ~ем [в/3] — 2 > 2, откуда, так как концевых наро~ тов нет, .вью екает, что я ооковяяа !и состоит не менее чем нз,!вух ребер. !!усть и~ ребро из !л, псрссекаиошсеся с ребром поворота концевого линейного участка Е, и из единствснное смежное с и1 ребро из 1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
