Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 71

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 71)

Доказательство. В силу утверждения 7.2, тривиальная сеть Г имеет вершину А степени !. !'ассмотрим симплекс съ из,ъ'(Г), соответствующий точке !Птеянера Я, инпидецтноп такой вершине. 5!сне, что та сторона этого сиъшлекса, которая соответствует граничному ребру КА, не отождествляется ни с какими другими сторонами симплексов из о'(Г), т.с. является граничной. Двойственный комплекс Возникает три возможности. (1,) Симплекс «л имеет две граничных стороны. В этом случае точке Штсйнера Я инцидентны два «раничных ребра осги, Стянем симплекс «л на ее нсграпичную сторону.

Тогда перестроенный комплекс является, очевидно, двойственным комплексом сети Г с выброшенной парой граничных ребер, инпидентных «'. Очевидно, что так перестроенная есть остается тривюшьнои. (2.) Симплекс сь имеет ровно одну граничную сторону, причем соответствующая точка Штейнсра Я нс ле«кит ни на одном фундаментальном цикле, а, значит, и пи на каком цикле вообще.

В этом случае, стянем ячейку й так, чтобгя в результате отождествились две сс пеграничных стороны. Ота перестройка комплекса о(Г~ соответствует выб«расыванию из !' единственно«о гранично«о ребра, инцидснтно«о б«', и объединению двух других инпидептных .«' ребер из Г в одно ребро.

Ясно, что так перестроенная сеть по-прсжнему является тривиальной. (3.) Симплекс са имеет ровно одну граничную сторону, причем соо светствующая точка !!1тейнера Я лежит па некотором фундаментальном цикле С. Ясно, что такой цикл единственен. Так как сеть Г тривиальна, то вершинам цикла С соответствуют 6 сигнплсксов, склеенных так «кс, как треугольники, полученные при соединении отрезками некоторой внутренней точки выпуклого шестиугольника с его вершинами.

Стянем симплекс сь па две его неграничпых стороны. Эта перестройка комплекса о(Г) соответствует выбрасыванию из сети Г единственного граничного ребра, инцидентного Я, и раз!«сзап«по полученной сети по вершине б'.. !сгко видеть, что полученная сеть Г' является связной, и полученный комплекс является комплексом сети Г .

Более того, сеть Г' тривиальна,так как нс возникло новых циклов, и оставшиеся циклы не изменились. 1Лтак, мы получили в результате симплипиальньш комплекс, который состоит из меньшего на единицу числа си лплсксов, чем исходный, и является двойственным комплексом некоторой тривиальной сети. Продолжая этот процесс, пока не будет исчерпано все множество симплсксов, мы построим стягивание комгшекса о(Г) по себе в точку. Показательство закончшю. Из предложения 7.3 вытекают следуклцие полезные утвсрлсдсния. Следствие 7.2 Существует топологическос е««ожение дьойстьснного кощ- пяекса о(Г) тривиальной сепги Г в плоскость.

Пример 7.1,Лиойстееннь«й комплекс плоской нетривиальной сети Штсйнера, изобра«кеннан па рис. 7.2, является, как нетрудно видеть, дву,ксрной с!!«врой, щ поэтону, ь т«оскосп«ь не вкладывается. Двойственный комплекс ,Ф Рис. 7.2: Двойственный комплекс втой сети гомсоморфен сфере Следствие 7.3 Если росслаогриьать 1-остов конилсксо «Я(Г) тривиальной сети Г как тополоеичсский граф, то лнозкестао всех граничных ребер колпискса 5(Г) оораэггтгз цггкчг в сзпгол графе. 2.1 клисло вращения ребер контура двойственного ком- плекса тривиальной сети В настоящем пункте мы применим разработанную для с.гучая бинарных деревьев технику чисел вращения ребе;р контура паркета из Игр«о к контуру двойственного комплекса тривиальной се пс.

