Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Пусть теперь велянейныи паркет 0 имеет минимальную реатпьзацию яа множестве вершин правильного п-угольника, и л 12, п некоторый сто концевой линейный участок Е имеет излом. Из предложения б.э вытекает, что в тз том случае паркет В имеет ровно три концевых линейных участка Ез, Ез и Ез, причем два из этих участков, скаьксм Ез и Ез, являются змеями [поэтому излом имеет участок Ез), а угол мезк;1у направлением концевой змеи участка Е!з и отзним нз остаюпихся концевых линейных участков, ззкажем Ез, равен к.
В этих предположениях угол между направлением концевой змеи участка Ез и участком Ез равен 2яттбт, и, более того, боковина поворота участка Ез содер.китон в обшей боковине участков Ез и Ез. Без ограничения общности будем считать, что угол от концевои:змеи из Ез к Еь равен +2ктт3, и, поэтому, угол от Ез к Ез равен ктззз, а от Ез к концевой змсс из Ьз равен к. Обозначим крез Иьз общую боковину участков Е„и Ет, и от длина боковины Ец . ззалее, обозначим через Е кошзевчзо змезо участка Ез, и положим д„т' = 1, 2, равным 1, осли па т,'-ом ребре ориентированной от ребра поворота боковины поворота змеи У расположен нарост, и равным 0 в противном слу гас.
Далее, как и выше, положим д(Ез) равным пулю, Произвольныс паркеты с правильной ь раницей если на ребре поворота участка Е1 нароста пет, и равным 1 1з противном случае. Пусть ЗР хвост участка Еы Обозначим через ! и !' соответственно, длины боковин хвоста 7', лежащих в ГЗз~ и Г11з. Дзлее, обозначим через Р часть участка Еы полученную из Е1 выбрасыванием хвоста Т. Пусть р и р' длины ооковин подпаркета Р, соответствующих Лз1 н Л1з. Наконец, пусть:с и:ь' длины боковин участка Ез, лежащих в в Взз и Лнь Лемма 6.5 В сдеяонных обозначения.с, р' + х.' < 1 + ~Г[Ез) + дь + дз < 4. Доказательство. По определсшпо, Р + р'+ х' = 6~з.
В силу прсдлозксния 6.2, !' ) ! — пк1, — 4 — дз, где !с~4 = 'пк1[Г",1) — 1. Далее, в силу следствия 4.16 главы 4, ! > [п,ГЗ] — 1 — д[Ез). Итак, р' + х' = 6,з — 1' < 6ьз — [п~~З] + 1 + сГ[Е]) + пк4 +А + дз. С другой стороны, в силу следствия 4.23 главы 4, 61з < [п]3] — 1поы Дейсгвительно, если пн1~ = 1, т.е. 1пд[Е1) = 2, то 6!з = [п,ГЗ] — 1 при любом индексе концевого линейного участка Ез. Если жс 1п4 = О, то 6~а < [п~З]. Окончательно, р'+ х' < 1+ д[Е~) + дь + с!з < 4. Лемма доказанз. Следствие 6.2 Л сдеяанньсх предиояожсниях, р' < д[Е~) + д1+ с1з < 3. Обозначим через Яр пересечение паркета Р со скелетом В паркета Ец и пусть рч длина боковины подпаркста Гзр, соответствующей В1з.
В силу следствия 6.2, р' < д(Г';1) + д~ + дз < 3, Пусть р[я — — 3. В силу следствия 6.2, на ребре поворота участка Ез в етом случае обязан располагаться нарост. Понтону, на конце Ез наростов цет. !1олее того, на боковине подпаркета Яр О Ез, соответствующей Л1з, таклсс нст наростов. В частности, наростов нст на участке Ез.
Таким образом, мы находимся в условиях следу|ощего предложения. Предложение 6.6 Пусть ииркст Р и,вест дьа концевых линейных участкс~ змеи Е и Е', угол между направяснижми которых ровен к,ГЗ. !Грсдпояожи н, что единственная, ячейка с1,' паркета Г), не яежаьцан ни в Е, ни в Е', и смежная с той его онупьрсннсй ячейкой сь, ь копьорой крспяспся эьпи. концевые линсйныс цчастпки, нс является внутренней ячейкой паркспьа Г1. Еромс того, предположи,и, юто сдинтпвсннос грани тос ребро ячейки А' параллельно ноправлсниьз участка Е, и у ~асток Е нс содсрзлчлп наростов (на участке Е' наросты логун~ быть).
'!огдо 0 нс имеет минииояьной реализации на правильном многоугольнике, Произвольныс паркеты с правильной ~ раницей Р 'гоа Рис. 6,18: Доказательство предложения 6.6 Доказательство. Предположим противное, т.е. паркет Р имеет минимальную реализацию Г на множестве ЛХ = (пн ! вершин правильного многоугольника. Так как ячейка гх' не внут!эснняя, то существует отросток 1м дерева Г, выходящпи из точки!Птейпера, которая соответствует ячейке й'.
Ясно, что 1м параллелен отросткам концевого линейного участка Е. Пусть ш„ вершина из ЛХ, инцидентная й, см. рис. 6. !8. Обозначим через й концевое ребро из 1, а через тс концевую вершину пз ЛХ, соответствующие участку Е. Пусть Йы...,Й, последовательные отростки у тастка Е, нумерация которых поро>хдается ориентацией участка Е от концевой ячейки. Пусть пн вершина из ЛХ, в которую приходит отросток Л,. Ясно. что т и гп, соседние всрппшы из М.