Пусть К контур двойственного комплекса б'(Г) тривиальной сети Г. Будем презгполагз'зь, что газзойсзгзензгьгйг комплекс вложен в плоскоспгь (следствие 7.2). Ориентируем контур Л по часовой стрезпсе. Пусть а и 6 соседние последовательные граничные ребра контура, стыкующиеся в его вершние А. Обозначим через й число симплексов комплекса Ь(Г), имекппих 4 своей вершиной. ~1ислои врагиснил гзз(сг,6) пары (сг,6) сосгсггнггх последовательных ребер контура К пжзовем целое число й — 3.

Пусть теперь и и 6 произвольные ребра из К, и пусть г тот из двух путей в К, соединяющих а и 6, движение по которому от а к 6 происходит в положительном направлении. Опродоление. 1ггссго,н вратеггггл 6и(а,6) парез (а,6) произволг ньа ребер контура К назовем сумму гисел вращения между последогзательнымн соседпимп ребра ли пути з, т.с., если з = а = ав, аг,..., аи = 6, то Л Си(а, 6) = ~| си(ас з, а ). Имеет место следующее важное утверждение, являющееся обобщением хорошо известного факта о равсястве л2к полного угла поворота прп обходе плоского замкнуто! о контура.

Двойс'гвснный комплекс 373 Утверждение 7.4 С|рн„на всех чисел вра|ивнил послсдоват! явных соседних реоер кони|ура К двойсп|венного кт|пи|екса о'(Г) тривиальной сети Г равно — 6. Доказательство. !1усть А|...., Ап пос,|едовательные вершины контура К. Обозначим через 1ч количество симплексов из 8(Г), имеюших Л; своей вершиной. Тогда искомая сумма всех чисел врашения равна, очевидно. Будеч! рассматривать 1-остов ! комплекса ь(Г) как плоский граф. Обо! значим через и количество вершин графа о', пе лежашнх на контуре К.

Тогда, как легко видеть, число граней 1 плоского графа о' равно 1+-,'(б.+, 'й,), |=! число ребер графа о~ равно в — (317" - 1) + и) = — (бе + " 1,) + —, |=! и, наконсп, число вершин равно в + и. Тогда, по формуле Ойлсра, (' (|ч., г г=! 1:1 откуда 1д — Зп = — 6. Утверждение доказано.

Утверждение 7.5 Пусть а и в проигвольньш граничные стороны кони!ура К двойственного колтлскса о(Г) тривиальной сети Г, и пуси!в х и у тс ребра сыпи Г, которые соответствуют атил сторонаж. Тогда !и |!к, у) = ! к(а, 5) + 3. Доказательство. Разобьем доказательство утверждения на несколько п|а- ! Ов. Лемма 7.ае Утвгракдт|иг 7.5 справедливо длл. любой пары а и |! пост до- вапьвльных соседних граничных сторон контура К. Двойственный комплекс Доказательство.

Пусть ! общая вершина сторон а и 6. 1'ассмотрим множество 1, всех симплексов комплекса $6Г), имеющих А своей вершиной. Легко видеть, что Т ттттнеттньттт деревянный сксттст. Пусть э 1, сосдинятоший х и у и лежащий в А. Очевидно, при движении по у от х к у, мы в каждом симплексс из Х поворачиваем "налево" ровно один раз, т.с. каждая ячейка из й дает вклад в число вращения между х и у, равный !. Поэтому, 1ит(х, у) = ттяг(х, у) равно количеству ячеек в 1,, т.е., по определению числа вращения между последовательными ребрами контура тй, раино Рак бтт, 6) + 3. Пусть теперь а и 6 ттронзвош ныс ребра контура 1т', н пусть й соединяющий а и 6 ттуть тта К, дттижение по которому от а к 6 происходит в положительном направлении.

Пусть А„т = 1,...,п последовательные внутренние вершины пути 6, а =, — граничные ребра из Г, соотвстствуюппте сторонам а, = А, Атлет. Обозначи л через 1., множество всех симплексов иэ Ь!Г), иатеютт!тлх А, своей вершиной, и пусть -11 путь из Г, лежапттти в 1.т причем;тт соединяет х с т; у,', т = 2,..., и — ! ребро, т с ребро л =,; и у,', ребро „т с ребром у. Быоросим из пути Т,' тзсе входяптие в него ребра - . Полученный путь обозначим через ",;. .Лемма 7.6 11рсдпояозкиж, что назидый из путей,, состтэит не яснее чеж тш одного ребра, и, что обьы)инысие этах пущен является нытоторыж ттутпеж ! в !'.

Тогда утвераидение 7.6 справедливо. Доказательство. Ясно, что путь у соединяет ребра х и у. Пусть т1т точка!Птсйнсра сети Г, инцидептная ребру ет. Тогда, очевидно, путь тт представляет собой начальный отрезок пути 2 до точкн,'1т, путь ";;, т = 2,..., тт — 1, часть пути ! между йтт т и 11т, а путь уо конечньттт отрезок пути у после утт, Ориснтируем путь -1 от х к у. !егко видеть, что ° шсло вращения вдоль пути ут меятду х и последним ребро л ит из ут на 1 меньше числа вращения вдоль пути чт хлежду х и хт, ° число вращения вдотть ттутя Т; между начтияьным и; и конечным и; его рсбрахпт па 2 меньше числа вращения вдоль путтт,т между, т и ° число вратпеяия вдоль пути;о между первым ет о ребром и„п ребром у на 1 меньше числа вращения вдоль пути 1„' между хп т и у; а число вращения вдоль пути ! зюжду послсдоватсльнымн рсбрамн, инпидентными от, равно — !.

Двойственный комплекс Поэтому, в силу леммы 7.о, и — « рк(а,6) = «ьч(а, а;) + ~~ !и(а„. ы и;) + сьч(са «, 6) «=2 и — « (ти(з, ыя,) — 3) +!и(яа му) — 3 «ея а — « 3+ ~~«.(си(п„ы и,) + 2 — 3) + Пя(на, у) + 1 — 3 = !ич(««л«) — 3+ = 1ич(л. и«) + 1— = !ьч(ад я«) + ~~ = !мч(л, у) — (и— !и(и; ы и;) + !и(и„«, у) — п — 2 1) ( — 1) — и — 2 = «и(.г, у) — 3. Лемма доказана. Пусть теперь и и 6 произвольныс ребра контура К, на расположение которых не накладывается никаких ограничений. Пусть -« — путь в сети Г, соединяюший л и у. Пусть 1, множество всех спмплексов комплекса В(Г), через которые этот путь проходит.

Снова обозначим через й соедини«ощий а и 6 путь на Е, движение по которому от а к 6 происходит в положительном наврав.ленин. 1«взрежем комплекс В(Г), как область плоскости, по пути 3. В силу односвя:шостя комплекса о'(Г) и вложенности пути 3, полученные компоненты связности также связны и односвязны. Пусть А и В конпевые вершины пути;:. Выберем ту из двух компопепс, которая содержит такую свнзную часть пути й, движение по которой от А к В происходит в положительном направлении. Рассмотрим пересечение сети Г с замыканием выбранной компоненты, и достроим полученный подграф до сети Г', добавив к нему тс нсвошсдшнс в него ребра иэ Г, которые яш1пдентши точкам !!1тейнера сети Г, лежапим на у. Се гь Г', как легко видетть является тривиальной. Обо:ничим через В' двойственный комплекс соти Г', а через К' его контур.

Ясно, что определено естественное симплицпальное погружение ««комплекса о' в комплекс о'(Г), являющееся вложением внутри о', порожденное вложением подсети Г' в сеть Г. Построенные выше объекты, рассматриваемые как элех«снты комплекса 5', его двойственного графа или контура, мы будем обозначать теми «кс буквами. Ограничения погружения р на двойственный граф и на й, очевидно, являются вложениями. Поэтому, достаточно доказать справедливость утверждения на комплексе В«. Ориентирусм контур К' по часовой стрелке.

Обозначим через ! сосднняюшнй 6 с а путь на контуре К', движение по которому от 6 к и происходит в положительном направлении. По построению, упорядоченная пара Двойственный комплекс (6, а) ребер контура К' удовлетворяет предположениям леммы 7.6, причем, путь;: совпадает с одноименшям путем, построенным в лемме 7.О.

Характеристики

Список файлов диссертации