Проведем через к„прямую 1,. Ота прямая, очевидно, параллельна отросткам участка Е. Обозначим через П открглтую полуплоскость, ограниченную пряъюй 1, и содержащую вершину шс. Легко видеть, что в полуплоскости П содержится самое болыпое одна вершина из ЛХ, не инпилентная гранпчньгл ребрам змеи Е, Обозначим через йл единственное ребро участка Е', принадлежащее внутренней ячейке Л, и через 1" прямую, проходящую через Й". Легко видеть, что !ш и, значит, !л, параллельны отросткам у тастка Е. Кроме того, если ! прямая, проходящая через й, то прямая !" содержится в полосе мшкду п!зяьп ьии !я и 1,.
Далее, пусть !Рл открытая полуплоскость, ограниченная прямои!", такая что концевое ребро участка Е' содержится в П". Очевидно, что П" С П .,!егко видеть, что в полуплоскостп П" лежит пе менее 2 точек из ЛХ, инцидентных тряпичным ребрам участка Е'. По граничные рсбра участков Е и Е' инцидентны различным вершинам из множества ЛХ. Ото противоречие и заканчивает доказательство.
Итак, если р' = 3, то паркет В не может иметь минимальной реализации на множестве вершин правильного многоугольника. Произвольныс паркеты с правильной ь раницей 306 к Рис. 6.19: Три возможных скелета Я Пусть теперь Д = 2. В ьь голь случае скелет Я паркета Р может бьгп, устроен так, как в одном из трех случаев, показанных на рис. 6.19.
Рассмотри л первые два случая, изображенные на рис 6.19 слова. Обозначим через Л' елинствсннукь ячейку паркета Р, нс лежащую ни в Ез, ни в Ез, и смежную с той внутренней ячейкой паркета Р, к которой крепятся эти концевые линейные участки. Напомним, что рл — — 2, поэтому, в силу леммы 6.5, боковина участка Ез, соотвотствующая боковине Вью нс больше 2.
Отсюда вытекает, что на участке Ез наростов нст. Если к ячейке ьхь нарост не крепится, то лы снова оказываемся в условиях предложения 6.6 и заключаем, что паркет Р нс имеет мнпиььальпой реализации на правильном многоугольнике. Пусть теперь к ячейке ьл' крепится нарост. Тогда, в силу лсммы 6.5 д(Еь) = дь = дз = 1, у ьасток Ез нс содержит наростов и имеет длину 2. Обобщим на этот случай ььредььожеьььле 6.6. Продложонио 6.7 Пусть ььаркет Р имеет два концеь ьи ланейныл участка-гь,яеи Е и Е', угол меэкду направлениями которые равен к!Ъ.
Предпо.олсим, что сдинстьснная ячейка Л' поркшпа Р, нс лажощая ни в Е, ни в Е', и смежная с той его внутрттей ячейкой Л, к котороа' к1ьегьягпся эти концевые .линсл1ныс у ьосткщ является внутренней ячейкой паркета Р, причем к ней крепится ниросьн. Ерольс того, ььредположим, чьпо единственное ребро ячейки ьль, перссекаюиЬееся с этии наростом, параьтельно напрььвлснию концевого линеиного участка Е, и концевой линейнььи' учасгпок Е не содержит ььаростов (ььа концсоои,линейном у ьастке Е' наросты могут бььть).
Тогда, если Р имеет минильальную реализацию на правильноль,шьогоугольникьц то длина. концевого линейного участка Е' нс бсьььь ш,с 3. Доказатольство. Пусть паркет В имеет минима,ььную реализаььгььо Г на множестве Л! = Гьть) вершин правильного многоугольника. Обозначим через ьл' нарост. крспящипся к ячсике ьл', и пусть кь ребро дерева Г, сосдипяьощес точки Штсйнера, соответствующие ячейкам Произвольныс паркеты с правильной границей 307 Ь' и з'. Ясно, что к, параллелен отросткам концевого линейного участка Х",.
Пусть ш, и ть соседние вершины из ЛХ, иш!идептные граничным 1эсбРам наРоста схл. Обозначим через и концевое ребро из Г, а через тс концевую вершину из ЛХ, соответствующие концевому линейному участку Е. Пусть Йы..., 1„ последовательные отростки концевого линейного участка Е, нумерация которых порождается ориентацией концевого линейного участка Х.' от концевой ячейки.
Пусть гп, вершина нз ЛХ, в которую приходит отросток 16. Ясно, что тр н одна из вершин ш, и тю скажем ш„соседние вершины нз ЛХ. Проведем через ш„и ть прямыс 1„н 1м параллельные отросткам концевого линейного участка-змеи Е. Обозначим через П„и Пе открытые полуплоскости, от раничснныс соответственно прямыми 1, и 1е и содсржащис вершину пзс. Легко видеть, что в полуплоскости П содержится самос болыпое одна вершина из ЛХ, нс инцидептная грани шым ребрам змеи Е. Так как параллельньп прамьп !, и lе проходят через соседние вершины многоу~ ольника М, то в полуплоскости Г1а содержится самое оольшое две всршнны из ЛХ, нс инцидентныс граничным ребрам змсн Е. Ооозпачнм через 1а единственное ребро концевого линейного участка Е', принадлежащее внутренней ячейке Ь, и через 1а прямую, проходящую через к". 3!егко видеть, что кл и, значит, !л, параллельны отросткам концевого линейного участка Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
